2020-2021学年北京市海淀区育英学校七下期中数学试卷

这是一份2020-2021学年北京市海淀区育英学校七下期中数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 以下国产新能源电动车的车标图案不是轴对称图形的是
A. B.
C. D.

2. 计算 −a2b3 的结果是
A. −a38b3B. −a36b3C. −a32b3D. a38b3

3. 下列计算正确的是
A. x+x2=x3B. x2⋅x2=x3C. x9÷x3=x3D. x32=x6

4. 如图，AB=AC，点 D，E 分别在 AB，AC 上，补充下列一个条件后，不能判断 △ABE≌△ACD 的是
A. ∠B=∠CB. AD=AE
C. ∠BDC=∠CEBD. BE=CD

5. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是
A. x2+3x+2=x+1x+2B. 3x2−3x+1=3xx−1+1
C. ma+b=ma+mbD. a+22=a2+4a+4

6. 如图，△ABC 中，∠A=40∘，AB 的垂直平分线分别交 AB，AC 于点 D，E，连接 BE，则 ∠BEC 的大小为
A. 40∘B. 50∘C. 80∘D. 100∘

7. 如图，在 △ABC 中，AB=3，AC=4，BC=5，EF 是 BC 的垂直平分线，P 是直线 EF 上的任意一点，则 PA+PB 的最小值是
A. 3B. 4C. 5D. 6

8. 如图，每个小方格的边长为 1，A，B 两点都在小方格的顶点上，点 C 也是图中小方格的顶点，并且 △ABC 是等腰三角形，那么点 C 的个数为
A. 1B. 2C. 3D. 4

9. 如图，已知 ∠MON 及其边上一点 A．以点 A 为圆心，AO 长为半径画弧，分别交 OM，ON 于点 B 和 C，再以点 C 为圆心，AC 长为半径画弧，恰好经过点 B．错误的结论是
A. S△AOC=S△ABCB. ∠OCB=90∘C. ∠MON=30∘D. OC=2BC

10. 已知 OP 平分 ∠AOB，点 Q 在 OP 上，点 M 在 OA 上，且点 Q，M 均不与点 O 重合．在 OB 上确定点 N，使 QN=QM，则满足条件的点 N 的个数为
A. 1 个B. 2 个C. 1 或 2 个D. 无数个

二、填空题（共8小题；共40分）
11. 因式分解：a3−9a= ．

12. 计算：2a3⋅−a4÷a2= ．

13. 点 M3,−4 关于 x 轴的对称点的坐标是 .

14. 若等腰三角形的一个内角为 50∘，则它的底角的度数为 ．

15. 如图，△ABC 中，AB=AC ∠BAC=120∘，AD⊥AC 交 BC 于点 D，AD=3，则 BC= ．

16. 育英学校四初二数学兴趣小组的小桃桃同学提出这样一个问题：如图，从边长为 a+4 的正方形纸片中剪去一个边长为 a 的正方形（a>0），剩余部分沿虚线剪开，拼成一个长方形（不重叠无缝隙），你认为长方形的面积为 ．

17. 如图，在 △ABC 中，∠C＝90∘，以点 A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交 AC，AB 于点 M，N，再分别以点 M，N 为圆心，大于 12MN 的长为半径画弧，两弧交于点 P，作射线 AP 交 BC 于点 D，若 CD=1，AB=4，则 △ABD 的面积是 .

18. 我国古代数学的许多创新与发展都曾居世界前列，其中“杨辉三角”（如图）就是一例，它的发现比欧洲早五百年左右．
杨辉三角两腰上的数都是 1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和，事实上，这个三角形给出了 a+bnn=1,2,3,4,5,6 的展开式（按 a 的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数 1，2，1，恰好对应着 a+b2=a2+2ab+b2 展开式中各项的系数；第四行的四个数 1，3，3，1 ， 恰好对应着 a+b3=a3+3a2b+3ab2+b3 展开式中各项的系数，等等．
（1）当 n=4 时，a+b4 的展开式中第 3 项的系数是 ；
（2）人们发现，当 n 是大于 6 的自然数时，这个规律依然成立，那么 a+b7 的展开式中各项的系数的和为 ．

三、解答题（共8小题；共104分）
19. 解答下列各题．
（1）计算：3−π0−38÷36+13−1；
（2）因式分解：3x2−12y2．

20. 如图，已知 AB=AC，E 为 AB 上一点，ED∥AC，ED=AE．求证：BD=CD．

21. 已知 2a2+3a−4=0，求代数式 3a2a+1−2a+12a−1 的值．

22. 如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都为 1，△ABC 的顶点都在网格线的交点上，点 B 关于 y 轴的对称点的坐标为 2,0，点 C 关于 x 轴的对称点的坐标为 −1,−2．
（1）根据上述条件，在网格中建立平面直角坐标系 xOy；
（2）画出 △ABC 分别关于 y 轴的对称图形 △A1B1C1；
（3）写出点 A 关于 x 轴的对称点的坐标．

23. 如图，已知 △ABC．
（1）尺规作图：过点 C 作 AB 的垂线交 AB 于点 O．不写作法，保留作图痕迹；
（2）分别以直线 AB，OC 为 x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，使点 B，C 均在正半轴上．若 AB=7.5，OC=4.5，∠A=45∘，写出点 B 关于 y 轴的对称点 D 的坐标；
（3）在（2）的条件下，求 △ACD 的面积．

24. 阅读材料：
常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式只用上述方法无法分解．如 x2−4y2−2x+4y，细心观察这个式子，会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前、后两部分分别因式分解后又出现新的公因式，提取公因式就可以完成整个式子的分解因式．具体过程如下：
x2−4y2−2x+4y=x2−4y2−2x−4y=x+2yx−2y−2x−2y=x−2yx+2y−2.
像这种将一个多项式适当分组后，进行分解因式的方法叫做分组分解法．
利用分组分解法解决下面的问题：
（1）分解因式：x2−2xy+y2−4；
（2）已知 △ABC 的三边长 a，b，c 满足 a2−ab−ac+bc=0，判断 △ABC 的形状并说明理由．

25. 如图，在等边三角形 ABC 右侧作射线 CP，∠ACP=α0<α<60∘，点 A 关于射线 CP 的对称点为点 D，BD 交 CP 于点 E，连接 AD，AE．
（1）求 ∠DBC 的大小（用含 α 的代数式表示）；
（2）在 α0∘<α≤60∘ 的变化过程中，∠AEB 的大小是否发生变化?如果发生变化，请直接写出变化的范围；如果不发生变化，请直接写出 ∠AEB 的大小；
（3）用等式表示线段 AE，BD，CE 之间的数量关系，并证明．

26. 对于 △ABC 及其边上的点 P，给出如下定义：如果点 M1，M2，M3，⋯⋯，Mn 都在 △ABC 的边上，且 PM1=PM2=PM3=⋯⋯=PMn，那么称点 M1，M2，M3，⋯⋯，Mn 为 △ABC 关于点 P 的等距点，线段 PM1，PM2，PM3，⋯⋯，PMn 为 △ABC 关于点 P 的等距线段．
（1）如图 1，△ABC 中，∠A<90∘，AB=AC，点 P 是 BC 的中点．
①点 B，C △ABC 关于点 P 的等距点，线段 PA，PB △ABC 关于点 P 的等距线段；（填“是”或“不是”）
② △ABC 关于点 P 的两个等距点 M1，M2 分别在边 AB，AC 上，当相应的等距线段最短时，在图 1 中画出线段 PM1，PM2；
（2）△ABC 是边长为 4 的等边三角形，点 P 在 BC 上，点 C，D 是 △ABC 关于点 P 的等距点，且 PC=1，求线段 DC 的长；
（3）如图 2，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，∠B=30∘．点 P 在 BC 上，△ABC 关于点 P 的等距点恰好有四个，且其中一个是点 C．若 BC=a，直接写出 PC 长的取值范围．（用含 a 的式子表示）
答案
第一部分
1. C【解析】A选项：是轴对称图形，不符合题意，故A错误；
B选项：是轴对称图形，不符合题意，故B错误；
C选项：不是轴对称图形，符合题意，故C正确；
D选项：是轴对称图形，不符合题意，故D错误．
2. A【解析】原式=−a38b3，
故选：A．
3. D【解析】由于 x 与 x2 不是同类项，因此 x+x2 不能合并，所以选项A不符合题意；
x2⋅x2=x2+2=x4，因此选项B不符合题意；
x9÷x3=x9−3=x6，因此选项C不符合题意；
x32=x3×2=x6，因此选项D符合题意．
4. D【解析】A、根据 ASA 即可证明三角形全等，本选项不符合题意．
B、根据 SAS 即可证明三角形全等，本选项不符合题意．
C、根据 AAS 或 ASA 即可证明三角形全等，本选项不符合题意．
D、 SSA 不能判定三角形全等，本选项符合题意．
故选：D．
5. A
【解析】A、 x2+3x+2=x+1x+2，符合因式分解的定义，故本选项符合题意；
B、 3x2−3x+1=3xx−1+1，右边不是整式的积的形式，不符合因式分解的定义，故本选项不合题意；
C、 ma+b=ma+mb，是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不合题意；
D、 a+22=a2+4a+4，是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不合题意．
故选：A．
6. C【解析】∵DE 是 AB 的垂直平分线，
∴EA=EB，
∴∠EBA=∠A=40∘，
∴∠BEC=∠EBA+∠A=80∘．
7. B【解析】如图，连接 BE，
∵EF 是 BC 的垂直平分线，
∴BE=CE，
根据两点之间线段最短，
PA+PB=PA+PC=AC，最小，
此时点 P 与点 E 重合．
所以 PA+PB 的最小值即为 AC 的长，为 4．
所以 PA+PB 的最小值为 4．
8. C【解析】当 AB 为腰时，点 C 的个数有 2 个；
当 AB 为底时，点 C 的个数有 1 个；
9. D【解析】由题意，得：
AO=AC=AB=BC，
∴△ABC 为等边三角形，
∠O=∠OCA，
∴∠ACB=∠CAB=60∘，
又 ∠O+∠OCA=∠CAB，
∴∠MON=30∘，故C正确；
∠OCA=30∘，
∴∠OCB=∠OCA+∠ACB=30∘+60∘=90∘，故B正确；
∵AO=AB，
∴S△AOC=S△ABC，故A正确；
不能判定 OC=2BC，故D错误．
10. C
【解析】①如图所示，当 QM⊥OA 时，
使 QM=QN，则只能有 1 个 N 点，且 QN⊥OB．
②如图所示，当 QM 与 OA 不垂直时，
QM>QD，则使 QM=QN 的有 2 个 N 点．
综上所述，满足条件的 N 有 1 个或 2 个点．
第二部分
11. aa+3a−3
【解析】原式=aa2−9=aa+3a−3.
12. 8a5
【解析】原式=8a3⋅a4÷a2=8a5．
13. 3,4
【解析】点 M3,−4 关于 x 轴的对称点 Mʹ 的坐标是 3,4，
故答案为：3,4．
14. 65∘ 或 50∘
【解析】∵ 等腰三角形的一个内角为 50∘，
若这个角为顶角，则底角为：180∘−50∘÷2=65∘，
若这个角为底角，则另一个底角也为 50∘，
∴ 其一个底角的度数是 65∘ 或 50∘．
15. 9
【解析】因为 AB=AC，∠BAC=120∘，
所以 ∠B=∠C=30∘，
因为 AD⊥AC，
所以 ∠DAC=90∘，
又 ∠C=30∘，
所以 CD=2AD=6，
因为 ∠BAC=120∘，∠DAC=90∘，
所以 ∠BAD=30∘，
所以 ∠DAB=∠B，
所以 BD=AD=3，
所以 BC=BD+CD=9．
16. 8a+16
【解析】拼成的长方形的面积为 a+42−a2=8a+16，
故答案为：8a+16．
17. 2
【解析】作 DE⊥AB 于 E，
由尺规作图可知，AD 为 ∠CAB 的平分线，又 ∠C=90∘，DE⊥AB，
∴DE=CD=1，
∴△ABD的面积=12×AB×DE=12×4×1=2，
故答案为：2．
18. 6，128
【解析】（1）当 n=4 时，a+b4 的展开式中第 3 项的系数是 6；
（2）人们发现，当 n 是大于 6 的自然数时，这个规律依然成立，当 n=7 时，各项系数分别为 1，7，21，35，35，21，71，
那么 a+b7 的展开式中各项的系数的和为 128．
第三部分
19. （1） 原式=1−32+3=1−9+3=−5.
（2） 原式=3x2−4y2=3x+2yx−2y.
20. ∵ED∥AC，
∴∠EDA=∠DAC，
∵ED=AE，
∴∠EAD=∠EDA，
∴∠EAD=∠DAC，
在 △ADB 和 △ADC 中，
AB=AC,∠BAD=∠CAD,AD=AD
∴△ADB≌△ADCSAS，
∴BD=CD．
21. 3a2a+1−2a+12a−1=6a2+3a−4a2+1=2a2+3a+1,
∵2a2+3a−4=0，
∴2a2+3a=4．
∴原式=4+1=5．
22. （1） 如图所示，建立平面直角坐标系 xOy．
（2） 如图所示，△A1B1C1 即为所求；
（3） 点 A−4,4 关于 x 轴的对称点的坐标 −4,−4．
23. （1） 如图所示即为所求作的图形；
（2） ∵CO 是 BD 的垂直平分线，
∴OD=OB，
∵∠A=45∘，
∴∠ACO=45∘，
∴OA=OC=4.5，
∴OB=OD=7.5−4.5=3，
∴D−3,0；
（3） S△ACD=12×AD⋅CO=12×32×92=278．
24. （1） x2−2xy+y2−4=x−y2−4=x−y+2x−y−2,
∴x2−2xy+y2−4=x−y+2x−y−2．
（2） ∵a2−ab−ac+bc=0，
∴aa−b−ca−b=0，
∴a=b 或 a=c，
∴△ABC 是等腰三角形．
25. （1） 如图，在 BE 上取点 F，使 ∠FCE=60∘，连接 CD，设 CP 与 AD 交于点 H，
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠ACB=60∘，AC=BC，
∴∠ACB−∠ACF=∠FCE−∠ACF，
即 ∠BCF=∠ACE，
∵ 点 A 与点 D 关于 PC 对称，
∴PC 垂直平分 AD，
则 EA=ED，CA=CD，
∴∠EAD=∠EDA，∠CAD=∠CDA，
∴∠CAD−∠EAD=∠CDA−∠EDA，
即 ∠CAE=∠CDE，
∵BC=AC=CD，
∴∠CBF=∠CDE，
∴∠CBF=∠CAE，
∴△CBF≌△CAEASA，
∴CF=CE，
又 ∵∠FCE=60∘，
∴△CFE 是等边三角形，
∴∠CEF=60∘，
∴∠HED=∠HEA=∠CEF=60∘，
∵∠CAE+∠ECA=∠HEA，
∴∠CAE=60∘−∠ECA=60∘−α，
即 ∠DBC=60∘−α．
（2） 在 α0∘<α≤60∘ 的变化过程中，∠AEB 的大小不发生变化，∠AEB=60∘．
【解析】理由如下：
由（1）知，∠CEF=60∘，
∴∠HED=∠HEA=∠CEF=60∘，
∴∠AEB=180∘−∠HEA−∠HED=60∘，
∴∠AEB 的大小不发生变化，∠AEB=60∘．
（3） 2AE+CE=BD，理由如下：
由（1）知，△CBF≌△CAE，
∴BF=AE，
又由（1）知，AE=ED，
∴BF=AE=ED，
由（1）知，△CFE 是等边三角形，
∴CE=EF，
∵BF+EF+ED=BD，
∴2AE+CE=BD．
26. （1） 是；不是
②作 PM1⊥AB 于 M1，PM2⊥AC 于 M2，连接 PA，如图 1−1 所示：
∵AB=AC，点 P 是 BC 的中点，
∴PA 平分 ∠BAC，
∴PM1=PM2；
由垂线段最短可知：PM1，PM2 是 △ABC 关于点 P 等距线段最短的线段；
【解析】① ∵ 点 P 是 BC 的中点，
∴PB=PC，
∴ 点 B，C 是 △ABC 关于点 P 的等距点；
∵AB=AC，
∴PA⊥BC，PA≠PB，
∴ 线段 PA，PB 不是 △ABC 关于点 P 的等距线段；
故答案为：是，不是；
（2） 如图 1−2，以 P 为圆心，PC 长为半径作圆 P，交 AC 于 D，交 BC 于 Dʹ，连接 PD，
则 PDʹ=PC=PD=1，
∴CDʹ=PC+PDʹ=2；
∵△ABC 是等边三角形，
∴BC=AC=4，∠C=60∘，
∴△PCD 是等边三角形，
∴CD=PC=1；
即线段 DC 的长为 2 或 1；
（3） a3【解析】当 PC=12BC=12a 时，
当 P 为 BC 的中点，则 PB=PC，
∴B，C 是，△ABC 关于点 P 的等距点，
作 PE⊥AB 于 E，截取 EF=EB，连接 PF，如图 2 所示：
则 PF=PB=12a，
∵∠B=30∘，
∴PE=12BP=14a，
∴AB 边上存在 2 个 △ABC 关于点 P 的等距点，
∵△ABC 关于点 P 的等距点恰好有四个，且其中一个是点 C．
∴PC<12BC，即 PC当 PC=13BC=13a 时，PB=23a，PE=12BP=13a，
则 △ABC 关于点 P 的等距点有 2 个在 BC 上，有 1 个在 AB 上，
∵△ABC 关于点 P 的等距点恰好有四个，且其中一个是点 C．
∴PC>13BC，
∴PC 长的取值范围是 a3