2020-2021学年北京市西城区四中七下期中数学试卷

这是一份2020-2021学年北京市西城区四中七下期中数学试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共10小题；共50分）
1. 下列各图中，∠1 和 ∠2 是对顶角的是
A. B.
C. D.

2. 9 的平方根是
A. ±3B. 3C. 3D. ±3

3. 点 −4,2 所在的象限是
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限

4. 下列长度的三条线段能组成三角形的是
A. 3，4，8B. 5，6，11C. 4，4，8D. 8，8，8

5. 多边形的边数由 3 增加到 2021 时，其外角和的度数
A. 增加B. 减少C. 不变D. 不能确定

6. 以下命题是真命题的是
A. 相等的两个角一定是对顶角
B. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
C. 两条平行线被第三条直线所截，内错角互补
D. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相垂直

7. 如图，下列条件：① ∠C=∠CAF，② ∠C=∠EDB，③ ∠BAC+∠C=180∘，④ ∠GDE+∠B=180∘，其中能判断 AB∥CD 的是
A. ①③④B. ②③④C. ①④D. ①②③

8. 有一个数值转换器，原理如下：当输入的 x 为 64 时，输出的 y 是
A. 22B. 2C. 2D. ±2

9. 如图，把图一中的圆 A 经过平移得到圆 O（如图二），如果图一中圆 A 上一点 P 的坐标为 m,n，那么平移后在图二中的对应点 Pʹ 的坐标为
A. m+2,n+1B. m−2,n−1
C. m−2,n+1D. m+2,n−1

10. 如图，AB∥CD，∠EBF=∠FBA，∠EDG=∠GDC，∠E=45∘，则 ∠H 为
A. 22∘B. 22.5∘C. 30∘D. 45∘

二、填空题（共8小题；共40分）
11. 请写出一个大于 2 的无理数： ．

12. 五边形的内角和是 ∘．

13. 今年清明假期 164 万游客游园，玉渊潭、动物园、天坛公园游客最多．如图是玉渊潭公园部分景点的分布示意图，在图中，分别以正东、正北方向为 x 轴、 y 轴的正方向建立平面直角坐标系，当表示西桥的点的坐标为 −6,1，表示中堤桥的点的坐标为 1,2 时，表示留春园的点的坐标为 ．

14. 如图所示，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，∠1=30∘，∠2=50∘，则 ∠3 的度数为 ∘．

15. 若等腰三角形的两边长分别为 6 和 8，则它的周长为 ．

16. 如图，直线 l1⊥l2，在某平面直角坐标系中，x轴∥l1，y轴∥l2，点 A 的坐标为 −2,4，点 B 的坐标为 4,−2，那么点 C 在第 象限．

17. 在 1∼7 月份，某种水果的每斤进价与每斤售价的信息如图所示，则出售该种水果每斤利润最大的月份是 月份．

18. 小明用计算器求了一些正数的平方，记录如下表．
下面有四个推断：
① 6.8644=2.62；
②一定有 6 个整数的算术平方根在 26.6∽26.7 之间；
③对于小于 26 的两个正数，若它们的差等于 0.1，则它们的平方的差小于 5.21；
④若一个正方形的边长为 26.4，那么这个正方形的面积是 696.96．
所有合理推断的序号是 ．

三、解答题（共8小题；共104分）
19. 计算：3−27+49−2+∣1−2∣．

20. 解下列方程：
（1）2x3=−16．
（2）25x2−1=24．

21. 完成下面推理填空：
如图，点 E，F 分别在 AB 和 CD 上，∠1=∠D，∠2 与 ∠C 互余，AF⊥CE 于点 G．
求证：AB∥CD．
证明：
∵AF⊥CE（已知），
∴∠CGF=90∘（① ）．
∵∠1=∠D（已知），
∴（② ）∥（③ ）（④ ）．
∴∠4=∠CGF=90∘（⑤ ）．
∵∠2+∠3+∠4=180∘（平角的定义），
∴∠2+∠3=90∘．
∵∠2 与 ∠C 互余（已知），
∴∠2+∠C=90∘（互余的定义）．
∴∠C=∠3（同角的余角相等）．
∴AB∥CD（⑥ ）．

22. 已知点 A3a−6,a+1，试分别根据下列条件，求出点 A 的坐标．
（1）点 A 在 x 轴上．
（2）点 A 在过点 P3,−2，且与 y 轴平行的直线上．

23. 如图，在 △ABC 中，AE 平分 ∠BAC，AD 是 BC 边上的高．
（1）在图中将图形补充完整．
（2）当 ∠B=28∘，∠C=72∘，求 ∠DAE 的度数．
（3）∠DAE 与 ∠C−∠B 有怎样的数量关系?写出结论并加以证明．

24. 如图，在正方形网格中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，点 A，B，C，O 均在格点上，其中 O 为坐标原点，A−3,3．
（1）点 C 的坐标为 ．
（2）将 △ABC 向右平移 6 个单位，向下平移 1 个单位，对应得到 △A1B1C1，请在图中画出平移后的 △A1B1C1，并求 △A1B1C1 的面积．
（3）在 x 轴上有一点 P，使得 △PA1B1 的面积等于 △A1B1C1 的面积，直接写出点 P 坐标．

25. 已知 △ABC 中，∠ABC=∠ACB，D 为线段 CB 上一点（不与 C，B 重合），点 E 为射线 CA 上一点，∠ADE=∠AED，设 ∠BAD=α，∠CDE=β．
（1）如图 1．
①若 ∠BAC=50∘，∠DAE=36∘，则 α= ，β= ．
②写出 α 与 β 的数量关系，并说明理由．
（2）如图 2，当 E 点在 CA 的延长线上时，其它条件不变，写出 α 与 β 的数量关系，并说明理由．

26. 已知，在平面直角坐标系中，AB⊥x 轴于点 B，点 Aa,b 满足 a−6+∣b−3∣=0，平移线段 AB 使点 A 与原点重合，点 B 的对应点为点 C．
（1）a= ，b= ，点 C 坐标为 ．
（2）如图 1，点 Dm,n 是射线 CB 上的一个动点．
①连接 OD，利用 △OBC，△OBD，△OCD 的面积关系，可以得到 m，n 满足一个固定的关系式，请写出这个关系式 ．
②过点 A 作直线 l∥x 轴，在 l 上取点 M，使得 MA=2，若 △CDM 的面积为 4，请直接写出点 D 的坐标 ．
（3）如图 2，以 OB 为边作 ∠BOG=∠AOB，交线段 BC 于点 G，E 是线段 OB 上一动点，连接 CE 交 OG 于点 F，当点 E 在线段 OB 上运动过程中，∠OFC+∠FCG∠OEC 的值是否发生变化?若变化请说明理由，若不变，求出其值．

四、填空题（共3小题；共15分）
27. 设 a 是 4+5 的整数部分，b 是 4−5 的小数部分，则 a= ，b= ．

28. 在平面直角坐标系中，孔明做走棋的游戏，其走法是：棋子从原点出发，第 1 步沿 x 轴向右走 1 个单位长度，第 2 步向右走 2 个单位长度，第 3 步向上走 1 个单位长度，第 4 步向右走 1 个单位长度，⋯，依此类推，第 n 步的走法是：当 n 能被 3 整除时，则向上走 1 个单位长度；当 n 被 3 除，余数为 1 时，则向右走 1 个单位长度；当 n 被 3 除，余数为 2 时，则向右走 2 个单位长度，当走完第 6 步时，棋子所处位置的坐标是 ，当走完第 7 步时，棋子所处位置的坐标是 ，当走完第 2021 步时，棋子所处位置的坐标是 ．

29. 长度为 20 厘米的木棍，截成三段，每段长度为整数厘米，请写出一种可以构成三角形的截法，此时三段长度分别为 ，能构成三角形的截法共有 种．（只考虑三段木棍的长度）

五、解答题（共1小题；共13分）
30. 如图，对于平面直角坐标系 xOy 中的任意两点 AxA,yA，BxB,yB，它们之间的曼哈顿距离定义如下：∣AB∣1=∣xA−xB∣+∣yA−yB∣．已知 O 为坐标原点，点 P4,−5，Q−2,4．
（1）∣OP∣1= ，∣PQ∣1= ．
（2）已知点 Tt,1，其中 t 为任意实数．
①若 ∣TP∣1=10，求 t 的值．
②若 P，Q，T 三点在曼哈顿距离下是等腰三角形，请直接写出 t 的值．
答案
第一部分
1. C
2. A
3. B【解析】因为点 P−4,2 所横纵坐标分别为 负,正，符合在第二象限的条件．
4. D
5. C
【解析】因为多边形外角和固定为 360∘，所以外角和的度数是不变的．
6. B
7. A【解析】①当 ∠DCA=∠CAF 时，AB∥CD，符合题意；
②当 ∠C=∠EDB 时，AC∥DB，不合题意；
③当 ∠BAC+∠C=180∘ 时，AB∥CD，符合题意；
④当 ∠GDE+∠B=180∘ 时，
又 ∵∠GDE+∠EDB=180∘，
∴∠B=∠EDB，
∴AB∥CD，符合题意；
∴ 能判断 AB∥CD 的是①③④．
8. C【解析】输为 x 为 64 时，取立方根为 364=4，
再取算术平方根 4=2，2 是有理数，
所以现取算术平方根 2，2 是无理数，
所以输出 y 为 2．
9. D【解析】∵⊙A 的圆心坐标为 −2,1，平移后到达 O0,0，
∴ 图形向右平移了 2 个单位，向下平移 1 个单位，
∵P 的坐标为 m,n，
∴ 对应点 Pʹ 的坐标为 m+2,n−1．
10. B
【解析】过点 E 作 EQ∥AB，过 H 作 IH∥AB，
∵AB∥CD，
∴EQ∥AB∥CD∥HI，
∴∠QEB+∠ABE=180∘，∠QED+∠CDE=180∘，
∠IHD+∠CDH=180∘，∠IHB+∠ABH=180∘，
∴∠QED=180∘−∠CDE，∠QEB=180∘−∠ABE，
∠IHB=180∘−∠ABH，∠IHD=180∘−∠CDH，
∴∠BED=∠QED−∠QEB=180∘−∠CDE−180∘−∠ABE=∠ABE−∠CDE,
∴∠BHD=∠IHB−∠IHD=180∘−∠ABH−180∘−∠CDH=∠CDH−∠ABH,
∵∠EBF=∠FBA，∠EDG=∠GDC，
∴∠BED=2∠FBA−2∠GDC，
∴∠BHD=180∘−∠GDC−180∘−∠ABF=∠ABF−∠GDC，
∴∠BHD=12∠BED，
∵∠BED=45∘，
∴∠BHD=22.5∘．
第二部分
11. 5
【解析】∵2=4，
∴5>4=2．
12. 540
【解析】5−2⋅180∘=540∘．
13. 9,−1
14. 20
【解析】如图，
∵BC∥DE，
∴∠CBD=∠2=50∘，
又 ∵∠CBD 为 △ABC 的外角，
∴∠CBD=∠1+∠3，
即 ∠3=50∘−30∘=20∘．
15. 20 或 22
【解析】若等腰三角形的腰长为 6，则三边长分别为 6，6，8，符合三角形三边关系可以组成三角形，则它的周长为 6+6+8=20．
若等腰三角形的腰长为 8，则三边长分别为 6，8，8，符合三角形三边关系可以组成三角形，则它的周长为 6+8+8=22．
综上所述，它的周长为 20 或 22．
16. 一
【解析】如图，
∵ 点 A 的坐标为 −2,4，点 B 的坐标为 4,−2，
∴ 点 A 位于第二象限，点 B 位于第四象限，
∴ 点 C 位于第一象限．
故答案为：一．
17. 4
【解析】由图象中的信息可知，3 月份的利润 =7.5−5=2.5 元，
4 月份的利润 =6−3=3 元，
5 月份的利润 =4.5−2=2.5 元，
6 月份的利润 =3−1.2=1.8 元，
故出售该种水果每斤利润最大的月份是 4 月份．
18. ①③④
【解析】∵ 当 x=26.2 时，x2=686.44，
∴ 当 x=2.62=26.2×110 时，x2=26.2×1102=6.8644，
∴6.8644=2.62，①正确；
∵26.62=707.56，26.72=712.89，
在 707.56∽712.89 中有 708，709，710，711，712，总共 5 个整数，
∴ ②错误；
设两个正数分别为 a 和 b，
其中 a>b，a−b=0.1，
∴a2−b2=a+ba−b=0.1a+b