2019-2020学年山东省青岛市市南区八年级（下）期末数学试卷

这是一份2019-2020学年山东省青岛市市南区八年级（下）期末数学试卷，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，作图题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）民族图案是数学文化中的一块瑰宝．下列图案中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）据气象台预报，2020年7月某日青岛最高气温27℃，最低气温21℃，则当天气温t（℃）的变化范围是（ ）
A．t＞21B．t≤27C．21＜t＜27D．21≤t≤27
3．（3分）下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ）
A．（3﹣x）（3+x）＝9﹣x2
B．
C．x2﹣7x+12＝（x﹣3）（x﹣4）
D．4yz﹣2y2z+z＝2y（2z﹣yz）+z
4．（3分）如图，AE与BF交于点O，点O在CG上，根据尺规作图的痕迹，判断下列说法不正确的是（ ）
A．AE、BF是△ABC的内角平分线
B．CG也是△ABC的一条内角平分线
C．AO＝BO＝CO
D．点O到△ABC三边的距离相等
5．（3分）如图，已知一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象与x轴交于点A（3，0），若正比例函数y＝mx（m为常数，且m≠0）的图象与一次函数的图象相交于点P，且点P的横坐标为1，则关于x的不等式（k﹣m）x+b＜0的解集为（ ）
A．x＜1B．x＞1C．x＜3D．x＞3
6．（3分）如图，已知△ABC中，∠ABC＝50°，P为△ABC内一点，过点P的直线MN分别交AB、BC于点M、N．若M在PA的中垂线上，N在PC的中垂线上，则∠APC的度数为（ ）
A．100°B．105°C．115°D．无法确定
7．（3分）已知关于x的不等式组恰好有6个整数解，则a的取值范围为（ ）
A．4≤a≤5B．4≤a＜5C．4＜a＜5D．4＜a≤5
8．（3分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AB中点，且AE+EO＝4，则▱ABCD的周长为（ ）
A．20B．16C．12D．8
二、填空题（本大题共6小题，满分共18分.只要求填写最后结果，每小题填对得3分）
9．（3分）化简分式：＝ ．
10．（3分）如果一个正多边形每一个内角都等于144°，那么这个正多边形的边数是 ．
11．（3分）解关于x的方程有增根，原方程无解，则常数a的值等于 ．
12．（3分）如图，在△PAB中，PA＝PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM＝BK，BN＝AK，若∠MKN＝42°，则∠P的度数为 °．
13．（3分）小明将一张正方形纸片按如图所示顺序折叠成纸飞机，当机翼展开在同一平面时（机翼间无缝隙），∠AOB的度数是 ．
14．（3分）如图，AB为等腰直角△ABC的斜边，E为AB的中点，F为AC延长线上的一个动点（F与点C不重合），线段FB的垂直平分线交线段CE于点O，D为垂足，当F点运动时，给出下列四个结论，其中一定正确的结论有 （请填写正确序号）．
①点O到△ABF三个顶点的距离相等；
②OF⊥OB；
③；
④S△AEC＜S△BOF．
三、作图题（本题共4分）
15．（4分）用圆规，直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹
如图，OA、OB表示两条道路，在OB上有一车站（用点P表示）．现在要在两条道路形成的∠AOB的内部建一个报亭，要求报亭到两条道路的距离相等且在过点P与AO平行的道路上．请在图中作出报亭的位置．
三、解答题（本大题共9小题，满分74分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或推算步骤）
16．（14分）解答下列各题．
（1）将下列各式因式分解．
①6ab3c+4a2b2．
②﹣3a+12a2﹣12a3．
（2）化简：•（1+）÷．
（3）解不等式组，并写出它的非负整数解．
17．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标为A（﹣3，4），B（﹣4，2），C（﹣2，1），△ABC绕原点逆时针旋转90°，得到△A1B1C1，将△A1B1C1向右平移6个单位，再向上平移2个单位得到△A2B2C2．
（1）画出△A1B1C1；
（2）P（a，b）是△ABC的边AC上一点，△ABC经旋转、平移后点P的对应点分别为P1、P2，请写出点P1、P2的坐标．
18．（6分）某超市预测某品牌饮料有销售前景，用1200元购进一批该饮料，试销售后果然供不应求，又用5400元购进这种饮料，第二批饮料的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元．
（1）第一批饮料进货单价为多少元？
（2）若二次购进饮料按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于3000元，则销售单价至少为多少元？
19．（7分）已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E，F在AC上，且AE＝CF．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形．
（2）当AB＝3，AC＝4，AD＝5时，求平行四边形ABCD的面积．
20．（7分）如图，将一张长方形纸板按图中实线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形，且m＞n（以上长度单位：cm）．
（1）观察图形，可以发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解为．
（2）若每块小长方形的周长是20cm，且每块大正方形与每块小正方形的面积差为40cm2，求这张长方形纸板的面积．
21．（7分）如图，在△ABC中，AB＝7，BC＝14，M为AC的中点，OM⊥AC交∠ABC的平分线于O，OE⊥AB交BA的延长线于E，OF⊥BC．垂足为F．
（1）求证：AE＝CF．
（2）求线段BE的长．
22．（9分）学校通过调查发现很多同学非常喜欢羽毛球这项体育活动，决定开展羽毛球选修课，购进10副某一品牌羽毛球拍，每副球拍配x（x≥2）个羽毛球，供应同学们积极参加体育活动．学校附近有甲、乙两家体育文化用品商场，都有这种品牌的羽毛球拍和羽毛球出售，且每副球拍的标价均为30元，每个羽毛球的标价为3元，目前两家商场都有优惠活动：
甲商场：所有商品均打九折（按标价的90%）销售；
乙商场：买一副羽毛球拍送2个羽毛球．
设在甲商场购买羽毛球拍和羽毛球的费用为y1（元），在乙商场购买羽毛球拍和羽毛球的费用为y2（元）．
请解答下列问题：
（1）分别写出y1，y2与x之间的关系式．
（2）若只能在一家超市购买，当x取何值时，在甲商场购买更划算．
（3）若可以同时在两家商场分别购买部分商品，每副球拍配30个羽毛球，则购买费用最少为多少元？
23．（9分）回答下列各题．
（1）观察下列算式，并完成填空：
1＝12；
1+3＝4＝22；
1+3+5＝9＝32；
1+3+5+7＝16＝42；
1+3+5+…+（2n﹣1）＝ ．（n是正整数）
（2）如图是某市一广场用正六边形、正方形和正三角形地板砖铺设的图案，图案中央是一块正六边形地板砖，周围是正方形和正三角形的地板砖．从里向外第一层包括6块正方形和6块正三角形地板砖；第二层包括6块正方形和18块正三角形地板砖；以此递推．
①第3层中分别含有 块正方形和 块正三角形地板砖．
②第n层中含有 块正三角形地板砖（用含n的代数式表示）．
（3）【应用】该市打算在一个新建广场中央，采用如图样式的图案铺设地面，现有1块正六边形、150块正方形和3000正三角形地板砖，问：铺设这样的图案，最多能铺多少层？请说明理由．
24．（9分）已知：如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，∠ABC＝60°，两条对角线AC与BD相交于点O．点P在射线BC上，从点B出发以1cm/s的速度向右匀速运动，连接PO并延长，与AD相交于点Q．设点P运动的时间为t．
（1）求证：AQ＝PC．
（2）当点P在线段BC上运动，四边形OPCD的形状在发生相应的变化，写出四边形OPCD的面积S关于t表达式．
（3）当点P在线段BC上运动，t为何值时，四边形OPCD的面积等于平行四边形ABCD面积的．
（4）连接PD，随着点P在射线BC上运动，是否存在某一时刻t，使△BPD成为等腰三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
2019-2020学年山东省青岛市市南区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确的选项选出来，每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）
1．（3分）民族图案是数学文化中的一块瑰宝．下列图案中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项正确；
C．既不是轴对称，也不是中心对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误．
故选：B．
2．（3分）据气象台预报，2020年7月某日青岛最高气温27℃，最低气温21℃，则当天气温t（℃）的变化范围是（ ）
A．t＞21B．t≤27C．21＜t＜27D．21≤t≤27
【解答】解：由某日青岛最高气温是27℃，最低气温是21℃，得21≤t≤27．
故选：D．
3．（3分）下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ）
A．（3﹣x）（3+x）＝9﹣x2
B．
C．x2﹣7x+12＝（x﹣3）（x﹣4）
D．4yz﹣2y2z+z＝2y（2z﹣yz）+z
【解答】解：A．从左边到右边的变形，属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B．等式的右边不是整式积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C．从左边到右边的变形，属于因式分解，故本选项符合题意；
D．从左边到右边的变形，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
故选：C．
4．（3分）如图，AE与BF交于点O，点O在CG上，根据尺规作图的痕迹，判断下列说法不正确的是（ ）
A．AE、BF是△ABC的内角平分线
B．CG也是△ABC的一条内角平分线
C．AO＝BO＝CO
D．点O到△ABC三边的距离相等
【解答】解：A、由尺规作图的痕迹可知：AE、BF是△ABC的内角平分线，所以选项A正确；
B、根据三角形三条角平分线交于一点，且点O在CG上，所以CG也是△ABC的一条内角平分线，所以选项B正确；
C、三角形三边中垂线的交点到三个顶点的距离相等，所以选项C不正确；
D、因为角平分线的点到角两边的距离相等得：点O到△ABC三边的距离相等，所以选项D正确；
本题选择说法不正确的，故选：C．
5．（3分）如图，已知一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象与x轴交于点A（3，0），若正比例函数y＝mx（m为常数，且m≠0）的图象与一次函数的图象相交于点P，且点P的横坐标为1，则关于x的不等式（k﹣m）x+b＜0的解集为（ ）
A．x＜1B．x＞1C．x＜3D．x＞3
【解答】解：当x＞1时，kx+b＜mx，
所以关于x的不等式（k﹣m）x+b＜0的解集为x＞1．
故选：B．
6．（3分）如图，已知△ABC中，∠ABC＝50°，P为△ABC内一点，过点P的直线MN分别交AB、BC于点M、N．若M在PA的中垂线上，N在PC的中垂线上，则∠APC的度数为（ ）
A．100°B．105°C．115°D．无法确定
【解答】解：∵∠ABC＝50°，
∴∠BAC+∠ACB＝130°，
∵若M在PA的中垂线上，N在PC的中垂线上，
∴AM＝PM，PN＝CN，
∴∠MAP＝∠APM，∠CPN＝∠PCN，
∵∠APC＝180°﹣∠APM﹣∠CPN＝180°﹣∠PAC﹣∠ACP，
∴∠MAP+∠PCN＝∠PAC+∠ACP＝130°＝65°，
∴∠APC＝115°，
故选：C．
7．（3分）已知关于x的不等式组恰好有6个整数解，则a的取值范围为（ ）
A．4≤a≤5B．4≤a＜5C．4＜a＜5D．4＜a≤5
【解答】解：，
解①得：x≥﹣1，
解②得：x＜a，
∴﹣1≤x＜a,
∵不等式组的整数解有6个，
∴不等式组的整数解为﹣1、0、1、2、3、4，
则4＜a≤5，
故选：D．
8．（3分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AB中点，且AE+EO＝4，则▱ABCD的周长为（ ）
A．20B．16C．12D．8
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，
∵AE＝EB，
∴OE＝BC，
∵AE+EO＝4，
∴2AE+2EO＝8，
∴AB+BC＝8，
∴平行四边形ABCD的周长＝2×8＝16，
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，满分共18分.只要求填写最后结果，每小题填对得3分）
9．（3分）化简分式：＝ ．
【解答】解：原式＝••＝．
故答案是：．
10．（3分）如果一个正多边形每一个内角都等于144°，那么这个正多边形的边数是 10 ．
【解答】解：设正多边形的边数为n，
由题意得，＝144°，
解得n＝10．
故答案为：10．
11．（3分）解关于x的方程有增根，原方程无解，则常数a的值等于 ﹣2 ．
【解答】解：由x﹣5＝0得x＝5，
∴分式方程的增根为x＝5，
把分式方程两边同时乘以（x﹣5）得：
x﹣3＝﹣a﹣3(x﹣5)，
把x＝5代入得：
5﹣3＝﹣a﹣(5﹣5)，
∴a＝﹣2．
故答案为：﹣2．
12．（3分）如图，在△PAB中，PA＝PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM＝BK，BN＝AK，若∠MKN＝42°，则∠P的度数为 96 °．
【解答】解：∵PA＝PB，
∴∠A＝∠B，
在△AMK和△BKN中，
，
∴△AMK≌△BKN，
∴∠AMK＝∠BKN，
∵∠MKB＝∠MKN+∠NKB＝∠A+∠AMK，
∴∠A＝∠MKN＝42°，
∴∠P＝180°﹣∠A﹣∠B＝96°，
故答案为96．
13．（3分）小明将一张正方形纸片按如图所示顺序折叠成纸飞机，当机翼展开在同一平面时（机翼间无缝隙），∠AOB的度数是 45° ．
【解答】解：在折叠过程中角一直是轴对称的折叠，
∠AOB＝22.5°×2＝45°；
故答案为45°．
14．（3分）如图，AB为等腰直角△ABC的斜边，E为AB的中点，F为AC延长线上的一个动点（F与点C不重合），线段FB的垂直平分线交线段CE于点O，D为垂足，当F点运动时，给出下列四个结论，其中一定正确的结论有 ①②④ （请填写正确序号）．
①点O到△ABF三个顶点的距离相等；
②OF⊥OB；
③；
④S△AEC＜S△BOF．
【解答】解：如图，连接AO，
∵CA＝CB，AE＝EB，
∴CE⊥AB，
∴OA＝OB，
∵OD垂直平分线段BF，
∴OF＝OB，
∴OA＝OF＝OB，
∴点O到△ABF三个顶点的距离相等，故①正确；
设BC交OF于J，
在△ACO与△BCO中，
,
∴△ACO≌△BCO（SSS），
∴∠CAO＝∠CBO，
∵OA＝OF，
∴∠CAO＝∠CFJ，
∴∠CFJ＝∠OBJ，
∵∠CJF＝∠OJB，
∴∠JOB＝∠JCF＝90°，
∴OF⊥OB，故②正确；
∵，AC+CF＝AF，
显然AF不一定等于AB、故③错误；
∵△ABC为等腰直角三角形，E为AB中点，
∴，CE⊥AB，
∴△ACE面积为AE•CE＝BE2，
∵OF⊥OB，OF＝OB，
∴△BOF面积为OF•OB＝OB2，
在Rt△OBE中，OB为斜边，BE为直角边，
∴OB＞BE，
∴，
∴S△AEC＜S△BOF，故④正确．
故答案为：①②④．
三、作图题（本题共4分）
15．（4分）用圆规，直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹
如图，OA、OB表示两条道路，在OB上有一车站（用点P表示）．现在要在两条道路形成的∠AOB的内部建一个报亭，要求报亭到两条道路的距离相等且在过点P与AO平行的道路上．请在图中作出报亭的位置．
【解答】解：如图，点T即为所求．
三、解答题（本大题共9小题，满分74分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或推算步骤）
16．（14分）解答下列各题．
（1）将下列各式因式分解．
①6ab3c+4a2b2．
②﹣3a+12a2﹣12a3．
（2）化简：•（1+）÷．
（3）解不等式组，并写出它的非负整数解．
【解答】解：（1）①6ab3c+4a2b2
＝2ab2（3bc+2a）；
②﹣3a+12a2﹣12a3
＝﹣3a（1﹣4a+4a2）
＝﹣3a（2a﹣1）2；
（2）
＝••（m﹣3）
＝•
＝
＝；
（3），
解不等式①，得
x≥﹣，
解不等式②，得
x＜3，
∴原不等式组的解集是﹣≤x＜3，
故该不等式组的非负整数解是0，1，2．
17．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标为A（﹣3，4），B（﹣4，2），C（﹣2，1），△ABC绕原点逆时针旋转90°，得到△A1B1C1，将△A1B1C1向右平移6个单位，再向上平移2个单位得到△A2B2C2．
（1）画出△A1B1C1；
（2）P（a，b）是△ABC的边AC上一点，△ABC经旋转、平移后点P的对应点分别为P1、P2，请写出点P1、P2的坐标．
【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1，△A2B2C2，即为所求；
（2）∵A（﹣3，4），A1（﹣4，﹣3），B（﹣4，2），B1（﹣2，﹣4），
∴P（a，b），则P1（﹣b，a），
∵A1（﹣4，﹣3），B1（﹣2，﹣4），A2（2，﹣1），B2（4，﹣2），
∴P2（﹣b+6，a+2）．
18．（6分）某超市预测某品牌饮料有销售前景，用1200元购进一批该饮料，试销售后果然供不应求，又用5400元购进这种饮料，第二批饮料的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元．
（1）第一批饮料进货单价为多少元？
（2）若二次购进饮料按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于3000元，则销售单价至少为多少元？
【解答】解：（1）设第一批饮料进货单价为x元，则第二批饮料进货单价为（x+2）元．
依题意，得：．
解得：x＝4．
经检验，x＝4是原方程的解，且符合题意．
答：第一批饮料进货单价为4元．
（2）第一批饮料进货数量为1200÷4＝300（瓶），
第二批饮料进货数量为5400÷（4+2）＝900（瓶）．
设销售单价为y元，
依题意，得：（300+900）y﹣（1200+5400）≥3000．
解得：y≥8．
答：销售单价至少为8元．
19．（7分）已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E，F在AC上，且AE＝CF．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形．
（2）当AB＝3，AC＝4，AD＝5时，求平行四边形ABCD的面积．
【解答】（1）证明：连接BD交AC于点O，如图所示：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵AE＝CF，
∴OA﹣OE＝OC﹣CF，
∴OE＝OF，
又∵OB＝OD，
∴四边形BEDF为平行四边形．
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝5，AB＝CD＝3，
∴AC2+CD2＝42+32＝52，
又∵AD2＝52，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴△ACD为直角三角形，∠ACD＝90°，
∴，
∴S平行四边形ABCD＝2S△ACD＝2×6＝12．
20．（7分）如图，将一张长方形纸板按图中实线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形，且m＞n（以上长度单位：cm）．
（1）观察图形，可以发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解为．
（2）若每块小长方形的周长是20cm，且每块大正方形与每块小正方形的面积差为40cm2，求这张长方形纸板的面积．
【解答】解：（1）由图可得，
2m2+5mn+2n2＝（2m+n）（m+2n）；
（2）∵每块小长方形的周长是20cm，且每块大正方形与每块小正方形的面积差为40cm2，
∴2（m+n）＝20，m2﹣n2＝40，
∴m+n＝10，（m+n）（m﹣n）＝40，
∴m﹣n＝4，
∴，
解得，
∴2m+n＝17，m+2n＝13，
∴面积为：（2m+n）（m+2n）＝17×13＝221（cm2）．
21．（7分）如图，在△ABC中，AB＝7，BC＝14，M为AC的中点，OM⊥AC交∠ABC的平分线于O，OE⊥AB交BA的延长线于E，OF⊥BC．垂足为F．
（1）求证：AE＝CF．
（2）求线段BE的长．
【解答】（1）证明：连接OA,
∵OB平分∠ABC，
又∵OE⊥AB，OF⊥BC，
∴OE＝OF．
∵OM⊥AC，M为AC中点，
∴OM垂直平分AC，
∴OA＝OC，
在Rt△AEO与Rt△CFO中，
,
∴Rt△AEO≌Rt△CFO（HL），
∴AE＝CF；
（2）解：在Rt△BEO与Rt△BFO中，
，
∴△BEO≌△BFO（HL），
∴BE＝BF，
∵AB＝7，BC＝14，
设AE＝CF＝x，
∴x+7＝14﹣x，
∴，
∴．
22．（9分）学校通过调查发现很多同学非常喜欢羽毛球这项体育活动，决定开展羽毛球选修课，购进10副某一品牌羽毛球拍，每副球拍配x（x≥2）个羽毛球，供应同学们积极参加体育活动．学校附近有甲、乙两家体育文化用品商场，都有这种品牌的羽毛球拍和羽毛球出售，且每副球拍的标价均为30元，每个羽毛球的标价为3元，目前两家商场都有优惠活动：
甲商场：所有商品均打九折（按标价的90%）销售；
乙商场：买一副羽毛球拍送2个羽毛球．
设在甲商场购买羽毛球拍和羽毛球的费用为y1（元），在乙商场购买羽毛球拍和羽毛球的费用为y2（元）．
请解答下列问题：
（1）分别写出y1，y2与x之间的关系式．
（2）若只能在一家超市购买，当x取何值时，在甲商场购买更划算．
（3）若可以同时在两家商场分别购买部分商品，每副球拍配30个羽毛球，则购买费用最少为多少元？
【解答】解：（1）由题意得：y1＝（10×30+3×10x）×0.9＝27x+270．
y2＝10×30+3×（10x﹣20）＝30x+240．
（2）当y1＜y2时，27x+270＜30x+240，得x＞10．
∴当x＞10时，在甲超市划算．
（3）设在乙超市买a副拍，送2a只羽毛球，则在甲超市买（10﹣a）副拍，买（300﹣2a）个羽毛球，设总费用w元，则：
w＝30a+27（10﹣a）+2.7（300﹣2a）
＝30a+270﹣27a+2.7×300﹣5.4a
＝﹣2.4a+1080，
∵﹣2.4＜0，
∴w随a的增大而减小，
∴当a＝10时，w最小，
w＝﹣24+1080＝1056（元）．
∴购买费用最少为1056元．
23．（9分）回答下列各题．
（1）观察下列算式，并完成填空：
1＝12；
1+3＝4＝22；
1+3+5＝9＝32；
1+3+5+7＝16＝42；
1+3+5+…+（2n﹣1）＝ n2 ．（n是正整数）
（2）如图是某市一广场用正六边形、正方形和正三角形地板砖铺设的图案，图案中央是一块正六边形地板砖，周围是正方形和正三角形的地板砖．从里向外第一层包括6块正方形和6块正三角形地板砖；第二层包括6块正方形和18块正三角形地板砖；以此递推．
①第3层中分别含有 6 块正方形和 30 块正三角形地板砖．
②第n层中含有 6（2n﹣1） 块正三角形地板砖（用含n的代数式表示）．
（3）【应用】该市打算在一个新建广场中央，采用如图样式的图案铺设地面，现有1块正六边形、150块正方形和3000正三角形地板砖，问：铺设这样的图案，最多能铺多少层？请说明理由．
【解答】解：（1）观察算式规律，1+3+5+…+（2n﹣1）＝n2，
故答案为：n2；
（2）①∵第一层包括6块正方形和6块正三角形地板砖，
第二层包括6块正方形和6+12＝18块正三角形地板砖，
∴第三层包括6块正方形和18+12＝30块正三角形地板砖．
故答案为：6，30；
②∵第一层6＝6×1＝6×（2×1﹣1）块正三角形地板砖，
第二层18＝6×3＝6×（2×2﹣1）块正三角形地板砖，
第三层30＝6×5＝6×（2×3﹣1）块正三角形地板砖，
∴第n层6（2n﹣1）块正三角形地板砖．
故答案为：6（2n﹣1）；
（3）铺设这样的图案，最多能铺22层．
理由如下：
∵150÷6＝25（层），
∴150块正方形地板砖可以铺设这样的图案25层；
∵铺设n层需要正三角形地板砖的数量为：6[1+3+5+⋯+（2n﹣1）]＝6n2，
∴6n2＝3000，n2＝500，，
∴3000块正三角形地板砖最多可以铺设这样的图案22层，
∴铺设这样的图案．最多能铺22层．
24．（9分）已知：如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，∠ABC＝60°，两条对角线AC与BD相交于点O．点P在射线BC上，从点B出发以1cm/s的速度向右匀速运动，连接PO并延长，与AD相交于点Q．设点P运动的时间为t．
（1）求证：AQ＝PC．
（2）当点P在线段BC上运动，四边形OPCD的形状在发生相应的变化，写出四边形OPCD的面积S关于t表达式．
（3）当点P在线段BC上运动，t为何值时，四边形OPCD的面积等于平行四边形ABCD面积的．
（4）连接PD，随着点P在射线BC上运动，是否存在某一时刻t，使△BPD成为等腰三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
【解答】（1）证明：如图1，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，OA＝OC，
∴∠OAQ＝∠OCP，
又∵∠AOQ＝∠COP，
∴△AOQ≌△COP（ASA），
∴AQ＝PC．
（2）过点A作AH⊥BC于点H，过点O作OE⊥BC于点E，则∠AHB＝90°，
∵AB＝6，∠ABC＝60°，
∴AH＝6×＝3，
∵OE∥AH，
∴△COE∽△CAH，
∴，
∴OE＝AH＝×3＝，
由S四边形OPCD＝S△BCD﹣S△BPO，得S＝t＝t+12，
∵点P在线段BC上且存在四边形OPCD，
∴0＜t＜8，
∴S＝t+12（0＜t＜8）．
（3）由题意，t+12＝8×3×，
解得，t＝4，
∴当t＝4时，四边形OPCD的面积等于平行四边形ABCD面积的．
（4）存在．
作DF⊥BC于点F，则∠DFC＝90°，
由（2）得，平行四边形ABCD的边BC上的高为3，
∴DF＝3；
∵CD∥AB，
∴∠DCF＝∠ABC＝60°，
∵CD＝AB＝6，
∴CF＝6×＝3，
∴BF＝8+3＝11，
∴BD2＝BF2+DF2＝112+（3）2＝148，
∴BD＝＝2，
∴BO＝DO＝BD＝．
当PB＝PD时，如图3，则∠BOP＝90°＝∠BFD，
∵∠OBP＝∠FBD，
∴△BOP∽△BFD，
，
∴BP＝＝＝，
由1×t＝，得t＝；
当BP＝BD＝2时，如图4，
由1×t＝2，得t＝2；
当PD＝BD时，如图5，则PF＝BF，
∴BP＝11×2＝22，
由1×t＝22，得t＝22，
综上所述，t的值为或或22．
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日期：2021/7/14 12:48:45；用户：朱文磊；邮箱：fywgy23@xyh.cm；学号：21522783