2021年中考数学压轴题题型组合卷（一）

这是一份2021年中考数学压轴题题型组合卷（一），共12页。试卷主要包含了选择，解答题等内容，欢迎下载使用。
中考压轴题·题型组合卷（一）（满分：30分）一、选择、填空题（共2小题，每小题3分，共6分）1.在Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，∠B＝60°，BC＝2cm，动点E从点A出发沿AB向点B运动，动点F从点D出发，沿折线D﹣C﹣B运动，两点的速度均为1cm/s，到达终点均停止运动，设AE的长为x，△AEF的面积为y，则y与x的图象大致为（　　）A．  B．   C．   D．    2.已知在等腰△ABC中，AB＝AC＝，BC＝4，点D从A出发以每秒个单位的速度向点B运动，同时点E从点B出发以每秒4个单位的速度向点C运动，在DE的右侧作∠DEF＝∠B，交直线AC于点F，设运动的时间为t秒，则当△ADF是一个以AD为腰的等腰三角形时，t的值为　                                ．  
二、解答题（共2小题，每小题12分，共24分）3.【问题提出】在△ABC中，AB＝AC≠BC，点D和点A在直线BC的同侧，BD＝BC，∠BAC＝α，∠DBC＝β，且α+β＝120°，连接AD，求∠ADB的度数．（不必解答）【特例探究】小聪先从特殊问题开始研究，当α＝90°，β＝30°时，利用轴对称知识，以AB为对称轴构造△ABD的轴对称图形△ABD′，连接CD′（如图2），然后利用α＝90°，β＝30°以及等边三角形等相关知识便可解决这个问题．请结合小聪研究问题的过程和思路，在这种特殊情况下填空：△D′BC的形状是　       　三角形；∠ADB的度数为　         　．【问题解决】在原问题中，当∠DBC＜∠ABC（如图1）时，请计算∠ADB的度数；【拓展应用】在原问题中，过点A作直线AE⊥BD，交直线BD于E，其他条件不变若BC＝7，AD＝2．请直接写出线段BE的长为　                   　．  
4.如图，抛物线y＝﹣x2+（3m+1）x﹣m（m＞且为实数）与x轴分别交于点A、B（点B位于点A的右侧且AB≠OA），与y轴交于点C．（1）填空：点B的坐标为　      　      ，点C的坐标为　            　（用含m的代数式表示）；（2）当m＝3时，在直线BC上方的抛物线上有一点M，过M作x轴的垂线交直线BC于点N，求线段MN的最大值；（3）在第四象限内是否存在点P，使得△PCO，△POA和△PAB中的任意两三角形都相似（全等是相似的特殊情况）？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．   
参考答案一、选择、填空题（共2小题，每小题3分，共6分）1.在Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，∠B＝60°，BC＝2cm，动点E从点A出发沿AB向点B运动，动点F从点D出发，沿折线D﹣C﹣B运动，两点的速度均为1cm/s，到达终点均停止运动，设AE的长为x，△AEF的面积为y，则y与x的图象大致为（　　）A．  B．   C．   D．【分析】根据题意找到临界点，E、F分别同时到达D、C，画出一般图形利用锐角三角函数表示y即可．【解答】解：在Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，∠B＝60°，BC＝2cm，∴AD＝DC＝DB＝2，∠CDB＝60°∵EF两点的速度均为1cm/s∴当0≤x≤2时，y＝•AE•DF•sin∠CDB＝x2，当2≤x≤4时，y＝，由图象可知A正确．故选：A．2.已知在等腰△ABC中，AB＝AC＝，BC＝4，点D从A出发以每秒个单位的速度向点B运动，同时点E从点B出发以每秒4个单位的速度向点C运动，在DE的右侧作∠DEF＝∠B，交直线AC于点F，设运动的时间为t秒，则当△ADF是一个以AD为腰的等腰三角形时，t的值为　或或　．【分析】当△ADF是一个以AD为腰的等腰三角形时，如图2，只能AD＝AF，由题意DF＝4t，BE＝4t，DF∥BE，推出四边形BEFD是平行四边形，由△ABC∽△BED，可得＝，延长构建方程即可解决问题；【解答】解：当点F在线段AC上时，如图1，过A作AG⊥BC于G，∵AB＝AC＝，∴BG＝CG＝2，由勾股定理得：AG＝＝1，由图形可知：∠BAC是钝角，∴当△ADF是一个以AD为腰的等腰三角形时，如图2，只能AD＝AF，由题意DF＝4t，BE＝4t，DF∥BE，∴四边形BEFD是平行四边形，∴∴DEF＝∠BDE＝∠B，∴△ABC∽△BED，∴＝，∴＝，∴t＝，②当点F在CA的延长线上，AD＝AF时，易知△BDE∽△CEF，∴＝，∴＝，∴CF＝t．∴+t＝t，∴t＝．③当点F在CA的延长线上，AD＝DF时，作DN⊥AF于N，BM⊥CF于M．设AM＝x，则42﹣（x+）2＝（）2﹣x2，∴x＝，∵DN∥BM，∴＝，∴AN＝t，∵DA＝DF．DN⊥AF，∴AF＝2AN＝t∴+t＝，∴t＝，综上所述，满足条件的t的值为或或．故答为或或．  二、解答题（共2小题，每小题12分，共24分）3.【问题提出】在△ABC中，AB＝AC≠BC，点D和点A在直线BC的同侧，BD＝BC，∠BAC＝α，∠DBC＝β，且α+β＝120°，连接AD，求∠ADB的度数．（不必解答）【特例探究】小聪先从特殊问题开始研究，当α＝90°，β＝30°时，利用轴对称知识，以AB为对称轴构造△ABD的轴对称图形△ABD′，连接CD′（如图2），然后利用α＝90°，β＝30°以及等边三角形等相关知识便可解决这个问题．请结合小聪研究问题的过程和思路，在这种特殊情况下填空：△D′BC的形状是　等边　三角形；∠ADB的度数为　30°　．【问题解决】在原问题中，当∠DBC＜∠ABC（如图1）时，请计算∠ADB的度数；【拓展应用】在原问题中，过点A作直线AE⊥BD，交直线BD于E，其他条件不变若BC＝7，AD＝2．请直接写出线段BE的长为　7+或7﹣　．【分析】【特例探究】①如图2中，作∠ABD′＝∠ABD，BD′＝BD，连接CD′，AD′，由△ABD≌△ABD′，推出△D′BC是等边三角形；②借助①的结论，再判断出△AD′B≌△AD′C，得∠AD′B＝∠AD′C，由此即可解决问题．【问题解决】当60°＜α≤120°时，如图3中，作∠AB D′＝∠ABD，B D′＝BD，连接CD′，AD′，证明方法类似（1）．【拓展应用】第①种情况：当60°＜α≤120°时，如图3中，作∠AB D′＝∠ABD，B D′＝BD，连接CD′，AD′，证明方法类似（1），最后利用含30度角的直角三角形求出DE，即可得出结论；第②种情况：当0°＜α＜60°时，如图4中，作∠ABD′＝∠ABD，BD′＝BD，连接CD′，AD′．证明方法类似（1），最后利用含30度角的直角三角形的性质即可得出结论．【解答】解：【特例探究】①如图2中，作∠ABD′＝∠ABD，BD′＝BD，连接CD′，AD′，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝45°，∵∠DBC＝30°，∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝15°，在△ABD和△ABD′中，∴△ABD≌△ABD′，∴∠ABD＝∠ABD′＝15°，∠ADB＝∠AD′B，∴∠D′BC＝∠ABD′+∠ABC＝60°，∵BD＝BD′，BD＝BC，∴BD′＝BC，∴△D′BC是等边三角形， ②∵△D′BC是等边三角形，∴D′B＝D′C，∠BD′C＝60°，在△AD′B和△AD′C中，∴△AD′B≌△AD′C，∴∠AD′B＝∠AD′C，∴∠AD′B＝∠BD′C＝30°，∴∠ADB＝30°．故答案为：等边，30°；【问题解决】∵∠DBC＜∠ABC，∴60°＜α≤120°，如图3中，作∠ABD′＝∠ABD，BD′＝BD，连接CD′，AD′，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠BAC＝α，∴∠ABC＝（180°﹣α）＝90°﹣α，∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝90°﹣α﹣β，同（1）①可证△ABD≌△ABD′，∴∠ABD＝∠ABD′＝90°﹣α﹣β，BD＝BD′，∠ADB＝∠AD′B∴∠D′BC＝∠ABD′+∠ABC＝90°﹣α﹣β+90°﹣α＝180°﹣（α+β），∵α+β＝120°，∴∠D′BC＝60°，由（1）②可知，△AD′B≌△AD′C，∴∠AD′B＝∠AD′C，∴∠AD′B＝∠BD′C＝30°，∴∠ADB＝30°．【拓展应用】第①情况：当60°＜α＜120°时，如图3﹣1，由（2）知，∠ADB＝30°，作AE⊥BD，在Rt△ADE中，∠ADB＝30°，AD＝2，∴DE＝，∵△BCD'是等边三角形，∴BD'＝BC＝7，∴BD＝BD'＝7，∴BE＝BD﹣DE＝7﹣；第②情况：当0°＜α＜60°时，如图4中，作∠ABD′＝∠ABD，BD′＝BD，连接CD′，AD′．同理可得：∠ABC＝（180°﹣α）＝90°﹣α，∴∠ABD＝∠DBC﹣∠ABC＝β﹣（90°﹣α），同（1）①可证△ABD≌△ABD′，∴∠ABD＝∠ABD′＝β﹣（90°﹣α），BD＝BD′，∠ADB＝∠AD′B，∴∠D′BC＝∠ABC﹣∠ABD′＝90°﹣α﹣[β﹣（90°﹣α）]＝180°﹣（α+β），∴D′B＝D′C，∠BD′C＝60°．同（1）②可证△AD′B≌△AD′C，∴∠AD′B＝∠AD′C，∵∠AD′B+∠AD′C+∠BD′C＝360°，∴∠ADB＝∠AD′B＝150°，在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，AD＝2，∴DE＝，∴BE＝BD+DE＝7+，故答案为：7+或7﹣．【点评】此题是三角形综合题，主要考查全等三角形的判定和性质．等边三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 4.如图，抛物线y＝﹣x2+（3m+1）x﹣m（m＞且为实数）与x轴分别交于点A、B（点B位于点A的右侧且AB≠OA），与y轴交于点C．（1）填空：点B的坐标为　（3m，0）　，点C的坐标为　（0，﹣m）　（用含m的代数式表示）；（2）当m＝3时，在直线BC上方的抛物线上有一点M，过M作x轴的垂线交直线BC于点N，求线段MN的最大值；（3）在第四象限内是否存在点P，使得△PCO，△POA和△PAB中的任意两三角形都相似（全等是相似的特殊情况）？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．【分析】（1）令x＝0，或y＝0，可求B，C坐标（2）求出BC解析式，设M（a，﹣a2+a﹣3），则N（a，a﹣3），用a表示MN的长度，根据二次函数最值问题可求MN的最大值．（3）由O，A，B都在x轴上，且要使△PCO，△POA，△PAB中的任意两个三角形均相似，则三个三角形都是直角三角形．可得PA⊥x轴．分∠OPC＝90°和∠OCP＝90°，分两种情况讨论，根据相似三角形所得的线段比可求P点坐标．【解答】解：（1）令x＝0，则y＝﹣m．∴C（0，﹣m）；令y＝0，则0＝﹣x2+（3m+1）x﹣m，∴x1＝1，x2＝3m，且m＞，∴A（1，0），B（3m，0）；（2）当m＝3时，则抛物线解析式y＝﹣x2+x﹣3；∴C（0，﹣3），B（9，0），∴直线BC解析式y＝x﹣3；设M（a，﹣a2+a﹣3），则N（a，a﹣3），∴MN＝﹣a2+a﹣3﹣a+3＝﹣a2+3a，∴当a＝时，MN的最大值为；（3）∵O，A，B都在x轴上，∴要使△PCO，△POA，△PAB中的任意两个三角形均相似，则三个三角形都是直角三角形．∴PA⊥x轴．∠OPB＝90°，如图1，当∠OCP＝90°，且AO⊥CO，PA⊥AB，∴四边形OACP是矩形，∴OA＝CP＝1，OC＝AP＝m；∵△POA∽△BPA，∴，∴m2＝（3m﹣1）×1，∴m2﹣3m+1＝0，∴m1＝，m2＝，∴P（1，﹣）或（1，﹣）；如图2，当∠OPC＝90°，且∠OPB＝90°，∴点B，点P，点C共线．∵△OCP∽△POA，∴；∴OP2＝AP×OC，∵∠OAP＝∠OPB＝90°，∠BOP＝∠BOP，∴△POA∽△BOP，∴，∴OP2＝OA×OB，∴AP×m＝1×3m，∴AP＝3，∴P（1，﹣3），综上所述：P（1，﹣3），（1，﹣），（1，﹣）．【点评】本题考查了二次函数的综合题，二次函数的最值，相似三角形，利用相似三角形所得线段比例是本题的关键．