2021年中考数学压轴题题型组合卷（三）

这是一份2021年中考数学压轴题题型组合卷（三），共9页。试卷主要包含了选择，解答题等内容，欢迎下载使用。
中考压轴题·题型组合卷（三）（满分：30分）一、选择、填空题（共2小题，每小题3分，共6分）1.如图，在正方形ABCD对角线BD上截取BE＝BC，连接CE并延长交AD于点F，连接AE，过B作BG⊥AE于点G，交AD于点H，则下列结论错误的是（　　  ）A．AH＝DF B．S四边形EFHG＝S△DCF+S△AGH C．∠AEF＝45° D．△ABH≌△DCF       2.已知关于x的二次函数y＝ax2﹣4ax+a2+2a﹣3在﹣1≤x≤3的范围内有最小值5，则a的值为　          　．  
二、解答题（共2小题，每小题12分，共24分）3.如图，抛物线y＝﹣x2+bx+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且点A的坐标为（1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）判断△ABC的形状，并证明你的结论；（3）点M是抛物线对称轴上的一个动点，当△ACM的周长最小时，求点M的坐标． 
4.如图1，在矩形ABCD中，AB＝9，BC＝12，点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向在AB上运动，以点M为圆心，MA长为半径画圆，如图2，过点M作NM⊥AB，交⊙M于点N，设运动时间为t秒．（1）填空：BD＝　   　        ，BM＝　          　；（请用准确数值或含t的代数式表示）（2）当⊙M与BD相切时，①求t的值；②求△CDN的面积．（3）当△CND为直角三角形时，求出t的值．    
参考答案一、选择、填空题（共2小题，每小题3分，共6分）1.如图，在正方形ABCD对角线BD上截取BE＝BC，连接CE并延长交AD于点F，连接AE，过B作BG⊥AE于点G，交AD于点H，则下列结论错误的是（　　）A．AH＝DF B．S四边形EFHG＝S△DCF+S△AGH C．∠AEF＝45° D．△ABH≌△DCF【分析】先判断出∠DAE＝∠ABH，再判断△ADE≌△CDE得出∠DAE＝∠DCE＝22.5°，∠ABH＝∠DCF，再判断出Rt△ABH≌Rt△DCF从而得到A、D正确，根据三角形的外角求出∠AEF＝45°，得出C正确；连接HE，判断出S△EFH≠S△EFD得出B错误．【解答】解：∵BD是正方形ABCD的对角线，∴∠ABE＝∠ADE＝∠CDE＝45°，AB＝BC，∵BE＝BC，∴AB＝BE，∵BG⊥AE，∴BH是线段AE的垂直平分线，∠ABH＝∠DBH＝22.5°，在Rt△ABH中，∠AHB＝90°﹣∠ABH＝67.5°，∵∠AGH＝90°，∴∠DAE＝∠ABH＝22.5°，在△ADE和△CDE中，∴△ADE≌△CDE，∴∠DAE＝∠DCE＝22.5°，∴∠ABH＝∠DCF，在Rt△ABH和Rt△DCF中，∴Rt△ABH≌Rt△DCF，∴AH＝DF，∠CFD＝∠AHB＝67.5°，∵∠CFD＝∠EAF+∠AEF，∴67.5°＝22.5°+∠AEF，∴∠AEF＝45°，故ACD正确；如图，连接HE，∵BH是AE垂直平分线，∴AG＝EG，∴S△AGH＝S△HEG，∵AH＝HE，∴∠AHG＝∠EHG＝67.5°，∴∠DHE＝45°，∵∠ADE＝45°，∴∠DEH＝90°，∠DHE＝∠HDE＝45°，∴EH＝ED，∴△DEH是等腰直角三角形，∵EF不垂直DH，∴FH≠FD，∴S△EFH≠S△EFD，∴S四边形EFHG＝S△HEG+S△EFH＝S△AHG+S△EFH≠S△DEF+S△AGH，故B错误，故选：B．【点评】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和和三角形外角的性质，解本题的关键是判断出△ADE≌△CDE，难点是作出辅助线． 2.已知关于x的二次函数y＝ax2﹣4ax+a2+2a﹣3在﹣1≤x≤3的范围内有最小值5，则a的值为　4或﹣8　．【分析】由y＝ax2﹣4ax+a2+2a﹣3＝a（x﹣2）2+（a2﹣2a﹣3）可知当a＞0时，最小值是a2﹣2a﹣3＝5，当a＜0时，x＝﹣1时，y有最小值5，则a+4a+a2+2a﹣3＝5，解关于a的方程即可求得．【解答】解：y＝ax2﹣4ax+a2+2a﹣3＝a（x﹣2）2+（a2﹣2a﹣3），其对称轴为x＝2，当a＞0时，最小值是a2﹣2a﹣3＝5，解得a1＝4，a2＝﹣2（舍去）；当a＜0时，x＝﹣1时，y有最小值5，则a+4a+a2+2a﹣3＝5，整理得a2+7a﹣8＝0，解得a1＝1（舍去），a2＝﹣8，所以a的值为4或﹣8，故答案为：4或﹣8【点评】本题考查了二次函数的最值，注意，只有当自变量x在整个取值范围内，函数值y才在顶点处取最值．而当自变量取值范围只有一部分时，必须结合二次函数的增减性及对称轴判断何处取最大值，何处取最小值．  二、解答题（共2小题，每小题12分，共24分）3.如图，抛物线y＝﹣x2+bx+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且点A的坐标为（1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）判断△ABC的形状，并证明你的结论；（3）点M是抛物线对称轴上的一个动点，当△ACM的周长最小时，求点M的坐标．【分析】（1）把点A的坐标代入解析式，求出b，利用配方法求出抛物线的顶点坐标；（2）解一元二次方程求出OB，根据勾股定理求出AC、BC，根据勾股定理的逆定理判断即可；（3）连接BC交对称轴于M，由轴对称的性质得到此时△ACM的周长最小，利用待定系数法求出直线BC的解析式，求出点M的坐标．【解答】解：（1）∵点A（1，0）在抛物线y＝﹣x2+bx+2上，∴﹣+b+2＝0，解得，b＝﹣，抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+2，y＝﹣x2﹣x+2＝﹣（x+）2+，则顶点D的坐标为（﹣，）；（2）△ABC是直角三角形，证明：点C的坐标为（0，2），即OC＝2，﹣x2﹣x+2＝0，解得，x1＝﹣4，x2＝1，则点B的坐标为（﹣4，0），即OB＝4，OA＝1，OB＝4，∴AB＝5，由勾股定理得，AC＝，BC＝2，AC2+BC2＝25＝AB2，∴△ABC是直角三角形；（3）由抛物线的性质可知，点A与点B关于对称轴对称，连接BC交对称轴于M，此时△ACM的周长最小，设直线BC的解析式为：y＝kx+b，由题意得，，解得，，则直线BC的解析式为：y＝x+2，当x＝﹣时，y＝，∴当M的坐标为（﹣，）．【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点问题，掌握二次函数与一元二次方程的关系、待定系数法求二次函数解析式的一般步骤、轴对称﹣最短路径问题是解题的关键． 4.如图1，在矩形ABCD中，AB＝9，BC＝12，点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向在AB上运动，以点M为圆心，MA长为半径画圆，如图2，过点M作NM⊥AB，交⊙M于点N，设运动时间为t秒．（1）填空：BD＝　15　，BM＝　9﹣t　；（请用准确数值或含t的代数式表示）（2）当⊙M与BD相切时，①求t的值；②求△CDN的面积．（3）当△CND为直角三角形时，求出t的值．【分析】（1）先判断出∠BAD＝90°，利用勾股定理求出BD＝15，再由运动即可得出结论；（2）①先判断出∠BEM＝∠BAD＝90°，进而得出△BME∽△BDA，得出比例式建立方程，即可得出结论；②先求出MN＝4，CD边上的高为AD﹣MN＝12﹣4＝8，最后用面积公式即可得出结论；（3）先得出FN＝2t，GN＝9﹣2t，DF＝CG＝12﹣2t，分两种情况，建立方程即可得出结论．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝12，∠BAD＝90°，在Rt△ABD中，AB＝9，BC＝12，根据勾股定理得，BD＝＝15，由运动知，AM＝t．∴BM＝AB﹣AM＝9﹣t，故答案为：15，9﹣t；（2）①如图1，⊙M且BD于E，∴ME⊥BD，∴∠BEM＝∠BAD＝90°，∵∠EBM＝∠ABD，∴△BME∽△BDA，∴，∴，∴t＝2，②∵MN＝AM＝2t＝4，∴CD边上的高为AD﹣MN＝12﹣4＝8，∴S△CDN＝×9×8＝36；（3）如图2，过点N作直线FG⊥MN，分别交AD，BC于点F，G，∴FN＝2t，GN＝9﹣2t，DF＝CG＝12﹣2t，∴DN2＝DF2+FN2＝（12﹣2t）2+（2t）2，∴CN2＝CG2+GN2＝（12﹣2t）2+（9﹣2t）2，①当∠DNC＝90°时，DN2+CN2＝CD2，∴（12﹣2t）2+（2t）2+（12﹣2t）2+（9﹣2t）2＝81，化简，得4t2﹣33t+72＝0，∵△＝（﹣33）2﹣4×4×72＜0，∴此方程无实数根；②当∠DCN＝90°时，点N在BC上，BN＝BA＝2t＝9，∴t＝4.5，综上所述，t＝4.5秒．【点评】此题是圆的综合题，主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解一元二次方程，利用方程的思想解决问题是解本题的关键．