相似模型：一线三等角模型（知识点总结+典题精析）

这是一份相似模型：一线三等角模型（知识点总结+典题精析），共1页。主要包含了课程目标，先验知识，模型讲解1，典型例题，强化练习，链接中考，课堂总结等内容，欢迎下载使用。

【课程目标】
能识别出一线三等角相似模型的图形结构；
能够根据一线三等角模型结构总结对应结论，理解其基本原理；
能根据一线三等角相似模型结论解决探究问题.
设计意图：
明确几何模型类的课程目标，从三个方向入手——模型的结构及特征、理解模型结论的基本原理、模型的应用，为课程学习提供方向和指引；
【先验知识】
相似三角形的判定方法和性质
A.判定方法：
定理1：三边成比例的两个三角形相似.
定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
定理3：两角分别相等的两个三角形相似.
B.性质：
相似三角形对应线段的比等于相似比.
相似三角形面积的比等于相似比的平方.
设计意图：
在相似模型——一线三等角课程开始之前，针对相似三角形的判定与性质做课前的梳理与讲解（可选择性讲解）.
【导入】
例1：在等边中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且，，则的边长为（ ）
A. 9B. 12C. 15D. 18
设计意图：
体现模型应用，突出利用模型迅速解题的便捷性（秒杀）.
【模型讲解1】
相似模型：一线三等角模型
条件：如图，B、C、D三点共线，∠B=∠ADE=∠C.
结论：△BDA∽△CED
关键点：利用∠B=∠ADE，∠B＋∠A＝∠ADE＋∠EDC，证明∠A=∠EDC，进而证得相似三角形.
拓展：
常见考察形式：
归纳：
两个相等的角一边在同一条直线上，另一边在该直线的同侧或异侧，第三个与之相等的角的顶点在前一组等角的顶点所确定的线段上或线段的延长线上，该角的两边分别位于该直线的同侧或异侧.
关键特征：（1）三个等角；（2）共线.
设计意图：
突出一线三等角模型的基本结构，理解一线三等角相似模型结论的推导过程.
【典型例题】
1.探究与运用.
(1)如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90∘．求证：ADBP=APBC；
(2)探究.如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=β时，上述结论是否依然成立？说明理由．
【分析】
由题意及图象易知：本题符合一线三等角相似模型的关键特征：（1）三个等角；（2）共线.
【答案】
(1)证明：∵ ∠DPC=∠A=∠B=90∘，
∴ ∠ADP+∠APD=90∘，
∠BPC+∠APD=90∘，
∴ ∠ADP=∠BPC，
∴ △ADP∼△BPC，
∴ ADBP=APBC；
(2)解：结论ADBP=APBC仍然成立．
理由：∵ ∠BPD=∠DPC+∠BPC，∠BPD=∠A+∠ADP，
∴ ∠DPC+∠BPC=∠A+∠ADP．
∵ ∠DPC=∠A=∠B=β，
∴ ∠BPC=∠ADP，
∴ △ADP∼△BPC，
∴ ADBP=APBC；
2. 正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直，
（1）证明：Rt△ABM∽Rt△MCN；
（2）当M点运动到什么位置时Rt△ABM∽Rt△AMN，并请说明理由．
【分析】
由题意（正方形背景）及图象易知，本题符合一线三等角相似模型的关键特征：（1）三个等角；（2）共线.
【答案】
证明：∵ 四边形ABCD为正方形，
∴ ∠B＝∠C＝90∘，
∵ AM⊥MN，
∴ ∠AMN＝90∘，
∴ ∠AMB+∠NMC＝90∘，
而∠AMB+∠MAB＝90∘，
∴ ∠MBA＝∠NMC，
∴ Rt△ABM∽Rt△MCN；
当M点运动到BC为中点位置时，Rt△ABM∽Rt△AMN．
理由如下：设正方形的边长为2a，
∵ 四边形ABCD为正方形，
∴ AB＝BC＝2a，BM＝MC＝a，
∴ AM=a2+(2a)2=5a，
∵ Rt△ABM∽Rt△MCN，
∴ AMMN=ABMC=2，
∴ MN=12AM=52a，
∵ ABAM=2a5a=255，BMMN=a5a2=255，
∴ ABAM=BMMN，
而∠ABM＝∠AMN＝90∘，
∴ Rt△ABM∽Rt△AMN．
3.已知：如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别在边BC，AC上，∠ADE=60∘．
【分析】
由题意（等边三角形背景）及图象易知，本题符合一线三等角相似模型的关键特征：（1）三个等角；（2）共线.
【答案】
证明：
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠B=∠C=60∘，AB=AC，
∵ ∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE，∠B=∠ADE=60∘，
∴ ∠BAD=∠CDE
∴ △ABD∼△DCE；
(2)解：由(1)证得△ABD∼△DCE，
∴ BDAB=CEDC，
设CD=x，则BD=3−x，
∴ 3−x3=23x，
∴ x=1或x=2，
∴ DC=1或DC=2．
设计意图：
以经典题目入手，突出一线三等角模型结论的应用，强化对模型结构和结论的认识.
【强化练习】
1.已知：如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，Q是CD上的点，且∠AQP=90∘．
求证：△ADQ∽△QCP．
【答案】
在Rt△ADQ与Rt△QCP中，
∵ ∠AQP=90∘,
∴ ∠AQP+∠PQC=90∘,
又∵ ∠PQC+∠QPC=90∘,
∴ ∠AQP=∠QPC，
∴ Rt△ADQ∽Rt△QCP.
2.（2017·江苏·中考真卷——部分） 如图，在△ABC中，AB=AC，点E在边BC上移动（点E不与点B，C重合），满足∠DEF=∠B，且点D、F分别在边AB、AC上．
求证：△BDE∽△CEF
【答案】
证明：
∵ AB=AC，
∴ ∠B=∠C，
∵ ∠BDE=180∘−∠B−∠DEB，
∠CEF=180∘−∠DEF−∠DEB.
∵ ∠DEF=∠B，
∴ ∠BDE=∠CEF，
∴ △BDE∼△CEF.
3.如图，在梯形ABCD中，AD // BC，AB=DC=AD=6，∠ABC=60∘，∠D=120∘，点E，F分别在AD，DC上（点E与A，D不重合），且∠BEF=120∘．求证：△ABE∼△DEF；

【答案】
证明：
∵ AD // BC，∠ABC=60∘，
∴ ∠A=120∘，
∵ ∠BEF=120∘，
∴ ∠A=∠BEF.
又∵ ∠AEB+∠BEF+∠DEF=180∘，
在△AEB中，∠AEB+∠A+∠ABE=180∘，
∴ ∠DEF=∠ABE，
又∠A=∠D，
∴ △ABE∼△DEF
4.如图，已知点A（0，4）、B（4，1），轴于点C，点P为线段OC上一点，且，则点P的坐标为______________.
【答案】
如图所示：
∵ PA⊥PB，
∴ ∠2+∠3＝90∘，
∵ AO⊥x轴，
∴ ∠1＝∠2，
又∵ BC⊥x轴，AO⊥x轴，
∴ ∠BCP＝∠POA＝90∘，
∴ △BCP∽△POA，
∴ BCOP=PCAO，
∵ 点A(0, 4)、B(4, 1)，
∴ AO＝4，BC＝1，OC＝4，
∴ 1OP=4−OP4，
解得：OP＝2，
∴ P(2, 0)，
故答案为(2, 0)．
5. 如图，E是四边形ABCD的边AB上一点．

（1）猜想论证：如图?，分别连接DE、CE，若∠A=∠B=∠DEC=65∘，试猜想图中哪两个三角形相似，并说明理由．
（2）观察作图：如图‚，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图‚中矩形ABCD的边AB上画出所有满足条件的点E（点E与点A，B 不重合），分别连结ED，EC，使四边形ABCD被分成的三个三角形相似（不证明）．
拓展探究：如图ƒ，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处，若点E恰好将四边形ABCM分成的三个三角形相似，请直接写出BCAB的值．
【答案】
解：(1)△ADE∽△BEC，理由为：
∵ ∠A=65∘，
∴ ∠ADE+∠DEA=115∘，
∵ ∠DEC=65∘，
∴ ∠BEC+∠DEA=115∘，
∴ ∠ADE=∠BEC，
∵ ∠A=∠B，
∴ △ADE∽△BEC；
（2）作图如下：
（3）∵ 点E恰好将四边形ABCM分成的三个三角形相似，
∴ △AEM∽△BCE∽△ECM，
∴ ∠BCE=∠ECM=∠AEM，
由折叠可知：△ECM≅△DCM，
∴ ∠ECM=∠DCM，CE=CD，
∴ ∠BCE=∠ECM=∠DCM=30∘，
∴ DC=CE=AB，
在Rt△BCE中，cs∠BCE=BCEC=cs30∘，
∴ BCAB=32．
设计意图：
强化训练
【链接中考】
1.（2017·江西·中考真卷） 如图，正方形ABCD中，点E，F，G分别在AB，BC，CD上，且∠EFG=90∘．求证：△EBF∽△FCG．
证明：∵ 四边形ABCD为正方形，
∴ ∠B=∠C=90∘，
∴ ∠BEF+∠BFE=90∘，
∵ ∠EFG=90∘，
∴ ∠BFE+∠CFG=90∘，
∴ ∠BEF=∠CFG，
∴ △EBF∽△FCG．
2.（2017·山东·中考真卷——部分） 如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=2，点D是BC边上的一个动点（不与B、C重合），在AC上取一点E，使∠ADE=30∘．

求证：△ABD∼DCE；
【答案】
（1）证明：∵ △ABC是等腰三角形，且∠BAC=120∘，
∴ ∠ABD=∠ACB=30∘，
∴ ∠ABD=∠ADE=30∘，
∵ ∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠ABD+∠DAB，
∴ ∠EDC=∠DAB，
∴ △ABD∼△DCE；
设计意图：
链接中考真题，它是这样考的，老师就是这样教你的，让学生心理认知上也能够跟老师趋同.
【课堂总结】
确定模型：关键点1：三等角；关键点2：共线；
得相似：根据等角的性质等到角相等，从而得两个三角形相似；
得结论：利用相似三角形的性质，得出题目想要的结论.
设计意图:
Check学习目标，是否达成，学会了什么，还有哪些问题；
强化学习的意义和作用.
学习对象
使用场景
建议课时
制作人
学生 教师
预科 同步复习 专题复习
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