专题01 三角形中的旋转问题-备战2021年中考数学中的旋转问题

这是一份专题01 三角形中的旋转问题-备战2021年中考数学中的旋转问题，共9页。试卷主要包含了一般三角形的旋转问题，三角板的旋转问题，等腰直角三角形的旋转问题等内容，欢迎下载使用。
一、一般三角形的旋转问题
【例1】如图，△ABC中，∠ACB=72°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转得到△BDE（点D与点A是对应点，点E与点C是对应点），且边DE恰好经过点C，则∠ABD的度数为
A．36°B．40°C．45°D．50°
【答案】A
【名师点睛】本题考查了旋转的性质和等腰三角形的性质以及三角形的内角和等于180°．正确理解旋转的性质是解题的关键．
【例2】如图，在中，，，D是AB边上一点点D与A，B不重合，连接CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连接DE交BC于点F，连接BE．
（1）求证：≌；
（2）当时，求的度数．
（2）∵，，
∴，
由（1）可知：，
∵，∴，
∴．
【名师点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用旋转的性质以及全等三角形的判定与性质．
二、三角板的旋转问题
【例3】如图是一副三角尺ABC和与DEF拼成的图案，若将三角尺DEF绕点M按顺时针方向旋转，则边DE与边AB第一次平行时，旋转角的度数是
A．75°B．60°C．45°D．30°
【答案】C
【解析】如图，过M作MH∥AB交BC于H．∵AB⊥BC，∴MH⊥BC，∴△BMH是等腰直角三角形，
∴∠BMH=45°，∴若将三角尺DEF绕点M按顺时针方向旋转，则边DE与边AB第一次平行时，旋转角的度数是45°．故选C．
【名师点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记各性质并判断出等腰直角三角形是解题的关键，也是本题的难点．
三、等腰直角三角形的旋转问题
【例4】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，点B经过的路径为弧BD，则图中阴影部分的面积为__________．
【答案】
【名师点睛】本题考查了旋转的性质、扇形面积的计算，得到S阴影部分=S扇形ABD是解题的关键．
【例5】已知等腰Rt△ABC与等腰Rt△CDE，∠ACB=∠DCE=90°．把Rt△ABC绕点C旋转．
（1）如图1，当点A旋转到ED的延长线上时，若，BE=5，求CD的长；
（2）当Rt△ABC旋转到如图2所示的位置时，过点C作BD的垂线交BD于点F，交AE于点G，求证：BD=2CG．
【解析】（1）如图1，
∵△ADC是由△BEC绕点C旋转得到的，
∴AD=BE=5，∠ADC=∠BEC，
（2）如图2，过点A作AH∥CE，交CG的延长线于H，连接HE，则∠CAH+∠ACE=180°，
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠BCD+∠ACE=180°，
∴∠CAH=∠BCD，
∵CF⊥BD，∠ACB=90°，
∴∠CBF+∠BCF=∠ACG+∠BCF=90°，
∴∠CBF=∠ACG，
【名师点睛】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的综合应用，解题时注意：旋转前、后的图形全等．解决问题的关键是作辅助线构造平行四边形，依据平行四边形的对角线互相平分得出结论．
1．（2018·辽宁大连）如图，将△ABC绕点B逆时针旋转α，得到△EBD，若点A恰好在ED的延长线上，则∠CAD的度数为
A．90°-αB．αC．180°-αD．2α
2．（2018·浙江金华）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB=20°，则∠ADC的度数是
A．55°B．60°C．65°D．70°
3．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B，则C′B的长为
A．1B．C．2D．
4．（2017·江苏镇江）如图，△ABC中，AB=6，DE∥AC，将△BDE绕点B顺时针旋转得到△BD′E′，点D的对应点D′落在边BC上．已知BE′=5，D′C=4，则BC的长为__________．
5．如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点P为射线BD，CE的交点．
（1）求证：BD=CE；
（2）若AB=2，AD=1，把△ADE绕点A旋转，当∠EAC=90°时，求PB的长；
1．【答案】C
2．【答案】C
【解析】∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．
∴∠DCE=∠ACB=20°，∠BCD=∠ACE=90°，AC=CE，
∴∠ACD=90°-20°=70°，
∵点A，D，E在同一条直线上，∠ADC是△DEC的一个外角，
∴∠ADC=∠E+20°，
∵∠ACE=90°，AC=CE，
∴∠DAC+∠E=90°，∠E=∠DAC=45°，
在△ADC中，∠ADC+∠DAC+∠DCA=180°，
即45°+70°+∠ADC=180°，
解得∠ADC=65°，故选C．
3．【答案】B
【解析】如图，连接BB′，
∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△AB′C′，
∴AB=AB′，∠BAB′=60°，
∴△ABB′是等边三角形，
∴AB=BB′，
∴AB==2，
∴BD=2×=，C′D=×2=1，
∴BC′=BD-C′D=-1．故选B．
4．【答案】
【解析】由旋转可得，BE=BE'=5，BD=BD'，∵D'C=4，∴BD'=BC-4，即BD=BC-4，[来源:Z§X§X§K]
∵DE∥AC，∴，即，解得BC=（负值已舍去），
即BC的长为．故答案为：．
（2）①当点E在AB上时，BE=AB-AE=1．
∵∠EAC=90°，∴CE=．
同（1）可证△ADB≌△AEC，∴∠DBA=∠ECA．
∵∠PEB=∠AEC，∴△PEB∽△AEC，∴，∴，∴PB=．
②当点E在BA延长线上时，BE=3．
∵∠EAC=90°，∴CE=．
同（1）可证△ADB≌△AEC，∴∠DBA=∠ECA．
∵∠BEP=∠CEA，∴△PEB∽△AEC，
∴，∴，∴PB=．
综上所述，PB的长为或．