第2.2讲 四边形的综合题-备战中考数学热点难点突破（教师版）学案

这是一份第2.2讲 四边形的综合题-备战中考数学热点难点突破（教师版）学案，共25页。学案主要包含了特殊四边形的性质，四边形与函数的综合，四边形的动点问题，四边形中的分类讨论，四边形中的几何变换问题等内容，欢迎下载使用。
考纲要求:
1．了解四边形的不稳定性;理解平行四边形、矩形、 菱形、正方形的概念，以及它们之间的关系.
2．能利用平行四边形、矩形、 菱形、正方形的性质定理与判定定理解决有关简単问题.
3．运用平行四边形、矩形、 菱形、正方形的有关内容解决有关问題.
基础知识回顾:
1．平行四边形的性质
平行四边形的边：平行四边形的对边平行且对边相等．
平行四边形的角：平行四边形的对角相等，邻角互补．
平行四边形的对角线：平行四边形的对角线互相平分．
平行四边形的对称性：平行四边形是中心对称图形．
平行四边形的周长：一组邻边之和的倍．
平行四边形的面积：底乘以高．
2.平行四边形的判定
两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
两条对角线互相平分的四边形是平行四边形．
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
3．矩形的性质
矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，还具有自己独特的性质：
① 边的性质：对边平行且相等．
② 角的性质：四个角都是直角．
③ 对角线性质：对角线互相平分且相等．
④ 对称性：矩形是中心对称图形，也是轴对称图形．
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
直角三角形中，角所对的边等于斜边的一半．
4．矩形的判定
判定①：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
判定②：对角线相等的平行四边形是矩形．
判定③：有三个角是直角的四边形是矩形．
5．菱形的性质
菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，还具有自己独特的性质：
① 边的性质：对边平行且四边相等．
② 角的性质：邻角互补，对角相等．
③ 对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角．
④ 对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形．
菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半．
6．菱形的判定
判定①：一组邻边相等的平行四边形是菱形．
判定②：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
判定③：四边相等的四边形是菱形．
7．三角形的中位线
定理：三角形的中位线平行第三边且长度等于第三边的一半．
应用举例:
招数一、特殊四边形的性质、判定的综合应用
【例1】请阅读下列材料：
问题：如图，在正方形和平行四边形中，点，，在同一条直线上，是线段的中点，连接，．
探究：当与的夹角为多少度时，平行四边形是正方形？
小聪同学的思路是：首先可以说明四边形是矩形；然后延长交于点，构造全等三角形，经过推理可以探索出问题的答案．
请你参考小聪同学的思路，探究并解决这个问题．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）与的夹角为________度时，四边形是正方形．说明理由：
【答案】(1)详见解析；（2）90.
【解析】（1）∵正方形ABCD中，∠ABC＝90°，
∴∠EBG＝90°，
∴▱BEFG是矩形；
（2）90°；
理由：延长GP交DC于点H，
招数二、四边形与函数的综合
【例2】长方形ABCD位于平面直角坐标系中平行移动．
（1）如图1，若AB⊥x轴且点A的坐标（﹣4，4），点C的坐标为（﹣1，﹣2），在边AB上有动点P，过点P作直线PQ交BC边于点Q，并使得BP＝2BQ．
①当S△BPQ＝S长方形ABCD时，求P点的坐标．
②在直线CD上是否存在一点M，使得△MPQ是以PQ为直角边的等腰直角三角形？若存在，求出M点坐标：若不存在，请说明理由．
（2）如图2，若AB⊥x轴且A、B关于x轴对称，连接BD、OB、OD，且OB平分∠CBD，求证：BO⊥DO．
【答案】（1）①点P（﹣4，1），②点M坐标为（﹣1，）或（﹣1，﹣1）；（2）见解析.
②如图，若∠MPQ＝90°，过点M作MN⊥AB于点N，
∵MN⊥AB，∠ABC＝∠BCD＝90°
∴四边形BCMN是矩形
∴MN＝BC＝3，BN＝CM，
∵MN⊥AB，∠MPQ＝90°，
∴∠BPQ+∠BQP＝90°，∠NPM+∠BPQ＝90°，
∴∠BQP＝∠MPN，且PQ＝PM，∠ABC＝∠PNM＝90°，
∴△PMN≌△QPB（AAS）∴PB＝MN＝3，BQ＝PN，
∵PB＝2BQ∴BQ＝＝PN ∴MC＝BN＝BP+PN＝
∴点M坐标（﹣1，）
如图，若∠PQM＝90°，
（2）设BD与x轴的交点为E，连接AE，
∵A、B关于x轴对称，
∴AE＝BE，∴∠ABE＝∠BAE，
∵∠BAD＝90°，∴∠ABE+∠ADB＝90°，∠BAE+∠EAD＝90°，
∴∠ADB＝∠EAD，∴AE＝DE，
∴AE＝DE＝BE，
∵AB⊥x轴，AB⊥BC，∴BC∥x轴，
∴∠EOB＝∠OBC，
招数三、四边形的动点问题
【例3】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8cm，AD=24cm，BC=26cm，点P从A点出发，以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动。
（1）从运动开始，经过多少时间点P、Q、C、D为边得四边形是平行四边形？
（2）从运动开始，经过多少时间点A、B、Q、P为边得四边形是矩形？
【解析】【试题分析】（1）根据对边平行且相等的四边形是平行四边形求解；
（2）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形.
即当t=6.5s时，四边形ABQP是矩形。
招数四、四边形中的分类讨论
【例4】如图，矩形ABCD的边BC与x轴重合，B、C对应的横坐标是一元二次方程的两根，E是AD与y轴的交点，其纵坐标为2，过A、C作直线交y轴于F.
（1）求直线AF的解析式．
（2）M是BC上一点，其横坐标为2，在坐标轴上，你能否找到一点P，使？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由.
（3）点Q是x轴上一动点，连接AQ,Q在运动过程中AQ+是否存在最小值？若存在，请求出AQ+最小值及Q的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）（2）点的坐标为或或或.
当点P在轴上时：设点

解得：或
∴此时点的坐标为或
当点P在轴正半轴上时：点
∵=S梯形ABOP--=7.
∴
解得：
此时点的坐标为.
当点P在轴负半轴上时：点
作点A关于轴的对称点过点作于点M,交轴于点Q，点即为所求.
招数五、四边形中的几何变换问题
【例5】如图1，放置的一副三角尺，将含45°角的三角尺斜边中点O为旋转中心，逆时针旋转30°得到如图2，连接OB、OD、AD．
（1）求证：△AOB≌△AOD；
（2）试判定四边形ABOD是什么四边形，并说明理由．
【解析】
（1）证明：根据题意得：∠BAC=60°，∠ABC=∠EDF=90°，EF=AC．
∵O为AC的中点，∴OB=AC=OA，OD=EF=AC=OB，OD⊥EF，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB=60°，AB=OB=OA，由旋转的性质得：∠AOE=30°，∴∠AOD=90°﹣30°=60°．
在△AOB和△AOD中，∵OA=OA，∠AOB=∠AOD=60°，OB=OD，∴△AOB≌△AOD（SAS）；
（2）解：四边形ABOD是菱形．理由如下：
∵△AOB≌△AOD，∴AB=AD，∴AB=AD=OB=OD，∴四边形ABOD是菱形．
【例6】在菱形ABCD中，∠BAD=α，E为对角线AC上的一点（不与A，C重合），将射线EB绕点E顺时针旋转β角之后，所得射线与直线AD交于F点．试探究线段EB与EF的数量关系．
（1）如图1，当α=β=90°时，EB与EF的数量关系为 ．
（2）如图2，当α=60°，β=120°时．
①依题意补全图形；
②探究（1）的结论是否成立．若成立，请给出证明；若不成立，请举出反例说明；
（3）在此基础上对一般的图形进行了探究，设∠ABE=γ，若旋转后所得的线段EF与EB的数量关系满足（1）中的结论，请直接写出角α，β，γ满足的关系： ．
【答案】(1)EB=EF；(2)①见解析；②结论依然成立EB=EF，证明见解析；(3)α+β=180°或°.
故答案为：EB＝EF；
（2）①补全图形如图2所示：
②结论依然成立EB＝EF．理由如下：
证法1：如图3．
证法2：如图4，连接ED．
（3）α+β=180°或°．
方法、规律归纳:
1. 解决平行四边形的判定和性质综合应用问题时．熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．在判定一个四边形是平行四边形时，可通过已知条件选择合适的判定定理进行证明，若有对角线时，通常考虑利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”来证明，而没有对角线时，通常不利用此判定定理，注意，定义也是判定平行四边形的常用定理．
2．解决和平行四边形有关的计算和说理问题，关键是根据图形的特点结合平行四边形的性质以及平行线的有关性质进行分析．有的问题还需要将平行四边形问题转化为特殊三角形的问题，借助勾股定理解决．
3.运用矩形性质计算的一般思路：根据矩形的四个角都是直角，一条对角线将矩形分成两个直角三角形，用勾股定理或三角函数求线段的长是常用的思路，又因为矩形对角线相等且互相平分，故可借助对角线的关系得到全等三角形．矩形的两条对角线把矩形分成四个等腰三角形，可据此建立能够得到线段或角度的等量关系．
4．与菱形有关的计算常涉及下面几种：
(1)求长度(线段长或者周长)时，应注意使用等腰三角形的性质：若菱形中存在一个顶角为60°，则菱形被另外两点连接的对角线所割的两个三角形为等边三角形，故在计算时，可借助等边三角形的性质，同时也应注意使用勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、含特殊角的直角三角形等进行计算；
(2)求面积时，可利用菱形的两条对角线互相垂直，面积等于对角线之积的一半进行计算．
5．动点运动探索问题，需要根据点的运动找出不变量或变化规律，再结合诸如全等或四边形的判定方法解决问题．
实战演练:
1. 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=5，点D是BC边上一点且CD=1，点P是线段DB上一动点，连接AP，以AP为斜边在AP的下方作等腰Rt△AOP．当P从点D出发运动至点B停止时，点O的运动路径长为_____．
【答案】2
【解析】
解：过O点作OE⊥CA于E，OF⊥BC于F，连接CO，如图，
∵AE=PF，即AC-CE=CF-CP，
而CE=CF，∴CE=（AC+CP），
∴OC=CE=（AC+CP），
当AC=2，CP=CD=1时，OC=×（2+1）=，
当AC=2，CP=CB=5时，OC=×（2+5）=，
∴当P从点D出发运动至点B停止时，点O的运动路径长=-=2．
故答案为2．
2.如图，菱形ABCD的对角线相交于点上一动点P从点C出发，沿CA方向以的速度向A运动，设点P运动时间为当t等于（ ）时， 是直角三角形．
A. B. 4s C. 或 D. 4s或
【答案】D
3. 如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点(且点P不与点B、C重合)，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点.设AM的长为x，则x的取值范围是( )
A．4≥x＞2.4 B．4≥x≥2.4 C．4＞x＞2.4 D．4＞x≥2.4
【答案】D
【解析】
∵∠BAC=90°，M为EF中点，∴AM=EF=AP，
当AP⊥BC时，AP值最小，
此时S△BAC=×6×8=×10×AP，
AP=4.8，
即AP的范围是AP≥4.8，
∴2AM≥4.8，
∴AM的范围是AM≥2.4（即x≥2.4）．
∵P为边BC上一动点，当P和C重合时，AM=4，
∵P和B、C不重合，
∴x＜4，
综上所述，x的取值范围是：2.4≤x＜4．
故选：D．
4.．如图，△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．
（1）判断OE与OF的大小关系？并说明理由？
（2）当点O运动何处时，四边形AECF是矩形？并说出你的理由．
【解析】试题分析：
(2)由(1)得，OC=OE=OF，所以当OA=OC时，对角线AC与EF互相平分且相等，而对角线相等的平行四边形是矩形，则当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形.
5. 如图，已知中，，把绕点沿顺时针方向旋转得到，连接，交于点．
求证：；
若，，当四边形是菱形时，求的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】
由旋转的性质得：，且，
∴，，，
∴，即，
在和中，
，
∴；
6.在矩形纸片ABCD中，AD=8，AB=6，E是边BC上的点，将纸片沿AE折叠，使点B落在点F处，连接FC，当△EFC为直角三角形时，BE的长为______．
【答案】3或6．
7.如图所示，在⊙O中，直径MN＝10，正方形ABCD的四个顶点分别在PM以及⊙O的半径OM，OP上，并且∠POM＝45°，则AB的长为_______．
【答案】
∵∠POM=45°，
∴∠CDO=45°，∴CD=CO，∴BO=BC+CO=BC+CD，∴BO=2AB.
∵MN=10，∴AO=5.
在Rt△ABO中，AB2+BO2=AO2，即AB2+(2AB)2=52，
∴AB=.
8. 在 中，点为边上一点，点为中点，连接，交于点，且；
（1）如图1，若，，求的值;
（2）如图2，若平分，且，过点作交于点且，求证：.
【答案】（1） （2）证明见解析
【解析】
在中，，,
由勾股定理得：.
在△中，，
，
则，
且，
，
，
在△与△中
△ △
，
，
，
即
9. 如图，正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上，点B坐标为（6，6），将正方形ABCO绕点C逆时针旋转角度α（0°＜α＜90°），得到正方形CDEF，ED交线段AB于点G，ED的延长线交线段OA于点H，连结CH、CG．
（1）求证：CG平分∠DCB；
（2）在正方形ABCO绕点C逆时针旋转的过程中，求线段HG、OH、BG之间的数量关系；
（3）连结BD、DA、AE、EB，在旋转的过程中，四边形AEBD是否能在点G满足一定的条件下成为矩形？若能，试求出直线DE的解析式；若不能，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2） HG＝OH+BG；（3）能成矩形，y．
（2）由（1）证得：Rt△CDG≌Rt△CBG，∴BG＝DG．
在Rt△CHO和Rt△CHD中，∵，
∴Rt△CHO≌Rt△CHD（HL），∴OH＝HD，∴HG＝HD+DG＝OH+BG．
设H点的坐标为（x，0），则HO＝x，∴HD＝x，DG＝3．
在Rt△HGA中，HG＝x+3，GA＝3，HA＝6﹣x，
由勾股定理得：（x+3）2＝32+（6﹣x）2，解得：x＝2，∴H点的坐标为（2，0）．
设直线DE的解析式为：y＝kx+b（k≠0），
将点H（2，0）、G（6，3）代入y＝kx+b中，得：，解得：，
∴直线DE的解析式为：y．
故四边形AEBD能为矩形，此时直线DE的解析式为：y．
10. ．问题情境:
在综合实践课上，张老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动，张老师拿着一张矩形纸片ABCD，其中AB=acm, AD=bcm, 如图1，先沿对角线BD折叠，点C落在点E的位置，BE交AD于点F.
操作发现：
（1）“奋进”小组发现与BF的长度一定相等的线段是哪一条；
（2）如图2．“雄鹰”小组将图1再折叠一次，使点D与点A重合，得到折痕GH，GH交AD于点M，发现△DGH是等腰三角形，请你证明这个结论；
实践探究：
（3）“创新”小组将自己准备的矩形纸片按照（2）中“雄鹰”小组的作法操作，发现点E和点G重合，，如图3，试探究“创新”小组准备的矩形纸片中a与b满足的数量关系；
（4）”爱心”小组在其他小组的基础上提出问题：当a与b满足什么关系时，点G是DE的中点？请你直接出a与b满足的关系.

【答案】（1）BF=DF,（2）△DGH是等腰三角形,（3）b=(4)a=b
【解析】
解：（1）BF=DF,
由折叠可知:AB=DE,∠A=∠E,∠AFB=∠EFD,
∴△AFB≌△EFD(AAS)
∴BF=DF,
（3）由题可知,点H为对角线BD上的中点,EH=ED,
在Rt△BED中,BD=2EH（斜边中线等于斜边一半）
∵AB=acm, AD=bcm,
∴EH=ED=AB= a,BD=
∴=a,整理得：b=