第2.1讲 相似形的综合题-备战中考数学热点难点突破（教师版）学案

这是一份第2.1讲 相似形的综合题-备战中考数学热点难点突破（教师版）学案，共31页。学案主要包含了函数与相似的综合，圆与相似的综合，动点中的相似问题，相似中的分类讨论，相似在实际问题中的应用等内容，欢迎下载使用。

考纲要求:
1.了解比例的基本性质，了解线段的比、成比例线段，通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割。
2.知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积的比等于对应边比的平方。
3.了解两个三角形相似的概念；知道相似三角形的对应角相等，对应边成比例，面积的比等于对应边比的平方；会利用两个三角形相似的条件判定两个三角形相似。
4.会利用图形的相似解决一些实际问题。
5.了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小。
基础知识回顾:
应用举例:
招数一、函数与相似的综合
【例1】如图，在平面直角坐标系xOy中，点A是反比例函数y=（x＞0，m＞1）图象上一点，点A的横坐标为m，点B（0，﹣m）是y轴负半轴上的一点，连接AB，AC⊥AB，交y轴于点C，延长CA到点D，使得AD=AC，过点A作AE平行于x轴，过点D作y轴平行线交AE于点E．
（1）当m=3时，求点A的坐标；
（2）DE= ，设点D的坐标为（x，y），求y关于x的函数关系式和自变量的取值范围；
（3）连接BD，过点A作BD的平行线，与（2）中的函数图象交于点F，当m为何值时，以A、B、D、F为顶点的四边形是平行四边形？
【答案】（1）点A坐标为（3，6）；（2）1，y=（x＞2）；（3）m=2时，以A、B、D、F为顶点的四边形是平行四边形．
【解析】
（2）如图，延长EA交y轴于点F，
∵DE∥x轴
∴∠FCA=∠EDA，∠CFA=∠DEA，
∵AD=AC，
∴△FCA≌△EDA，
∴DE=CF，
∵A（m，m2﹣m），B（0，﹣m），
（3）由题意可知，AF∥BD
当AD、BF为平行四边形对角线时，
由平行四边形对角线互相平分可得A、D和B、F的横坐标、纵坐标之和分别相等
设点F坐标为（a，b）
∴a+0=m+2m
b+（﹣m）=m2﹣m+m2﹣m﹣1
∴a=3m，b=2m2﹣m﹣1
代入y=，得
2m2﹣m﹣1=，
解得m1=2，m2=0（舍去）
当FD、AB为平行四边形对角线时，
同理设点F坐标为（a，b），
则a=﹣m，b=1﹣m，则F点在y轴左侧，由（2）可知，点D所在图象不能在y轴左侧
∴此情况不存在，
综上当m=2时，以A、B、D、F为顶点的四边形是平行四边形．
【例2】如图，以D为顶点的抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，直线BC的表达式为y=﹣x+3．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在直线BC上有一点P，使PO+PA的值最小，求点P的坐标；
（3）在x轴上是否存在一点Q，使得以A、C、Q为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y=﹣x2+2x+3；（2）P ( ,)；（3）当Q的坐标为（0，0）或（9，0）时，以A、C、Q为顶点的三角形与△BCD相似．
（2）如图所示：作点O关于BC的对称点O′，则O′（3，3）．
∵O′与O关于BC对称，
∴PO=PO′．
∴OP+AP=O′P+AP≤AO′．
∴OP+AP的最小值=O′A==5．
∵O′A的方程为y=
∴P点满足解得： ∴P ( ,)
如图所示：连接AC，过点C作CQ⊥AC，交x轴与点Q．
∵△ACQ为直角三角形，CO⊥AQ，
∴△ACQ∽△AOC．
又∵△AOC∽△DCB，
∴△ACQ∽△DCB．
∴，即，解得：AQ=10．
∴Q（9，0）．
综上所述，当Q的坐标为（0，0）或（9，0）时，以A、C、Q为顶点的三角形与△BCD相似．
招数二、圆与相似的综合
【例3】
招数三、动点中的相似问题
【例4】如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90∘，AC=8，BC=6，CD⊥AB于点D．点P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止.设运动时间为t秒.
(1)设△CPQ的面积为S.求S与t之间的函数关系式:
(2)如图2，在运动过程中是否存在某一时刻t,使得沿PC翻折△CPQ所得到的到的四边形CQPM是菱形?若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由：
(3)是否存在某一时刻t，使得P、Q、B三点共线?若存在，求出t的值;若不存在，请说明理由.
【答案】（1） （2）
【解析】
解：（1）如图1，
∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，∴AB=10．
∵CD⊥AB，∴S△ABC=BC•AC=AB•CD．∴CD===4.8．
过点P作PH⊥AC，垂足为H，如图a所示．
（2）存在，理由：过点Q作QH⊥CP，垂足为H，如图2所示．
∵CD⊥AB∴QH∥AB，
∴ = , =,即= ，=
∴QH=t，CH=t
当四边形CQPM是菱形时，CQ=QP,CH=CP
∴t=（4.8-t），解得：
（3）由题意得，如图3，当∠QPC=∠BPD时，点Q、P、B三点共线，
【例5】如图1，已知△ABC中，AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm．如果点P由B出发沿BA方向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s．连接PQ，设运动的时间为t（单位：s）（0≤t≤4）．解答下列问题：
（1）当t为何值时，PQ∥BC．
（2）设△AQP面积为S（单位：cm2），当t为何值时，S取得最大值，并求出最大值．
（3）是否存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
（4）如图2，把△AQP沿AP翻折，得到四边形AQPQ′．那么是否存在某时刻t，使四边形AQPQ′为菱形？若存在，求出此时菱形的面积；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）s（2）当t=s时，S取得最大值，最大值为cm2（3）不存在。理由见解析（4）存在，cm2
【解析】解：∵AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm，
∴由勾股定理逆定理得△ABC为直角三角形，∠C为直角。
（1）BP=2t，则AP=10﹣2t．
若PQ∥BC，则，即，解得。
∴当s时，PQ∥BC。
（3）不存在。理由如下：
假设存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分，
则有S△AQP=S△ABC，而S△ABC=AC•BC=24，∴此时S△AQP=12。
由（2）可知，S△AQP=，∴=12，化简得：t2﹣5t+10=0。
∵△=（﹣5）2﹣4×1×10=﹣15＜0，此方程无解，
∴不存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分。
（4）存在。
假设存在时刻t，使四边形AQPQ′为菱形，
则有AQ=PQ=BP=2t。
如图2所示，过P点作PD⊥AC于点D，
则有PD∥BC，
∴△APD∽△ABC。
∴，即。
解得：PD=，AD=，
∴QD=AD﹣AQ=。
∴存在时刻t=，使四边形AQPQ′为菱形，此时菱形的面积为cm2。
招数四、相似中的分类讨论
【例6】如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=（x-a）（x-3）（0（1）求点A、B、D的坐标；
（2）若△AOD与△BPC相似，求a的值；
（3）点D、O、C、B能否在同一个圆上，若能，求出a的值，若不能，请说明理由.
【答案】（1）（1）A（a，0），B（3,0），D（0,3a）.（2）a的值为.（3）当a=时，D、O、C、B四点共圆.
②△AOD∽△CPB，
∴，
即 ，解得：a1=3（舍），a2= .
综上所述：a的值为；
（3）能；连接BD，取BD中点M，
∵D、B、O三点共圆，且BD为直径，圆心为M（，a），
若点C也在此圆上，
∴MC=MB，
∴ ，
招数五、相似在实际问题中的应用
【例7】《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步而见木？”
用今天的话说，大意是：如图，是一座边长为200步（“步”是古代的长度单位）的正方形小城，东门位于的中点，南门位于的中点，出东门15步的处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于处的树木（即点在直线上）？请你计算的长为__________步．
【答案】 QUOTE
【例8】如图，甲、乙两盏路灯杆相距20米，一天晚上，当小明从灯甲底部向灯乙底部直行16米时，发现自己的身影顶部正好接触到路灯乙的底部已知小明的身高为米，那么路灯甲的高为（）
A. 7米 B. 8米 C. 9米 D. 10米
【答案】B
方法、规律归纳:
1． 列比例等式时，注意四条线段的大小顺序，防止出现比例混乱.
2．已知比例式的值，求相关字母代数式的值，常用引入参数法，将所有的量都统一用含同一个参数的式子表示，再求代数式的值，也可以用给出的字母中 的一个表示出其他的字母，再代入求解.如下题可设a=3k,b=5k,再代入所求式子，也可以把原式变形得a=3/5b代入求解.
例：若，则.
3．利用平行线所截线段成比例求线段长或线段比时，注意根据图形列出比例等式，灵活运用比例基本性质求解.
4．判定三角形相似的思路：①条件中若有平行线，可用平行线找出相等的角而判定；②条件中若有一对等角，可再找一对等角或再找夹这对等角的两组边对应成比例；③条件中若有两边对应成比例可找夹角相等；④条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明直角边和斜边对应成比例；⑤条件中若有等腰关系，可找顶角相等或找一对底角相等或找底、腰对应成比例.
5.证明等积式或者比例式的一般方法：经常把等积式化为比例式，把比例式的四条线段分别看做两个三角形的对应边.然后，通过证明这两个三角形相似，从而得出结果.
实战演练:
1. 如图所示，⊙O的半径为4，点A是⊙O上一点，直线l过点A；P是⊙O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PB⊥l于点B，交⊙O于点E，直径PD延长线交直线l于点F，点A是的中点．
（1）求证：直线l是⊙O的切线；
（2）若PA=6，求PB的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）PB=．
【解析】
（2）如图，作OH⊥PA于H，
∵OA=OP，OH⊥PA，
∴AH=PH=3，
∵OA∥PB，∴∠OAH=∠APB，∵∠AHO=∠ABP=90°，
∴△AOH∽△PAB，∴，
∴，∴PB=．
2.如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A,B间的距离：先在AB外选一点C，然后测出AC,BC的中点M,N，并测量出MN的长为12m，由此他就知道了A,B间的距离有关他这次探究活动的描述错误的是( )
A. B. CM：CA=1：2 C. MN//AB D. AB=24cm
【答案】A
3. 如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则tan∠BDE的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AD∥BC，
∵点E是边BC的中点，∴BE=BC=AD，
∴△BEF∽△DAF，
∴，∴EF=AF，∴EF=AE，
∵点E是边BC的中点，
∴由矩形的对称性得：AE=DE，∴EF=DE，设EF=x，则DE=3x，
∴DF=x，
∴tan∠BDE= .
故选A．
4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线。
(1)以AB上一点O为圆心，AD为弦作⊙O;
(2)求证：BC为⊙O的切线；
(3)如果AC=3,tanB=,求⊙O的半径。
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【解析】试题分析：
试题解析：
（1）如图所示，⊙O为所求圆；
（2）连接OD.
∵AD平分∠CAB
（3）∵在△ABC中，AC=3，tanB=，∠C=90°，
∴BC=4，AB=5，
设⊙O的半径为r，则OA=OD=r，BO=5－r
∵OD∥AC
∴△BOD∽△BAC
∴
即
解得， ，
∴⊙O的半径为 .
5. 如图，有一边长为的正方形和等腰， ，，点B、Q、C、R在同一直线上，当Q、C两点重合时，等腰以每秒的速度沿直线按箭头所示的方向开始匀速运动，设秒后正方形与等腰重叠部分的面积为.
（1）当t等于多少秒时，平分；
（2）当时，设与交于点，求（用含的代数式表示）.
（3）当时，求关于的函数表达式.
【答案】（1）t=4；（2）FC=；（3），.
（3）如图：当时，设交于，
则
∵∴
∴
∴
6.如图，在三角形ABC中， ，点D为边BC的中点，射线交AB于点点P从点D出发，沿射线DE以每秒1个单位长度的速度运动以PD为斜边，在射线DE的右侧作等腰直角设点P的运动时间为秒．
用含t的代数式表示线段EP的长．
求点Q落在边AC上时t的值．
当点Q在内部时，设和重叠部分图形的面积为平方单位，求S与t之间的函数关系式．
【答案】（1）EP＝t-3;(2)t=8;(3)
如图所示，当点Q落在边AC上时，过点Q作于F，
，
四边形CDFQ是矩形，
，
是等腰直角三角形，
，
；
当点P在线段DE上时， 和重叠部分为，且边上的高为，
点P从点D运动到点E处时，时间为3s，
当时， ，
当点P在线段DE的延长线上时， 和重叠部分为四边形EDQG，
如图所示，过G作于F，则∽，且，
7. 如图，∠MAN=60°，AP平分∠MAN，点B是射线AP上一定点，点C在直线AN上运动，连接BC，将∠ABC（0°＜∠ABC＜120°）的两边射线BC和BA分别绕点B顺时针旋转120°，旋转后角的两边分别与射线AM交于点D和点E．
（1）如图1，当点C在射线AN上时，①请判断线段BC与BD的数量关系，直接写出结论；
②请探究线段AC，AD和BE之间的数量关系，写出结论并证明；
（2）如图2，当点C在射线AN的反向延长线上时，BC交射线AM于点F，若AB=4，AC=，请直接写出线段AD和DF的长．
【答案】（1）①BC=BD；②AD+AC=BE；（2）AD=，DF=．
【解析】
试题解析：（1）①结论：BC=BD，
理由：如图1中，作BG⊥AM于G，BH⊥AN于H，
②结论：AD+AC=BE，
∵∠ABE=120°，∠BAE=30°，∴∠BEA=∠BAE=30°，∴BA=BE，∵BG⊥AE，∴AG=GE，EG=BE•cs30°=BE，∵△BGD≌△BHC，∴DG=CH，∵AB=AB，BG=BH，∴Rt△ABG≌Rt△ABH，∴AG=AH，∴AD+AC=AG+DG+AH﹣CH=2AG=BE，∴AD+AC=BE；
（2）如图2中，作BG⊥AM于G，BH⊥AN于H，AK⊥CF于K，
∴DF=GF+DG=，即DF=．
8.如图，矩形OABC的两边在坐标轴上，点A的坐标为（10，0），抛物线y=ax2+bx+4过点B，C两点，且与x轴的一个交点为D（﹣2，0），点P是线段CB上的动点，设CP=t（0＜t＜10）．
（1）请直接写出B、C两点的坐标及抛物线的解析式；
（2）过点P作PE⊥BC，交抛物线于点E，连接BE，当t为何值时，∠PBE和Rt△OCD中的一个角相等？
（3）点Q是x轴上的动点，过点P作PM∥BQ，交CQ于点M，作PN∥CQ，交BQ于点N，当四边形PMQN为正方形时，求t的值．
【答案】（1）；（2）t=3；（3）或
（2）由题意可设P（t，4），则E（t， t2＋t＋4），
∴PB＝10﹣t，PE＝t2＋t＋4﹣4＝t2＋t，
∵∠BPE＝∠COD＝90°，
当∠PBE＝∠OCD时，
则△PBE∽△OCD，
∴，即BP•OD＝CO•PE，
∴2（10﹣t）＝4（t2＋t），解得t＝3或t＝10（不合题意，舍去），
∴当t＝3时，∠PBE＝∠OCD；
当∠PBE＝∠CDO时，
则△PBE∽△ODC，
∴，即BP•OC＝DO•PE，
∴4（10﹣t）＝2（t2＋t），解得t＝12或t＝10（均不合题意，舍去）
综上所述∴当t＝3时，∠PBE＝∠OCD；
（3）当四边形PMQN为正方形时，则∠PMC＝∠PNB＝∠CQB＝90°，PM＝PN，
∴∠CQO＋∠AQB＝90°，
∵∠CQO＋∠OCQ＝90°，
∴∠OCQ＝∠AQB，
∴Rt△COQ∽Rt△QAB，
∴，即OQ•AQ＝CO•AB，
9. 如图，在中，，，．现在有动点从点出发，沿线段向终点运动，动点从点出发，沿折线向终点运动．如果点的速度是秒，点的速度是秒．它们同时出发，当有一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动的时间为秒．
如图，在上，当为多少秒时，以点、、为顶点的三角形与相似？
如图，在上，是否存着某时刻，使得以点、、为顶点的三角形与相似？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）或；（2）存在；.
【解析】
解：如图，当时，，∴．
在中，由勾股定理，得
．
∵，，∴，∴，∴，
如图，当时，，
∴，∴，
．
综上所述，或时，以点、、为顶点的三角形与相似；
10. 在△ABC中，∠ABC=90°．
（1）如图1，分别过A、C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为M、N，求证：△ABM∽△BCN；
（2）如图2，P是边BC上一点，∠BAP=∠C，tan∠PAC=，求tanC的值；
（3）如图3，D是边CA延长线上一点，AE=AB，∠DEB=90°，sin∠BAC=，，直接写出tan∠CEB的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.
（2）如图，过点P作PF⊥AP交AC于F，
在Rt△AFP中，tan∠PAC=，
同（1）的方法得，△ABP∽△PQF，
∴，
设AB=a，PQ=2a，BP=b，FQ=2b（a＞0，b＞0），
∵∠BAP=∠C，∠B=∠CQF=90°，
（3）在Rt△ABC中，sin∠BAC=，
如图，过点A作AG⊥BE于G，过点C作CH⊥BE交EB的延长线于H，
∵∠DEB=90°，
∴CH∥AG∥DE，
∴，
同（1）的方法得，△ABG∽△BCH，
∴=，
设BG=4m，CH=3m，AG=4n，BH=3n，
∵AB=AE，AG⊥BE，
在Rt△CEH中，tan∠BEC=．
知识点一：比例线段
比例
线段
在四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．
2.比例
的基本性质
(1)基本性质：⇔ ad＝bc；（b、d≠0）
(2)合比性质：⇔＝；（b、d≠0）
(3)等比性质：＝…＝＝k(b＋d＋…＋n≠0)⇔
＝k.（b、d、···、n≠0）
3.平行线分线段成比例定理[来源:][来源:Z#xx#k.Cm]
（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线 段成比例.即如图所示，若l3∥l4∥l5，则.[来源:ZXXK]
（2）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长 线)，所得的对应线段成比例.
即如图所示，若AB∥CD，则.
（3）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似．
如图所示，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC.
4.黄金分割
点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果eq \f(AC,AB)＝=eq \f(\r(5)－1,2)≈0.618，那么线段AB被点C黄金分割．其中点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比．
知识点二 ：相似三角形的性质与判定
5.相似三角形的判定
(1) 两角对应相等的两个三角形相似(AAA).
如图，若∠A＝∠D，∠B＝∠E，则△ABC∽△DEF.
(2) 两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似． 如图，若∠A＝∠D，，则△ABC∽△DEF.
(3) 三边对应成比例的两个三角形相似．如图，若，则△ABC∽△DEF.
6.相似
三角形的性质
(1)对应角相等，对应边成比例．
(2)周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．
(3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比．

7.相似三角形的基本模型