数学必修 第一册5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）优秀课件ppt

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3.2　函数的基本性质
3.2.1　单调性与最大(小)值
第2课时　函数的最大(小)值
∃x0∈I，使得f(x0)＝M　
思考：函数的最值与值域有怎样的关系？提示：联系：函数的最值和值域反映的是函数的整体性质，针对的是整个定义域．区别：(1)函数的值域一定存在，函数的最值不一定存在．(2)若函数的最值存在，则最值一定是值域中的元素．(3)若单调函数的值域是开区间，则函数无最值；若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值．
1．在函数y＝f(x)的定义域中存在无数个实数x满足f(x)≥M，则(　　)A．函数y＝f(x)的最小值为MB．函数y＝f(x)的最大值为MC．函数y＝f(x)无最小值D．不能确定M是函数y＝f(x)的最小值[解析]　根据函数最值的定义，易知选D．
2．函数y＝－|x|在R上(　　)A．有最大值0，无最小值B．无最大值，有最小值0C．既无最大值，又无最小值D．以上都不对[解析]　函数y＝－|x|在(－∞，0]上递增，在(0，＋∞)上递减，∴当x＝0时，y取最大值0，无最小值．
3．若定义在区间(0,3]上的函数y＝f(x)是减函数，则它的最大值(　　)A．是f(0)B．是f(3)C．是0D．不存在[解析]　∵y＝f(x)在区间(0,3]上是减函数，∴当x＝3时，f(x)取最小值f(3)，f(x)无最大值．故选D．
[分析]　可作出分段函数的图象，利用图象法求函数最值．
[解析]　作出f(x)的图象如图：由图象可知，当x＝1时，f(x)取最小值1，无最大值．
[归纳提升]　利用图象法求函数最值的一般步骤是：
[解析]　由题意知，当x∈[－1,2]时，f(x)＝－x2＋3，为二次函数的一部分；当x∈(2,5]时，f(x)＝x－3，为一次函数的一部分；所以，函数f(x)的图象如图所示：
[分析]　利用函数单调性来求函数最值，即先判断函数的单调性，再求最值．
[归纳提升]　1．利用函数单调性求最值的一般步骤：(1)判断函数的单调性．(2)利用单调性写出最值．2．利用单调性求最值的三个常用结论(1)如果函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在区间[a，b]的左、右端点处分别取得最小(大)值和最大(小)值．(2)如果函数f(x)在区间(a，b]上是增函数，在区间[b，c)上是减函数，则函数f(x)在区间(a，c)上有最大值f(b)．(3)如果函数f(x)在区间(a，b]上是减函数，在区间[b，c)上是增函数，则函数f(x)在区间(a，c)上有最小值f(b)．
　　　　已知函数f(x)＝x2－ax＋1，(1)求f(x)在[0,1]上的最大值；(2)当a＝1时，求f(x)在闭区间[t，t＋1](t∈R)上的最小值．
[归纳提升]　1．含参数的二次函数最值问题的解法解决含参数的二次函数的最值问题，首先将二次函数化为y＝a(x＋h)2＋k的形式，再依a的符号确定抛物线的开口方向，依对称轴x＝－h得出顶点的位置，再根据x的定义区间结合大致图象确定最大或最小值．2．对于含参数的二次函数的最值问题，一般有如下几种类型：(1)区间固定，对称轴变动(含参数)，求最值；(2)对称轴固定，区间变动(含参数)，求最值；(3)区间固定，最值也固定，对称轴变动，求参数．通常都是根据区间端点和对称轴的相对位置进行分类讨论．
【对点练习】❸ 已知二次函数f(x)＝x2－2x＋3．(1)当x∈[－2,0]时，求f(x)的最值；(2)当x∈[－2,3]时，求f(x)的最值；(3)当x∈[t，t＋1]时，求f(x)的最小值g(t)．
[解析]　f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，其对称轴为x＝1，开口向上．(1)当x∈[－2,0]时，f(x)在[－2,0]上是减函数，故当x＝－2时，f(x)有最大值f(－2)＝11；当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝3．(2)当x∈[－2,3]时，f(x)在[－2,3]上先递减后递增，故当x＝1时，f(x)有最小值f(1)＝2．又|－2－1|＞|3－1|，∴f(x)的最大值为f(－2)＝11．
(3)①当t＞1时，f(x)在[t，t＋1]上是增函数，所以当x＝t时，f(x)取得最小值，此时g(t)＝f(t)＝t2－2t＋3．②当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，f(x)在[t，t＋1]上先递减后递增，故当x＝1时，f(x)取得最小值，此时g(t)＝f(1)＝2．
混淆“单调区间”和“区间上单调”　　　　若函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2的单调递减区间是(－∞，4]，则实数a的取值集合为___________．[错解]　函数f(x)图象的对称轴为直线x＝1－a，由于函数在区间(－∞，4]上单调递减，因此1－a≥4，即a≤－3．故填a≤－3．
[错因分析]　导致上述错解的原因是把“单调区间”误认为是“在区间上单调”．[正解]　因为函数的单调递减区间为(－∞，4]，所以1－a＝4，即a＝－3．故实数a的取值集合是{－3}．
[方法点拨]　单调区间是一个整体概念，比如说函数的单调递减区间是I，指的是函数递减的最大范围为区间I，而函数在某一区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子区间．所以我们在解决函数的单调性问题时，不能混淆在区间D上单调和区间D上是单调函数这两个不同的概念．
[解析]　利用函数的单调性可知，A正确．
2．函数f(x)在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是(　　)A．f(－2)，0B．0,2C．f(－2)，2D．f(2)，2[解析]　由图象可知，当x＝－2时，f(x)取最小值f(－2)，当x＝1时，f(x)取最大值f(1)＝2，故选C．
3．函数f(x)＝－2x＋1(x∈[－2,2])的最小、最大值分别为(　　)A．3,5B．－3,5C．1,5D．5，－3[解析]　∵函数f(x)在[－2,2]上单调递减，∴f(x)min＝f(2)＝－3，f(x)max＝f(－2)＝5．
[解析]　当1≤x≤2时，f(x)＝2x＋6，∴f(x)在[1,2]上单调递增，∴f(x)max＝f(2)＝10．当－4≤x＜1时， f(x)＝7－x，∴f(x)在[－4,1)上单调递减，∴f(x)max＝f(－4)＝11．综上可知f(x)max＝f(－4)＝11．