专题02 动点问题中的函数图象及规律探索问题（教师版）学案

这是一份专题02 动点问题中的函数图象及规律探索问题（教师版）学案，共12页。学案主要包含了基础知识点综述，主要思想方法，精品例题解析等内容，欢迎下载使用。

动点问题中函数图象的题目的解决方法是：先根据动点运动规律找出所求与动点运动之间的关系，进而获取相应函数的解析式及函数值变化规律，达到求解的目的.
考查的重点是分段函数解析式的求解.
探索规律问题通常用归纳法，即从简单到复杂，从特殊到一般，这类题目考查的是学生的观察与归纳能力，注意从特殊到一般的归纳方法.
二、主要思想方法
分类讨论、数学归纳.
三、精品例题解析
例1. （2019·达州改编） 如图，边长都为4的正方形ABCD和正三角形EFG如图放置，AB与EF在同一条直线上，且A点与F点重合，现将△EFG沿AB方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点F与B重合时停止. 在这个运动过程中，正方形ABCD与△EFG重叠部分的面积S与运动时间t的函数解析式是
【答案】.
【解析】解：
(1) (2)
当0≤t≤2时，如图（1）所示，由题意知：∠HFA=60°，∠AHF=30°，
AF=t，AH=,
=；
当2AF=t，AE=4-t, AH=


综上所述，
例2. （2019·自贡）均匀的向一个容器内注水，在注满水的过程中，水面的高度h与时间t的函数关系如图所示，则该容器是下列四个中的（ ）
【答案】D.
【解析】解：A为圆柱体，其函数图象应为一条直线，故不合题意；
B选项下面粗上面细，其函数图象是一条折线，且后半段的变化速率较慢（图象较缓），故不合题意；
C选项函数图象应为一条曲线，故不合题意；
D选项下面细上面粗，其函数图象是一条折线，且后半段的变化速率较快，故符合题意；
故答案为：D.
例3. （2019·潍坊改编）如图，在矩形ABCD中，AB=2,AD=3，动点P沿着折线BCD从点B开始运动到点D，设运动的路程为x，△ADP的面积为y，则y与x之间的函数关系式是
【答案】.
【解析】解：①当点P在线段BC上时，即0≤x≤3时，
;
②当点P在线段CD上时，即3;
综上所述，.
例4. （2019·深圳模拟）如图①，在菱形ABCD中，动点P从点B出发，沿折线B→C→D→B运动. 设点P经过的路程为x，△ABP的面积为y. 把y看成x的函数，函数的图象如图②所示，则图②中的b等于
【答案】.
【解析】解：由图②可知，当x=4时△ABP的面积最大，此时P点运动至点C，即菱形ABCD的边长为4，又x=14时停止，即BD=6，
连接AC交BD于O，AC⊥BD，
∴BD=3，
在Rt△BOC中，由勾股定理得：OC=，
∴AC=
即b=,
故答案为：.
例5. 如图1，在扇形OAB中，∠O=60°，动点P从点O出发，沿O→A→B以1cm/s的速度匀速运动至点B，图2是点P运动过程中，△OBP的面积y（cm2）随时间x（s）变化的图象，则a，b的值分别为
【答案】4，.
【解析】解：由题意知：
当点P运动至点A时，△OBP的面积为，
∵∠O=60°，
∴△OAB为等边三角形，
∴OA=4，即a=4，
b=（OA+lAB）÷1=.
故答案为：4，.
例6. （2019·河南模拟）如图1，在矩形ABCD中，AB＜BC，点E为对角线AC上的一个动点，连接BE，DE，过E作EF⊥BC于F．设AE＝x，图1中某条线段的长为y，若表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图1中的（ ）
A．线段BEB．线段EFC．线段CED．线段DE
【答案】D.
【解析】
解：A、若线段BE是y，则y随x的增大先减小再增大，在点A的距离是BA，在点C时的距离是BC，因为BA＜BC，故A错误；
B、若线段EF是y，则y随x的增大越来越小，故B错误；
C、若线段CE是y，则y随x的增大越来越小，故C错误；
D、若线段DE是y，则y随x的增大先减小再增大，在点A的距离是DA，在点C时的距离是DC，DA＞DC，故选项D正确；
故答案为：D．
例7. （2019·博罗县一模）如图，已知A，B是反比例函数y＝（k＞0，x＞0）图象上的两点，BC∥x轴，交y轴于点C，动点P从坐标原点O出发，沿O→A→B→C（图中“→”所示路线）匀速运动，终点为C，过P作PM⊥x轴，垂足为M．设三角形OMP的面积为S，P点运动时间为t，则S关于t的函数图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A.
【解析】解：设∠AOM＝β，点P运动的速度为x，
当点P从点O运动到点A的过程中，
S＝
由于β及x均为常量，即为定值，可知本段图象应为抛物线，且S随着t的增大而增大；故选项B、C错误；
当点P从A运动到B时，由反比例函数性质可知△OPM的面积为k，保持不变，故本段图象应为与横轴平行的线段；故选项C错误；
故选：A．
例8. （2017·濮阳县一模）如图，等边△ABC边长为2，四边形DEFG是平行四边形，DG=2，DE=3，∠GDE=60°，BC和DE在同一条直线上，且点C与点D重合，现将△ABC沿D→E的方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点B与点E重合时停止，则在这个运动过程中，△ABC与四边形DEFG的重合部分的面积S与运动时间t之间的函数关系图象大致是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B.
【解析】解：分三种情况：①0≤t≤2时，由重叠部分为边长为t的等边三角形；
如图1，
由题意知CD＝t，∠HDC＝∠HCD＝60°，
∴△CDH是等边三角形，
则S＝t2；即该段函数图象是开口朝上的抛物线的一部分，S随t的增大而增大；
②2＜t≤3时，由重叠部分即为△ABC；
如图2，
S＝×22＝；
此段函数图象是一条平行于x轴的线段；
③3＜t≤5时由重叠部分是S△ABC﹣S△HEC
如图3，
根据题意可得CE＝CD﹣DE＝t﹣3，∠C＝∠HEC＝60°，
∴△CEH为等边三角形，
则S＝S△ABC﹣S△HEC＝×22﹣（t﹣3）2＝﹣t2+t﹣；
此段函数图象为开口朝下的抛物线的一部分，且S随t的增大而减小
综上所述，0≤t≤2时函数图象是开口向上的抛物线的一部分，2＜t≤3时函数图象是平行于x轴的一部分，当3＜t≤5时函数图象是开口向下的抛物线的一部分；
故答案为B.
例9. （2019·衡阳）如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，E是AB的中点，过点E作AC和BC的垂线，垂足分别为点D和点F，四边形CDEF沿着CA方向匀速运动，点C与点A重合时停止运动，设运动时间为t，运动过程中四边形CDEF与△ABC的重叠部分面积为S．则S关于t的函数图象大致为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C.
【解析】解：
∵在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵EF⊥BC，ED⊥AC，
∴四边形EFCD是矩形，
∵E是AB的中点，
∴EF＝AC，DE＝BC，
∴EF＝ED，
∴四边形EFCD是正方形，
设正方形的边长为a，
如图1,当移动的距离小于a时，
S＝正方形的面积﹣△EE′H的面积＝a2﹣t2；
当移动的距离大于a时，如图2，
S＝S△AC′H＝（2a﹣t）2＝t2﹣2at+2a2，
∴S关于t的函数图象大致为C选项，
综上所述，移动距离小于正方形CDEF边长时，函数图象是开口朝下的抛物线一部分，且S随t的增大而减小；移动距离大于正方形CDEF边长时，函数图象是开口朝上的抛物线一部分，且S随t的增大而减小；
故答案为：C．
例10. a是不为1的有理数，我们把成为a的差倒数，如2的差倒数是－1，－1的差倒数是0.5. 已知a1=5，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数……，以此类推，则a2019的值是.
【答案】.
【解析】解：由题意知：
a1=5，a2=，a3=，a4=5，……
2019÷3=673，
即a2019=.
例11. （2019·潍坊）如图所示，在平面直角坐标系中，一组同心圆的圆心为坐标原点O，它们的半径分别为1,2,3，……，按照“加1”依次递增，一组平行线，l0，l1，l2，l3，……都与x轴垂直，相邻两直线的间距为1，其中l0与y轴重合. 若半径为2的圆与l1在第一象限交于点P1，半径为3的圆与l2在第一象限交于点P2，……，半径为n+1的圆与ln在第一象限交于点Pn，则点Pn的坐标为

【答案】4.
【解析】解：连接OP1，设l1与x轴交于点A1，由题意知：OP1=2，OA1=1，
在RtOP1A1中，由勾股定理得：P1A1=
即P1；
同理得：P2，P3，P4……
即Pn.
例12. （2019·连云港） 如图，将一等边三角形三条边各八等分按顺时针方向标注各等分点的序号0、1、2、3、4、5、6、7、8，如图所示，将和为8的点连接起来，得到了“三角形坐标系”.在建立的坐标系中，每一点的坐标用过这一点且平行（重合）于原三角形三条边的直线与三边交点的序号来表示（水平方向开始，按顺时针方向），如点A的坐标为（1,2,5），点B的坐标为（4,1,3），则点C的坐标为
【答案】（2,4,2）.
【解析】由题意知，通过点C的数字依次是2,4,2（顺时针），故答案为（2,4,2）.
例13. （2019·衡阳）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2的图象如图所示．已知A点坐标为（1，1），过点A作AA1∥x轴交抛物线于点A1，过点A1作A1A2∥OA交抛物线于点A2，过点A2作A2A3∥x轴交抛物线于点A3，过点A3作A3A4∥OA交抛物线于点A4……，依次进行下去，则点A2019的坐标为 ．
【答案】（﹣1010，10102）.
【解析】解：∵A点坐标为（1，1），
∴直线OA为y＝x，A1（﹣1，1），
∵A1A2∥OA，
∴直线A1A2为y＝x+2，
联立y=x+2，y=x2
得，A2（2，4），A3（﹣2，4），
∵A3A4∥OA，
∴直线A3A4为y＝x+6，
同理得：A4（3，9），A5（﹣3，9）
…，
∴A2019（﹣1010，10102），
故答案为（﹣1010，10102）．
例14. （2019·怀化）探索与发现：下面是用分数（数字表示面积）砌成的“分数墙”，则整面“分数墙”的总面积是 ．
【答案】n-1.
【解析】
解：由题意“分数墙”的总面积＝2×+3×+…+n×＝n﹣1，
故答案为n﹣1．