专题06 二次函数的图像与性质-中考数学函数考点全突破

这是一份专题06 二次函数的图像与性质-中考数学函数考点全突破，共11页。试卷主要包含了二次函数的概念，二次函数的图象及性质，二次函数图象的平移，二次函数关系式的确定，二次函数与一元二次方程的关系等内容，欢迎下载使用。

知识梳理
一、二次函数的概念
一般地，形如y＝______________(a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数．
二次函数的两种形式：
(1)一般形式：____________________________；
(2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，其中二次函数的顶点坐标是________．
二、二次函数的图象及性质
三、二次函数图象的特征与a，b，c及b2－4ac的符号之间的关系
四、二次函数图象的平移
抛物线y＝ax2与y＝a(x－h)2，y＝ax2＋k，y＝a(x－h)2＋k中|a|相同，则图象的________和大小都相同，只是位置不同．它们之间的平移关系如下：
五、二次函数关系式的确定
1．设一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
若已知条件是图象上三个点的坐标，则设一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将已知条件代入，求出a，b，c的值．
2．设交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标，则设交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，将第三点的坐标或其他已知条件代入，求出待定系数a，最后将关系式化为一般式．
3．设顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)．
若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值或最小值，则设顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，将已知条件代入，求出待定系数化为一般式．
六、二次函数与一元二次方程的关系
1．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当y＝0时，就变成了ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．
2．ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解是抛物线与x轴交点的________．
3．当Δ＝b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有两个不同的交点；当Δ＝b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有一个交点；当Δ＝b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
4．设抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴两交点坐标分别为A(x1,0)，B(x2,0)，则x1＋x2＝________，x1·x2＝________.
考点一、二次函数的图象及性质
【例1】(1)二次函数y＝－3x2－6x＋5的图象的顶点坐标是( )
A．(－1,8) B．(1,8) C．(－1,2) D．(1，－4)
(2)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的对称轴为直线x＝1，且经过点(－1，y1)，(2，y2)，试比较y1和y2的大小：y1________y2.(填“＞”“＜”或“＝”)
方法总结 1．将抛物线解析式写成y＝a(x－h)2＋k的形式，则顶点坐标为(h，k)，对称轴为直线x＝h，也可应用对称轴公式x＝－eq \f(b,2a)，顶点坐标eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a)))来求对称轴及顶点坐标．
2．比较两个二次函数值大小的方法：
(1)直接代入自变量求值法；
(2)当自变量在对称轴两侧时，看两个数到对称轴的距离及函数值的增减性判断；
(3)当自变量在对称轴同侧时，根据函数值的增减性判断．
触类旁通1 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图，则下列结论中正确的是( )
A．a＞0 B．当x＞1时，y随x的增大而增大
C．c＜0 D．3是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根
【解析】开口向下，所以a＜0，函数与y轴交于正半轴，所以c＞0，当x＞1时，y随x的增大而减小，所以选D
考点二、利用二次函数图象判断a，b，c的符号
【例2】如图，是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的一部分，给出下列命题：①a＋b＋c＝0；②b＞2a；③ax2＋bx＋c＝0的两根分别为－3和1；④a－2b＋c＞0.其中正确的命题是__________．(只要求填写正确命题的序号)
答案：①③
方法总结 根据二次函数的图象确定有关代数式的符号，是二次函数中的一类典型的数形结合问题，具有较强的推理性．解题时应注意a决定抛物线的开口方向，c决定抛物线与y轴的交点，抛物线的对称轴由a，b共同决定，b2－4ac决定抛物线与x轴的交点情况．当x＝1时，决定a＋b＋c的符号，当x＝－1时，决定a－b＋c的符号．在此基础上，还可推出其他代数式的符号．运用数形结合的思想更直观、更简捷．
触类旁通2 小明从如图的二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象中，观察得出了下面五个结论：①c＜0；②abc＞0；③a－b＋c＞0；④2a－3b＝0；⑤c－4b＞0，你认为其中正确的结论有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【解析】 ∵抛物线开口向上，∴a＞0；
∵抛物线与y轴交于负半轴，∴c＜0；
对称轴在y轴右侧，a，b异号，故b＜0，∴abc＞0.
由题图知当x＝－1时，y＞0，
即a－b＋c＞0.对称轴是直线x＝eq \f(1,3)，
∴－eq \f(b,2a)＝eq \f(1,3)，即2a＋3b＝0；
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－b＋c>0，,2a＋3b＝0，))得c－eq \f(5,2)b＞0.
又∵b＜0，∴c－4b＞0.∴正确的结论有4个．
考点三、二次函数图象的平移
【例3】二次函数y＝－2x2＋4x＋1的图象怎样平移得到y＝－2x2的图象( )
A．向左平移1个单位，再向上平移3个单位
B．向右平移1个单位，再向上平移3个单位
C．向左平移1个单位，再向下平移3个单位
D．向右平移1个单位，再向下平移3个单位
答案：C
方法总结 二次函数图象的平移实际上就是顶点位置的变换，因此先将二次函数解析式转化为顶点式确定其顶点坐标，然后按照“左加右减、上加下减”的规律进行操作．
触类旁通3 将二次函数y＝x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数解析式是( )
A．y＝(x－1)2＋2 B．y＝(x＋1)2＋2 C．y＝(x－1)2－2 D．y＝(x＋1)2－2
【解析】 因为将二次函数y＝x2向右平移1个单位，得y＝(x－1)2，再向上平移2个单位后，得y＝(x－1)2＋2，故选A.
考点四、确定二次函数的解析式
【例4】如图，四边形ABCD是菱形，点D的坐标是(0，eq \r(3))，以点C为顶点的抛物线y＝ax2＋bx＋c恰好经过x轴上A，B两点．
(1)求A，B，C三点的坐标；
(2)求经过A，B，C三点的抛物线的解析式．
(2)解法一：设抛物线的解析式为y＝a(x－2)2＋eq \r(3)，代入A的坐标(1,0)，得a＝－eq \r(3).
∴抛物线的解析式为y＝－eq \r(3)(x－2)2＋eq \r(3).
解法二：设这个抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c，由已知抛物线经过A(1,0)，B(3,0)，C(2，eq \r(3))三点，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋b＋c＝0，,9a＋3b＋c＝0，,4a＋2b＋c＝\r(3)，))解这个方程组，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－\r(3)，,b＝4\r(3)，,c＝－3\r(3).))
∴抛物线的解析式为y＝－eq \r(3)x2＋4eq \r(3)x－3eq \r(3).
方法总结 用待定系数法求二次函数解析式，需根据已知条件，灵活选择解析式：若已知图象上三个点的坐标，可设一般式；若已知二次函数图象与x轴两个交点的横坐标，可设交点式；若已知抛物线顶点坐标或对称轴与最大(或小)值，可设顶点式．
触类旁通4 已知抛物线y＝－eq \f(1,2)x2＋(6－eq \r(m2))x＋m－3与x轴有A，B两个交点，且A，B两点关于y轴对称．
(1)求m的值；
(2)写出抛物线的关系式及顶点坐标．
【解析】(1)∵抛物线与x轴的两个交点关于y轴对称，∴抛物线的对称轴即为y轴．
∴－eq \f(6－\r(m2),2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2))))＝0.∴m＝±6.
1．二次函数y＝ax2＋bx＋1(a≠0)的图象的顶点在第一象限，且过点(－1,0)．设t＝a＋b＋1，则t值的变化范围是( )
A．0＜t＜1 B．0＜t＜2 C．1＜t＜2 D．－1＜t＜1
2．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，那么一次函数y＝bx＋c和反比例函数y＝eq \f(a,x)在同一平面直角坐标系中的图象大致是( )'
3．将抛物线y＝x2＋x向下平移2个单位，所得新抛物线的表达式是________．
4．二次函数y＝x2－2x－3的图象如图所示．当y＜0时，自变量x的取值范围是______________．
(第4题图)
5．如图，二次函数y＝(x－2)2＋m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y＝kx＋b的图象经过该二次函数图象上点A(1,0)及点B.
(第5题图)
(1)求二次函数与一次函数的解析式；
(2)根据图象，写出满足kx＋b≥(x－2)2＋m的x的取值范围．
6．抛物线y＝ax2＋bx＋c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
从上表可知，下列说法中正确的是__________．(填写序号)
①抛物线与x轴的一个交点为(3,0)；
②函数y＝ax2＋bx＋c的最大值为6；
③抛物线的对称轴是直线x＝eq \f(1,2)；
④在对称轴左侧，y随x增大而增大．
7．抛物线y＝－x2＋bx＋c的图象如图所示，若将其向左平移2个单位，再向下平移3个单位，则平移后的解析式为__________．
参考答案
品鉴经典考题
2．C ∵二次函数图象开口向下，∴a＜0.
∵对称轴x＝－eq \f(b,2a)＜0，∴b＜0.
∵二次函数图象经过坐标原点，∴c＝0.
∴一次函数y＝bx＋c过第二、四象限且经过原点，反比例函数y＝eq \f(a,x)位于第二、四象限，故选C.
3．y＝x2＋x－2 因为抛物线向下平移2个单位，则y值在原来的基础上减2，所以新抛物线的表达式是y＝x2＋x－2.
4．－1＜x＜3 因为二次函数的图象与x轴两个交点的坐标分别是(－1,0)，(3,0)，由图象可知，当y＜0时，自变量x的取值范围是－1＜x＜3.
6．①③④ 由图表可知当x＝0时，y＝6；当x＝1时，y＝6，∴抛物线的对称轴是直线x＝eq \f(1,2)，③正确；∵抛物线与x轴的一个交点为(－2,0)，对称轴是直线x＝eq \f(1,2)，∴抛物线与x轴的另一个交点为(3,0)，①正确；由图表可知，在对称轴左侧，y随x增大而增大，④正确；当x＝eq \f(1,2)时，y取得最大值，②错误．
7．y＝－x2－2x 由题中图象可知，对称轴为直线x＝1，
所以－eq \f(b,－2)＝1，即b＝2.把点(3,0)代入y＝－x2＋2x＋c，得c＝3.故原图象的解析式为y＝－x2＋2x＋3，即y＝－(x－1)2＋4，然后向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得y＝－(x－1＋2)2＋4－3，即y＝－x2－2x.
考纲要求
命题趋势
1．理解二次函数的有关概念．
2．会用描点法画二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质．
3．会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴，并会求解二次函数的最值问题．
4．熟练掌握二次函数的上下左右平移
5．熟练掌握二次函数解析式的求法.
二次函数是中考的重点内容，题型主要有选择题、填空题及解答题，而且常与方程、不等式、几何知识等结合在一起综合考查，且一般为压轴题．中考命题不仅考查二次函数的概念、图象和性质等基础知识，而且注重多个知识点的综合考查以及对学生应用二次函数解决实际问题能力的考查.
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
图象
(a＞0)
(a＜0)
开口方向
开口向上
开口向下
对称轴
直线x＝－eq \f(b,2a)
直线x＝－eq \f(b,2a)
顶点坐标
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a)))
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a)))
增减性
当x＜－eq \f(b,2a)时，y随x的增大而减小；当x＞－eq \f(b,2a)时，y随x的增大而增大
当x＜－eq \f(b,2a)时，y随x的增大而增大；当x＞－eq \f(b,2a)时，y随x的增大而减小
最值
当x＝－eq \f(b,2a)时，y有最______值eq \f(4ac－b2,4a)
当x＝－eq \f(b,2a)时，y有最______值eq \f(4ac－b2,4a)
x
…
－2
－1
0
1
2
…
y
…
0
4
6
6
4
…