专题07 等腰三角形综合题模型解题-决胜中考数学之模型解题高分攻略（教师版）学案

这是一份专题07 等腰三角形综合题模型解题-决胜中考数学之模型解题高分攻略（教师版）学案，共8页。
解题模型一  等边三角形共顶点等边△ABC与等边△DCE，B、C、E三点共线．连接BD、AE交于点F，BD交AC于点G，AE交DC于点H，连接CF、GH，则：（1）△BCD≌△ACE；（2）AE＝BD；（3）∠AFB＝∠DFE＝60°；（4）FC平分∠BFE；（5）BF＝AF＋FC，EF＝DF＋FC；（6）△CGH为等边三角形．针对训练1.（2017•恩施）如图，△ABC、△CDE均为等边三角形，连接BD、AE交于点O，BC与AE交于点P．求证：∠AOB=60°．【答案】证明：∵△ABC和△ECD都是等边三角形，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°.∴∠ACB+∠BCE=∠DCE+∠BCE，即∠ACE=∠BCD.在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS）.∴∠CAE=∠CBD.∵∠APC=∠BPO，∴∠BOP=∠ACP=60°，即∠AOB=60°．【点睛】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．  @解题模型二  等腰直角三角形共顶点等腰Rt△ABC与等腰Rt△DCE中，∠ACB＝∠DCE＝90°．      如图1，连接BD、AE交于点F，连接FC、AD、BE，则：（1）△BCD≌△ACE；（2）AE＝BD；（3）AE⊥BD；（4）FC平分∠BFE；（5）AB2＋DE2＝AD2＋BE2（6）BF＝AF＋FC，EF＝DF＋FC；（7）如图2，若G、I分别为BE、AD的中点，则GC⊥AD、IC⊥BE（反之亦然）；（8）S△ACD＝S△BCE.针对训练2．（2018•东营）如图，点E在△DBC的边DB上，点A在△DBC内部，∠DAE=∠BAC=90°，AD=AE，AB=AC．给出下列结论：①BD=CE；②∠ABD+∠ECB=45°；③BD⊥CE；④BE2=2（AD2+AB2）﹣CD2．其中正确的是（　　）A．①②③④ B．②④ C．①②③ D．①③④ 【答案】A【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．3．（2017•哈尔滨）已知：△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，连接AE、BD交于点O．AE与DC交于点M，BD与AC交于点N．（1）如图1，求证：AE=BD；[来源:Z_xx_k.Com]（2）如图2，若AC=DC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四对全等的直角三角形．【答案】（1）∵△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，∴AC=BC，DC=EC.∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD.∴∠BCD=∠ACE.在△ACE与△BCD中，∴△ACE≌△BCD（SAS）.∴AE=BD.（2）由（1）可知：∠AEC=∠BDC，∠EAC=∠DBC，∴∠DOM=90°.∵∠AEC=∠CAE=∠CBD，∴△EMC≌△BCN（ASA）.∴CM=CN，∴DM=AN.∴△AON≌△DOM（AAS）.∵DE=AB，AO=DO，[来源:]∴△AOB≌△DOE（HL）.  #∠ACB=∠DCE=90°，【点睛】本题考查全等三角形，解题的关键是熟练运用全等三角形的判定条件，本题属于基础题型．解题模型三  等腰三角形共顶点等腰△ACB与等腰△DCE中，AC＝BC，DC＝CE，且∠ACB＝∠DCE．连接BD，AE交于点F，则：（1）△BCD≌△ACE；（2）AE＝BD；（3）∠AFB＝∠ACB；（4）FC平分∠BFE．针对训练4．（2018•河南）（1）问题发现如图1，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M．填空：①的值为　1　；②∠AMB的度数为　40°　．（2）类比探究如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD=30°，连接AC交BD的延长线于点M．请判断的值及∠AMB的度数，并说明理由；（3）拓展延伸在（2）的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M，若OD=1，OB=，请直接写出当点C与点M重合时AC的长．【答案】（1）①1；②40°（2）=，∠CAO=∠DBO.在△AMB中，∠AMB=180°﹣（∠MAB+∠ABM）=180°﹣（∠OAB+∠ABM+∠DBO）=90°.（3）AC的长为3或2．  @（3）正确画图形，当点C与点M重合时，有两种情况：如图3和4，同理可得：△AOC∽△BOD，则∠AMB=90°，，可得AC的长．故答案为：①1；②40°.（2）类比探究如图2，=，∠AMB=90°，理由是：Rt△COD中，∠DCO=30°，∠DOC=90°，∴.同理得：，∴.∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠AOC=∠BOD.∴△AOC∽△BOD.[来源:Zxxk.Com]∴=，∠CAO=∠DBO.在△AMB中，∠AMB=180°﹣（∠MAB+∠ABM）=180°﹣（∠OAB+∠ABM+∠DBO）=90°.（3）拓展延伸[来源:Z。X。X。K][来源:]  【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查了三角形全等和相似的性质和判定，几何变换问题，解题的关键是能得出：△AOC∽△BOD，根据相似三角形的性质，并运用类比的思想解决问题，本题是一道比较好的题目．