2019-2020学年广州市荔湾区九上期末数学试卷

这是一份2019-2020学年广州市荔湾区九上期末数学试卷，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 设 α，β 是一元二次方程 x2+2x−1=0 的两个根，则 αβ 的值是
A. −1B. 1C. −2D. 2

2. 一个正六边形绕它的中心旋转后与原来的正六边形第一次重合，那么至少旋转
A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 120∘

3. 抛物线 y=ax2+bx+ca<0 如图所示，则关于 x 的不等式 ax2+bx+c>0 的解集是
A. x<2B. x>−3
C. −31

4. 如图，已知直线 y=mx 与双曲线 y=kx 的一个交点坐标为 3,4，则它们的另一个交点坐标是
A. −3,−4B. −4,−3C. −3,4D. 4,3

5. 下列说法正确的是
A. 袋中有形状、大小、质地完全一样的 5 个红球和 1 个白球，从中随机抽出一个球，一定是红球
B. 天气预报“明天降水概率 10%”，是指明天有 10% 的时间会下雨
C. 某地发行一种福利彩票，中奖率是千分之一，那么，买这种彩票 1000 张，一定会中奖
D. 连续掷一枚均匀硬币，若 5 次都是正面朝上，则第六次仍然可能正面朝上

6. 要将抛物线 y=x2+2x+3 平移后得到抛物线 y=x2，下列平移方法正确的是
A. 向左平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位
B. 向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位
C. 向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位
D. 向右平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位

7. 如图，AB⊥BC，AB=BC=2 cm，曲线 OA 与曲线 OC 关于点 O 成中心对称，则 AB，BC，曲线 CO，曲线 OA 所围成的面积是 cm2．
A. 1B. πC. 2D. 2π

8. 如图，在矩形 ABCD 中，AB=4，AD=3，以顶点 D 为圆心作半径为 r 的圆，若点 A，B，C 中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则 r 的值可以是下列选项中的
A. 3B. 4C. 5D. 6

9. 如图，是一个圆锥的左视图，根据图中所标数据，圆锥侧面展开图的扇形圆心角的大小为
A. 90∘B. 120∘C. 135∘D. 150∘

10. 如图，已知点 A，B，C，D，E，F 是边长为 1 的正六边形的顶点，连接任意两点均可得到一条线段，在连接两点所得的所有线段中任取一条线段，取到长度为 3 的线段的概率为
A. 14B. 25C. 23D. 59

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 若关于 x 的一元二次方程 x2−2x+k=0 无实数根，则实数 k 的取值范围是 ．

12. 若抛物线的顶点是 A2,1，且经过点 B1,0，则抛物线的解析式为 ．

13. 有三辆车按 1，2，3 编号，舟舟和嘉嘉两人可任意选坐一辆车．则两人同坐 3 号车的概率为 ．

14. 反比例函数 y=2m−1x 的图象在每个象限内，函数值 y 随 x 的增大而增大，则 m 的取值范围是 ．

15. 如图，点 E，F 分别在正方形 ABCD 的边 BC，CD 上，BE=CF，连接 AE，BF，将 △ABE 绕正方形的中心按逆时针方向旋转到 △BCF，旋转角为 α0∘<α<180∘，则 ∠α= ．

16. 一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径 OA=1 m，水面宽 AB=1.2 m，某天下雨后，水管水面上升了 0.2 m，则此时排水管水面宽 CD 等于 m．

三、解答题（共9小题；共117分）
17. 解下列方程：
（1）x2−2x−3=0；
（2）3xx+1=3x+3．

18. 已知正方形 ABCD，E 为正方形 ABCD 内任意一点，连接 DE，将线段 DE 绕点 D 顺时针旋转 90∘ 得到 DG，连接 EC，AG．
（1）依题意补全图形；
（2）判断 AG 与 CE 的数量关系并证明．

19. 已知二次函数 y=−x2+2x+3．
（1）求这个二次函数的顶点坐标、对称轴；
（2）在直角坐标系中画出该二次函数的图象；
（3）当 x 为何值时，函数 y 随着 x 的增大而增大?

20. 某校将举办“心怀感恩 ⋅ 孝敬父母”的活动，为此，校学生会就全校 1000 名同学暑假期间平均每天做家务活的时间，随机抽取部分同学进行调查，并绘制成如下条形统计图．
（1）本次调查抽取的人数为 ，估计全校同学在暑假期间平均每天做家务活的时间在 40 分钟以上（含 40 分钟）的人数为 ；
（2）校学生会拟在表现突出的甲、乙、丙、丁四名同学中，随机抽取两名同学向全校汇报．请用树状图或列表法表示出所有可能的结果，并求恰好抽到甲、乙两名同学的概率．

21. 如图，一次函数 y1=x+1 的图象与反比例函数 y2=kx（k 为常数，且 k≠0）的图象都经过点 Am,2．
（1）求点 A 的坐标及反比例函数的解析式；
（2）结合图象直接写出：当 x 满足什么条件时，y1>y2．

22. 如图，PB 为 ⊙O 的切线，B 为切点，过 B 作 OP 的垂线 BA，垂足为 C，交 ⊙O 于点 A，连接 PA，AO，并延长 AO 交 ⊙O 于点 E，与 PB 的延长线交于点 D．
（1）求证 PA=PB；
（2）PA 与 ⊙O 的位置关系是什么?请证明你的结论．

23. 如图所示，在平面直角坐标系中，直线 y=−2x+2 与 x 轴、 y 轴分别相交于点 A，B，四边形 ABCD 是正方形，双曲线 y=kx 在第一象限经过点 D．
（1）求双曲线表示的函数表达式；
（2）将正方形 ABCD 沿 x 轴向左平移 个单位长度时，点 C 的对应点 Cʹ 恰好落在（1）中的双曲线上．

24. 如图，⊙O 的直径 AB 的长为 10，弦 AC 的长为 5，∠ACB 的平分线交 ⊙O 于点 D．
（1）求 BC 的长；
（2）求弦 BD 的长．

25. 如图，在平面直角坐标系中，点 B 的坐标为 −3,−4，线段 OB 绕原点逆时针旋转后与 x 轴的正半轴重合，点 B 的对应点为点 A．
（1）直接写出点 A 的坐标，并求出经过 A，O，B 三点的抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点 C，使 BC+OC 的值最小?若存在，求出点 C 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点 P 是抛物线上的一个动点，且在 x 轴的上方，当点 P 运动到什么位置时，△PAB 的面积最大?求出此时点 P 的坐标和 △PAB 的最大面积．
答案
第一部分
1. A
2. C
3. C
4. A
5. D
6. D
7. C
8. B
9. B
10. B
第二部分
11. k>1
12. y=−x−22+1
13. 19
14. m<12
15. 90∘
16. 1.6
第三部分
17. （1） 解法一：
因为
x−3x+1=0.
所以
x−3=0或x+1=0.
所以
x1=3或x2=−1.
【解析】解法二：
因为
x−12−4=0.
所以
x−12=4.
所以
x−1=±2.
所以
x1=3或x2=−1.
（2） 解法一：
因为
3xx+1=3x+1.
所以
3xx+1−3x+1=0.
所以
x+13x−3=0.
所以
x1=−1,x2=1.
【解析】解法二：
因为
3x2+3x=3x+3.
所以
3x2=3.
所以
x2=1.
所以
x1=−1,x2=1.
18. （1） 如图即为所求．
（2） AG=CE．
证明思路如下：
由正方形 ABCD，可得 AD=CD，∠ADC=90∘，
由 DE 绕着点 D 顺时针旋转 90∘ 得 DG，
可得 ∠GDE=∠ADC=90∘，GD=DE，
故有 ∠ADG=∠EDC，
可证 △AGD≌△CED，
可得 AG=CE．
19. （1） y=−x2+2x+3=−x−12+4．
∴ 顶点坐标为 1,4，对称轴为直线 x=1．
（2） x⋯−10123⋯y⋯03430⋯
（3） 当 x<1 时，函数 y 随着 x 的增大而增大．
20. （1） 50；320
（2） 列表如下：
甲乙丙丁甲−甲乙甲丙甲丁乙乙甲−乙丙乙丁丙丙甲丙乙−丙丁丁丁甲丁乙丁丙−
列对表
∵ 共有 12 种情况，恰好抽到甲、乙两名同学的是 2 种，
∴P恰好抽到甲、乙两名同学=212=16．
21. （1） 将点 Am,2 的坐标代入一次函数 y1=x+1，得 2=m+1，解得 m=1．
即点 A 的坐标为 1,2．
将点 A1,2 的坐标代入反比例函数 y2=kx，得 2=k1，即 k=2．
所以反比例函数的解析式为 y2=2x．
（2） 当 −21 时，y1>y2．
22. （1） 连接 OB，
则 OA=OB，
∵ OP⊥AB，
∴ AC=BC，
∴ OP 是 AB 的垂直平分线，
∴ PA=PB．
（2） PA 是 ⊙O 的切线．
在 △PAO 和 △PBO 中，
∵ PA=PB,PO=PO,OA=OB,
∴ △PAO≌△PBOSSS，
∴ ∠PBO=∠PAO，
∵ PB 为 ⊙O 的切线，B 为切点，
∴ ∠PBO=90∘，
∴ ∠PAO=90∘，
即 PA⊥OA，
∵ OA 是半径，
∴ PA 是 ⊙O 的切线．
23. （1） 如图，过点 D 作 DE⊥x 轴于点 E．
∵ 直线 y=−2x+2 与 x 轴、 y 轴相交于点 A，B，
∴ 当 x=0 时，y=2，即 OB=2，当 y=0 时，x=1，即 OA=1．
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴ ∠BAD=90∘，AB=AD．
∴ ∠BAO+∠DAE=90∘．
∵ ∠ADE+∠DAE=90∘，
∴ ∠BAO=∠ADE．
∵ ∠AOB=∠DEA=90∘，
∴ △AOB≌△DEA．
∴ DE=AO=1，AE=BO=2．
∴ OE=3，DE=1．
∴ 点 D 的坐标为 3,1．
把 3,1 代入 y=kx 中，得 k=3．
故双曲线表示的函数关系式为 y=3x．
（2） 1
24. （1） 连接 OC，
∵AB 为 ⊙O 的直径，
∴∠ACB=∠ADB=90∘，
∵AB=10，AC=5，
∴AC=AO=CO=5，
∴△AOC 为等边三角形，
∴∠AOC=60∘，
∴∠BOC=120∘，
∴ 弧 BC 的长为 120×π×5180=103π．
（2） 连接 OD，
∵CD 平分 ∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，
∵∠AOD=2∠ACD，
∠BOD=2∠BCD，
∴∠AOD=∠BOD，
∴AD=BD，
在 Rt△ABD 中，AD2+BD2=AB2,
∴BD2+BD2=102，
∴BD=52．
【解析】连接 OD，
∵CD 平分 ∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD=45∘，
∵∠BOD=2∠BCD，
∴∠BOD=90∘，
∴BD2=OD2+OB2,
∴BD=52．
25. （1） A5,0．
由抛物线经过原点 O，可设抛物线的解析式为 y=ax2+bc，得 25a+5b=0,9a−3b=−4, 解得 a=−16,b=56,
所以抛物线的解析式为 y=−16x2+56x．
（2） 如图 1，
由（1）得抛物线的对称轴是直线 x=52，点 O，A 关于直线 x=52 对称．连接 AB 交直线 x=52 于点 C，则点 C 使 BC+OC 的值最小，
设直线 AB 的解析式为 y=kx+b，得 5k+b=0,−3k+b=−4, 解得 k=12,b=−52,
所以直线 AB 的解析式为 y=12x−52，
把 x=52 代入 y=12x−52，得 y=−54，
所以点 C 的坐标为 52,−54．
（3） 如图 2，过 P 作 y 轴的平分线交 AB 于点 D，
设点 P 的横坐标为 x，得
Px,−16x2+56x，Dx,12x−52，
所以
S△PAB=S△PBD+S△PAD=12PD⋅xA−xB=12yP−yDxA−xB=12−16x2+56x−12x−52×5−−3=−23x2+43x+10=−23x−12+323,
所以当 x=1 时，S△PAB 有最大值为 323，
把 x=1 代入 y=−16x2+56x，得 y=23，
所以此时点 P 的坐标为 1,23，△PAB 的最大面积为 323．