初中数学湘教版八年级上册2.2 命题与证明教案设计

这是一份初中数学湘教版八年级上册2.2 命题与证明教案设计，共9页。教案主要包含了课时安排，第一课时，教学目标，教学重难点，教学过程，作业布置，第二课时，第三课时等内容，欢迎下载使用。

【课时安排】
4课时
【第一课时】
【教学目标】
1．知识与技能：
了解命题、定义的含义；对命题的概念有正确的理解。会区分命题的条件和结论。
2．情感、态度与价值观：
初步感受公理化方法对数学发展和人类文明的价值。
【教学重难点】
1．重点：找出命题的条件（题设）和结论。
2．难点：命题概念的理解。
【教学过程】
（一）复习引入。
教师：我们前面学习了许多有关三角形的概念，如：
不在同一直线上的三条线段首尾相接所构成的图形叫三角形。
三角形的一边与另一边的延长线所组成的角叫三角形的外角。
像这样，对一个概念的含义加以描述说明或做出明确规定的语句叫做这个概念的定义。
注意：
定义必须能清楚地规定出概念最本质的特征。
教师：我们已经学过一些图形的特性，如“三角形的内角和等于180度”，“等腰三角形两底角相等”等。根据我们已学过的图形特性，试判断下列句子是否正确。
1．如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；
2．两直线平行，同位角相等；
3．同旁内角相等，两直线平行；
4．平行四边形的对角线相等；
5．直角都相等。
（二）探究新知。
1．命题。
学生回答后，教师给出答案：根据已有的知识可以判断出句子1、2、5是正确的，句子3、4是错误的。像这样可以判断出它是正确的还是错误的句子叫做命题。
教师：在数学中，许多命题是由题设（或已知条件）、结论两部分组成的。题设是已知事项；结论是由已知事项推出的事项，这样的命题常可写成“如果……，那么……”的形式。用“如果”开始的部分就是题设，而用“那么”开始的部分就是结论。例如，在命题1中，“两个角是对顶角”是题设，“这两个角相等”就是结论。
有的命题的题设与结论不十分明显，可以将它写成“如果……，那么……”的形式，就可以分清它的题设和结论了。例如，命题5可写成“如果两个角是直角，那么这两个角相等。”
2．实例讲解。
（1）教师提出问题1（例1）：把命题“三个角都相等的三角形是等边三角形”改写成“如果……，那么……”的形式，并分别指出命题的题设和结论。
学生回答后，教师总结：这个命题可以写成“如果一个三角形的三个角都相等，那么这个三角形是等边三角形”。这个命题的题设是“一个三角形的三个角都相等”，结论是“这个三角形是等边三角形”。
（2）教师提出问题2：把下列命题写成“如果……，那么……”的形式，并说出它们的条件和结论。
A．对顶角相等；
B．如果a＞b，b＞c，那么a=c；
C．菱形的四条边都相等；
D．全等三角形的面积相等。
学生小组交流后回答，学生回答后，教师给出答案。
①条件：如果两个角是对顶角；结论：那么这两个角相等。
②条件：如果a＞b，b＞c；结论：那么a=c。
③条件：如果一个四边形是菱形；结论：那么这个四边形的四条边相等。
④条件：如果两个三角形全等；结论：那么它们的面积相等。
对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，我们把这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫原命题，另一个命题叫逆命题。
说出上题的逆命题，并讨论。
（三）随堂练习。
练习1、2、3。
（四）总结。
1．什么叫定义、命题？什么叫互逆命题？
2．命题都可以写成“如果……，那么……”的形式。
【作业布置】
习题2.2：A组1、2。
【第二课时】
【教学目标】
1．知识与技能：
了解真命题和假命题；知道判断一个命题是真假命题的方法；
了解公理、定理的含义。
2．过程与方法：
结合实例让学生意识到证明的必要性，培养学生说理有据，有条理地表达自己想法的良好意识。
3．情感、态度与价值观：
初步感受公理化方法对数学发展和人类文明的价值。
【教学重难点】
了解真命题和假命题；知道判断一个命题是真假命题的方法。
【教学过程】
（一）复习引入。
什么叫命题？命题由哪两部分构成？
什么叫互逆命题？
（二）探究新知。
1．命题、真命题与假命题。
学生回答后，教师给出答案：根据已有的知识可以判断出句子正确的，还是错误的。像这样可以判断出它是正确的还是错误的句子叫做命题。正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题。
2．真假命题的证明。
教师讲解：要判断一个命题是真命题，可以用逻辑推理的方法加以论证；而要判断一个命题是假命题，只要举出一个例子，说明该命题不成立，即只要举出一个符合该命题的题设而不符合该命题结论的例子就可以了，在数学中，这种方法称为“举反例”。
例如，要证明命题“一个锐角与一个钝角的和等于一个平角”是假命题，只要举出一个反例：60度角是锐角，100度角是钝角，但它们的和不是180度即可。
3．公理。
教师讲解：数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理。
我们已经知道下列命题是真命题：
一条直线和两条平行直线所得的同位角相等；
两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；
……
在本书中我们将这些真命题均作为公理。
4．定理。
教师引导学生通过举反例来说明下面两题中归纳出的结论是错误的。从而说明证明的重要性。
（1）教师讲解：请大家看下面的例子：
当n=1时，（n2-5n+5)2=1；
当n=2时，（n2-5n+5)2=1；
当n=3时，（n2-5n+5)2=1．
我们能不能就此下这样的结论：对于任意的正整数（n2-5n+5)2的值都是1呢？
实际上我们的猜测是错误的，因为当n=5时，（n2-5n+5)2=25。
（2）教师再提出一个问题让学生回答：如果a=b，那么a2=b2由此我们猜想：当a＞b时，a2＞b2这个命题是真命题吗？
（答案：不正确，因为3＞-5，但32＜(-5)2。）
教师总结：
在前面的学习过程中，我们用观察、验证、归纳、类比等方法，发现了很多几何图形的性质。但由前面两题我们又知道，这些方法得到的结论有时不具有一般性。也就是说，由这些方法得到的命题可能是真命题，也可能是假命题。
教师讲解：
数学中有些命题可以从公理出发用逻辑推理的方法证明它们是正确的，并且可以进一步作为推断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理。
我们把经过证明为真的命题叫做定理。
如“三角形的内角和等于180度”称为“三角形内角和定理”。
定理也可以用来判断其他命题的真假。
5．例题与证明。
例如，有了“三角形的内角和等于180°”这条定理后，我们还可以证明刻画直角三角形的两个锐角之间的数量关系的命题：直角三角形的两个锐角互余。教师板书证明过程。
教师讲解：此命题可以用来作为判断其他命题真假的依据，因此我们把它也作为定理。
定理的作用不仅在于它揭示了客观事物的本质属性，而且可以作为进一步确认其他命题真假的依据。
（三）练习。
练习1、2、3。
（四）总结。
1．什么叫命题？什么叫真命题？什么叫假命题？
2．判断一个命题是真、假命题的方法。
3．在长期实践中总结出来为真命题的命题叫做公理。
4．用逻辑推理的方法证明它们是正确的命题叫做定理。
【作业布置】
习题2.2：A组3。
【第三课时】
【教学目标】
1．了解证明的含义。
2．体验、理解证明的必要性。
3．了解证明的表达格式，会按规定格式证明简单命题。
【教学重难点】
（1）重点：本节教学的重点是证明的含义和表述格式。
（2）难点：本节教学的难点是按规定格式表述证明的过程。
【教学过程】
（一）新课引入。
教师借助多媒体设备向学生演示图：比较线段a和线段b的长度。
通过简单的观察，并尝试用数学的方法加以验证，体会验证的必要性和重要性。
（二）新课教学。
1．合作学习。
采用剪拼或度量的方法，猜测“三角形的外角和”等于多少度。
从剪拼或度量可以猜测三角形的三个外角之和等于360°，但是剪拼时难以真正拼成一个周角，只是接近周角；分别度量这三个角后再相加，结果可能接近360°，但不能很准确地得到360°。
另外，由于不同形状的三角形有无数个，我们也不可能用剪拼或度量的方法来一一验证，因此，我们只能猜测任何一个三角形的外角和为360°。此时猜测出的命题仅仅是一种猜想， 未必都是真命题。要确定这个命题是真命题，还需要通过推理的方法加以证明。
2．证明的引入。
证明命题“三角形的外角和为360°”是真命题。
分析：根据需要画出图形，用几何语言描述题中的已知条件和要说明的结论。
教师对具体的说理过程予以详细的板书。
小结归纳得出证明的含义，让学生体会证明的初步格式。
例如：证明命题“如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，且方向相同，那么这两个角相等”是真命题。
分析：根据需要画出图形，用几何语言描述题中的已知条件、以及要证明的结论（求证）。
证明过程的具体表述（略）。
小结：证明几何命题的表述格式。
（1）按题意画出图形；
（2）分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论；
（3）在“证明”中写出推理过程。
3．练习：课本练习2。
（三）例题教学。
例1．已知：在△ABC中，∠B=∠C，点D在线段BA的延长线上，射线AE平分∠DAC。
求证：AE∥BC。（步骤参考课本。）
例2．已知：如图，AC与BD相交于点O，AO=CO，BO=DO。
求证：AB∥CD（证明略。）
（四）练习巩固。
练习1、3。
（五）小结。
1．证明的含义。
2．真命题证明的步骤和格式。
3．思考、探索：假命题的判断如何说理、证明？
【作业布置】
习题2.2：A组6、7。
【第四课时】
【教学目标】
1．使学生初步掌握反证法的概念及反证法证题的基本方法。
2．培养学生用反证法简单推理的技能，从而发展学生的思维能力。
【教学重点】
反证法证题的步骤。
【教学难点】
理解反证法的推理依据及方法。
【教学方法】
讲练结合教学。
【教学过程】
（一）提问。
1．通过预习我们知道反证法，什么叫做反证法？
从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。
2．本节将进一步研究反证法证题的方法，反证法证题的步骤是什么？
共分三步：
（1）假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；
（2）从假设出发，经过推理，得出矛盾；
（3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。
反证法是一种间接证明命题的基本方法。在证明一个数学命题时，如果运用直接证明法比较困难或难以证明时，可运用反证法进行证明。
（二）探究。
例1．已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的内角。
求证：∠A，∠B，∠C中至少有一个角大于或等于60°。
课本上这种证明方法与前面的证明方法不同，它是首先假设结论的反面成立，然后经过正确的；逻辑推理得出与已知、定理、公理矛盾的结论，从而得到原结论。
（三）应用新知。
例2．在△ABC中，AB≠AC，求证：∠B≠∠C。
证明：假设，∠B＝∠C，则AB＝AC这与已知AB≠AC矛盾。假设不成立。
∴∠B≠∠C。
小结：反证法的步骤：
假设结论的反面不成立→逻辑推理得出矛盾→肯定原结论正确。
例3．已知：如图有a、b、c三条直线，且a//c，b//c。求证：a//b。
证明：假设a与b不平行，则可设它们相交于点A．那么过点A就有两条直线a、b与直线c平行，这与“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”矛盾，假设不成立。∴a//b。
小结：根据假设推出结论除了可以与已知条件矛盾以外，还可以与我们学过的定理、公理矛盾。
（四）练习。
1．求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°。
已知：△ABC，求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°。
证明：假设△ABC中没有一个内角小于或等于60°。
则∠A>60°，∠B>60°，∠C>60°∴∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180°。
即∠A+∠B+∠C>180°，这与三角形的内角和为180度矛盾。假设不成立。
∴△ABC中至少有一个内角小于或等于60°。
2．试证明：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行。（学生完成，教师引导。）
已知： ；
求证： ；
证明：假设 ，则可设它们相交于点A。那么过点A就有 条直线与直线c平行，这与“过直线外一点 ”。矛盾，则假设不成立。
∴ 。
（五）课时小结。
本节重点研究了反证法证题的一般步骤及反证法证明命题的应用。对于反证法的熟练掌握还需在今后随着学习的深入，逐步加强和提高。
【作业布置】
习题2.2：B组9。