2019-2020学年杭州市余杭区八下期末数学试卷

这是一份2019-2020学年杭州市余杭区八下期末数学试卷，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 4=
A. 1B. 2C. 3D. 4

2. 下列函数中不是反比例函数的是
A. y=2xπB. y=1xC. y=4x−1D. y=−35x

3. 学校食堂午餐供应 6 元、 8 元和 10 元三种价格的盒饭．如图是食堂某月销售三种午餐盒饭数量的统计图，则该月食堂销售午餐盒饭的平均价格为
A. 7.9 元B. 8 元C. 8.9 元D. 9.2 元

4. 如果一个多边形的内角和等于外角和的 3 倍，那么这个多边形的边数为
A. 6B. 7C. 8D. 9

5. 如图，已知菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，E，F 分别是 AD，CD 边上的中点，连接 EF．若 EF=22，BD=4，则菱形 ABCD 的面积为
A. 22B. 42C. 82D. 162

6. 在一幅长 90 cm，宽 40 cm 的风景画的四周的外边镶宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图，使风景画的面积是整个挂图面积的 58%，设金色纸边的宽度为 x cm，则可列方程为
A. 90+x40+x×58%=90×40
B. 90+x40+2x×58%=90×40
C. 90+2x40+x×58%=90×40
D. 90+2x40+2x×58%=90×40

7. 已知一次函数 y=−x+4 与反比例函数 y=kx 在同一平面直角坐标系中的图象有两个公共点，则 k 的取值范围为
A. k<4B. k≤4
C. k≤4 且 k≠0D. k<4 且 k≠0

8. 小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：① AB=BC；② ∠ABC=90∘；③ AC=BD；④ AC⊥BD 中选两个作为补充条件，使平行四边形 ABCD 为正方形（如图），现有下列四种选法，你认为其中错误的是
A. ①②B. ②③C. ①③D. ②④

9. 如图，反比例函数 y=kxx>0 的图象上有四个点 P1，P2，P3，P4．它们的横坐标分别为 1，2，3，4．分别向 x 轴，y 轴作垂线，图中所构成的阴影部分面积为 S1，S2，S3，则 S1+S3−S2 的值为
A. 512kB. 12kC. 712kD. 23k

10. 如图，矩形纸片 ABCD 中，AB=6，AD=10，折叠纸片，使点 A 落在 BC 边上的点 A1 处，折痕为 PQ，当点 A1 在 BC 边上移动时，折痕的端点 P，Q 分别在 AB，AD 边上移动，则点 A1 在 BC 边上可移动的最大距离为
A. 3B. 4C. 5D. 6

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 二次根式 4−x 中字母 x 的取值范围是 ．

12. 甲、乙两人进行射击比赛，在相同条件下射击 20 次，已知他们的平均环数相同，方差分别是 s甲2=1.6，s乙2=2.1，那么甲、乙两人中成绩较为稳定的是 （填“甲”或“乙”）．

13. 用反证法证明命题：四边形中至少有一个角是钝角或直角．
则应假设： ．

14. 已知直角三角形的两条边长恰好是方程 x2−7x+10=0 的两个根，则此直角三角形的斜边长是 ．

15. 如图，已知 Rt△ABC，∠ACB=90∘，以 AB 为斜边向外作等腰直角三角形 ABO，连接 OC，已知 AC=4，OC=62，则另一直角边 BC 的长为 ．

16. 如图，分别过反比例函数 y=3xx>0 图象上的点 P11,y1，P22,y2，⋯，Pnn,yn 作 x 轴的垂线，垂足分别为 A1，A2，⋯，An，连接 A1P2，A2P3，⋯，An−1Pn，再以 A1P1，A1P2 为一组邻边作平行四边形 A1P1B1P2，以 A2P2，A2P3 为邻边作平行四边形 A2P2B2P3，以此类推，则 B1 的纵坐标为 ，Bn 的纵坐标为 （用含 n 的代数式表示）．

三、解答题（共7小题；共91分）
17. 计算．
（1）6+8×12；
（2）已知 a=3+2，b=3−2，求 a2+ab+b2 的值．

18. 解方程．
（1）2x−12=x+32；
（2）34x2−2x−34=0．

19. 为了了解某校学生的身高情况，随机抽取该校男生、女生进行抽样调查，已知抽取的样本中，男生、女生的人数相同，利用所得数据绘制如下统计图表．根据图表提供的信息，回答下列问题．
身高情况分组表（单位：cm）
组别身高Ax<160B160≤x<165C165≤x<170D170≤x<175Ex≥175
（1）样本中，男生的身高众数在 组，中位数在 组；
（2）样本中，女生身高在E组的人数有 人；
（3）已知该校共有男生 600 人，女生 480 人，请估计身高在 165≤x<175 之间的学生约有多少人?

20. 已知一次函数与反比例函数的图象交于 P−3,M，Q2,−3 两点．
（1）求这两个函数的关系式；
（2）在给定的直角坐标系（如图）中，画出这两个函数的大致图象；
（3）结合图象，直接写出当 x 为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值?

21. 已知关于 x 的一元二次方程 x2−2k−4x+k2−4k=0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若 △ABC 的两边 AB，AC 的长是这个方程的两个实数根，第三边 BC 的长为 6，当 △ABC 是等腰三角形时，求 k 的值．

22. 在四边形 ABCD 中，AB，BC，CD，DA 的中点分别为 P，Q，M，N．
（1）如图 1，试判断四边形 PQMN 是什么特殊四边形，并证明你的结论；
（2）若在 AB 边上存在一点 E，连接 DE，CE，恰好 △ADE 和 △BCE 都是等边三角形（图 2）：
①判断此时四边形 PQMN 的形状，并证明你的结论；
②当 AE=5，BE=4 时，求此时四边形 PQMN 的周长（结果保留根号）．

23. 在正方形 ABCD 中，AB=2．
（1）如图 1，点 P 是对角线 AC 上任一点，若 M 是 AB 中点，求 PM+PB 的最小值；
（2）如图 2，点 P 是对角线 AC 上任一点，若 M，N 分别是边 AB，BC 上的点，且 AM=12AB，CN=13BC，求 PM+PN 的最小值；
（3）如图 3，若 M1，M2 是 AB 边三等分点，P1，P2 是对角线 AC 上任意两点，求 P1B+P1M12+P2M1+P2M22 的最小值．
答案
第一部分
1. B
2. A
3. C【解析】6×15%+8×25%+10×60%=8.9（元）．
4. C【解析】设多边形的边数为 n，依题意，得 n−2⋅180∘=3×360∘，解得 n=8．
5. C
【解析】∵E，F 分别是 AD，CD 边上的中点，即 EF 是 △ACD 的中位线，
∴AC=2EF=42，则 S菱形ABCD=12AC⋅BD=12×42×4=82．
6. D
7. D【解析】−x+4=kx，整理得 x2−4x+k=0，Δ=−42−4k>0，k<4 且 k≠0．
8. B【解析】选项A，
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，当① AB=BC 时．平行四边形 ABCD 是菱形，当② ∠ABC=90∘ 时，菱形 ABCD 是正方形，故此选项错误；
选项B，
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ 当② ∠ABC=90∘ 时，平行四边形 ABCD 是矩形，当 AC=BD 时，这是矩形的性质，无法得出四边形 ABCD 是正方形．故此选项正确；
选项C，
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，当① AB=BC 时，平行四边形 ABCD 是菱形，当③ AC=BD 时，菱形 ABCD 是正方形，故此选项错误；
选项D，
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ 当② ∠ABC=90∘ 时，平行四边形 ABCD 是矩形，当④ AC⊥BD 时，矩形 ABCD 是正方形，故此选项错误．
9. A【解析】S1=k−k2，S2=k2−k3，S3=k3−k4，S1+S3−S2=k−k2+k3−k4−k2−k3=5k12．
10. B
【解析】①当 P 与 B 重合时，BA1=BA=6，CA1=BC−BA1=10−6=4；
②当 Q 与 D 重合时，由勾股定理，得 CA1=A1D2−CD2=8，
CA1 最远是 8，CA1 最近是 4，点 A1 在 BC 边上可移动的最大距离为 8−4=4．
第二部分
11. x≤4
【解析】4−x≥0，x≤4．
12. 甲
【解析】∵1.6<2.1，
∴s甲2 ∴ 甲、乙两人中成绩较为稳定的是甲．
13. 四边形中没有钝角和直角（或四边形中每个内角都是锐角）
14. 5 或 29
【解析】∵x2−7x+10=x−2x−5=0，解得：x1=2，x2=5．
当方程的一根为斜边长时，此直角三角形的斜边长为 5；
当方程的两根为直角边长时，此直角三角形的斜边长为 22+52=29．
15. 8
【解析】如图，延长 CA，过点 O 作 OM⊥AC 于点 M，作 ON⊥BC 于点 N．
∵∠M=∠MCN=∠CNO=90∘，
∴∠MON=90∘，
∴∠1+∠AON=∠2+∠AON=90∘，
∴∠1=∠2．
又 ∵∠M=∠ONB=90∘，AO=BO，
∴△MOA≌△NOBAAS，
∴AM=BN，MO=NO，
∴ 四边形 MONC 为正方形．
已知 OC=62，
∴MO=MC=6，AM=6−4=2，
∴BC=CN+NB=MC+AM=8．
16. 92，6n+3nn+1
【解析】∵ 点 P11,y1，P22,y2 在反比例函数 y=3x 的图象上，
∴y1=3，y2=32，
∴P1A1=y1=3，
又 ∵ 四边形 A1P1B1P2 是平行四边形，
∴P1A1=B1P2=3，P1A1∥B1P2，
∴ 点 B1 的纵坐标是：y2+y1=32+3=92；
同理求得，点 B2 的纵坐标是：y3+y2=1+32=52；
点 B3 的纵坐标是：y4+y3=34+1=74；
⋯
∴ 点 Bn 的纵坐标是：yn+1+yn=3n+1+3n=6n+3nn+1．
第三部分
17. （1） 原式=6+46=56.
（2） 原式=a+b2−ab=232−3−2=11.
18. （1） 原方程可化为
2x1−1=x1+3或2x2−1=−x2+3.x1=4,x2=−23.
（2） 原方程可化为
3x2−8x−3=0.3x+1x−3=0.x1=3,x2=−13.
19. （1） B；C
【解析】∵ 直方图中，B组的人数为 12，最多，
∴ 男生的身高的众数在B组；
男生总人数为：4+12+10+8+6=40（人），
按照从低到高的顺序，第 20，21 两人都在C组，
∴ 男生的身高的中位数在C组．
（2） 2
【解析】女生身高在E组的百分比为：1−17.5%−37.5%−25%−15%=5%，
∵ 抽取的样本中，男生、女生的人数相同，
∴ 样本中，女生身高在E组的人数有：40×5%=2（人）．
（3） 600×10+840+480×25%+15%=270+192=462（人）．
答：该校身高在 165≤x<175 之间的学生约有 462 人．
20. （1） 设反比例函数解析式为 y=kxk≠0，
把 Q2,−3 代入得 k=2×−3=−6，
∴ 反比例函数解析式为 y=−6x；
把 P−3,m 代入 y=−6x 得 −3m=−6，解得 m=2，
∴P 点坐标为 −3,2，
设一次函数解析式为 y=ax+ba≠0，
把 P−3,2 和 Q2,−3 代入 y=ax+b 得 −3a+b=2,2a+b=−3, 解得 a=−1,b=−1,
∴ 一次函数的解析式为 y=−x−1．
（2） 如图．
（3） 当 x<−3 或 021. （1） Δ=−2k−42−4×k2−4k=16>0，
所以方程有两个不相等的实数根．
（2） 由（1）得方程的根不相等，
所以 BC 是腰，则 x1=6 代入得 36−12k+24+k2−4k=0，k2−16k+60=0，k1=6，k2=10．
当 k=6 时，原方程为 x2−8x+12=0，x1=6，x2=2；
当 k=10 时，原方程为 x2−16x+60=0，x1=6，x2=10，
所以 k=6或10．
22. （1） 四边形 PQMN 是平行四边形．连接 AC，BD．
∵M，N，P，Q 分别是 CD，DA，AB，BC 的中点，
∴MN 是 △ACD 的中位线，PQ 是 △ACB 的中位线，
∴MN∥AC∥PQ，MN=12AC=PQ，
∴ 四边形 PQMN 是平行四边形．
（2） ①连接 AC，BD．
∵∠AEC=180∘−60∘=120∘，∠DEB=180∘−60∘=120∘，
∴∠AEC=∠DEB．
又 ∵AE=DE，CE=BE，
∴△AEC≌△DEBSAS，
∴AC=BD，
∴MN=12AC=12BD=NP，
∴ 平行四边形 PQMN 是菱形．
② C平行四边形PQMN=2AC，作 CT⊥BE 于点 T．△BEC 为等边三角形，
∴CT=32EC=23，ET=12EC=2，AC2=CT2+AT2=232+2+52=61，
∴AC=61，C平行四边形PQMN=261．
23. （1） 如图 1 中，连接 PD，DM．
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴AB=CB=CD=AD=2，∠BAD=90∘，
在 Rt△ADM 中，DM=AD2+AM2=12+22=5，
∵B，D 关于 AC 对称，
∴PB=PD，
∴PB+PM=PD+PM，
在 △PDM 中，易知 PD+PM>DM，
∴PM+PB>5，
当 P，D，M 共线时，PB+PM=PB+PM=DM=5，
∴PM+PB 的最小值为 5．
（2） 如图 2 中，取 AD 的中点 F，连接 PF，FN，作 NH⊥AD 交 AD 于点 H．
易知四边形 NHDC 是矩形，
∵CN=DH=23，DF=1，
∴FH=DF−DH=1−23=13，
在 Rt△FNH 中，FN=NH2+FH2=373，
∵AM=BM，AF=FD，
∴M，F 关于 AC 对称，
∴PM=PF，
∴PM+PN=PF+PN，
当 P，F，N 共线时，PM+PN=PF+PN=FN，
在 △PFN 中，PF+PN>FN，
∴PM+PN≥373，
∴PM+PN 的最小值为 373．
（3） 如图 3 中，在 AD 上取一点 N，使得 AN=AM2，连接 NM1，NP2，DM1，DP1．
在 Rt△ANM1 中，NM1=AN2+AM12=253，
在 Rt△ADM1 中，DM1=AD2+AM12=2133，
∵N，M2 关于 AC 对称，
∴P2N=P2M2，
∴P2M2+P2M1=P2N+P2M1≥NM1，
∴P2M2+P2M1 的最小值为 253，
同理，P1B+P1M1=P1D+P1M1≥DM1，
∴P1B+P1M1 的最小值为 2133，
∴P1B+P1M12+P2M1+P2M22 的最小值 =209+529=8．