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2019-2020学年杭州市拱墅区文澜中学八上期末数学试卷
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这是一份2019-2020学年杭州市拱墅区文澜中学八上期末数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共10小题；共50分）
1. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 P−3,5 关于 y 轴的对称点的坐标为 ．
A. −3,−5B. 3,5C. 3,−5D. 5,−3
2. 下列判断正确的是
A. 若 ∣−a∣<∣−b∣，则 a>b
B. 若 a<0，则 2aC. 若 a≠b，则 a2 一定不等于 b2
D. 若 a>0，且 1−ba<0，则 b<1
3. 已知 m=1+2，n=1−2，则代数式 m2+n2−3mn 的值为
A. 9B. ±3C. 3D. 5
4. 可以用来说明命题“若 a>0.5，则 a>0.5”是假命题的反例
A. 可以是 a=−1，也可以是 a=1
B. 可以是 a=1，不可以是 a=−1
C. 可以是 a=−1，不可以是 a=1
D. 既不可以是 a=−1，也不可以是 a=1
5. 不等式组 x−2x−3<4, ①a+2x3>x ② 无解，则 a 的取值范围是
A. a<2B. a≤2C. a>2D. a≥2
6. 一次函数 y=kx+b 的图象经过点 0,5 和点 B4,0，则在该图象和坐标轴围成的三角形内，横坐标和纵坐标都是正整数的点有
A. 6 个B. 7 个C. 8 个D. 9 个
7. 如图，在 △PAB 中，PA=PB，M，N，K 分别是 PA，PB，AB 上的点，且 AM=BK，BN=AK，若 ∠MKN=44∘，则 ∠P 的度数为
A. 44∘B. 66∘C. 88∘D. 92∘
8. 如图 1，在矩形 ABCD 中，动点 P 从点 B 出发，沿 BC，CD 运动至点 D 停止，设点 P 运动的路程为 x，△ABP 的面积为 y，y 关于 x 的函数图象如图 2 所示，则 △ABC 的面积是
A. 1B. 2C. 3D. 4
9. 如图，将正方形对折后展开（图④是连续两次对折后再展开），再按图示方法折叠，能够得到一个直角三角形（阴影部分），且它的一条直角边等于斜边的一半．这样的图形有
A. 4 个B. 3 个C. 2 个D. 1 个
10. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，∠B=30∘，CD 为斜边 AB 上的高线，折叠 △ABC 使得 AC 落在 AB 上，点 C 与点 F 重合，展开的折痕 AE 交 CD 于点 G，连接 FG，EF．下列结论：①图中有 6 对全等三角形；② BC=6DG；③若将 △EFG 沿 FG 所在的直线折叠，则点 E 必在直线 CD 上；④ AG=EF；⑤图中共有 5 个等腰直角三角形，其中正确的结论的个数是
A. 2 个B. 3 个C. 4 个D. 5 个
二、填空题（共8小题；共40分）
11. 若二次根式 13−2a 有意义，则字母 a 应满足的条件是 ．
12. 若将一次函数 y=−2x+1 的图象向 （上或下）平移 单位，使平移后的图象过点 0,−2．
13. 如图，已知函数 y=ax+b 和 y=kx 的图象交于点 P，根据图象可得，关于 x 的不等式 ax+b>kx 的解集是 ．
14. 等腰三角形一腰长为 5，一边上的高为 3，则底边长为 ．
15. 如图，△ABC 中，AB=BC，M，N 为 BC 边上的两点，并且 ∠BAM=∠CAN，MN=AN，则 ∠MAC= 度．
16. 关于 x 的方程 ax+m2+b=0 的解是 x1=−2，x2=1（a，m，b 为常数，a≠0），则 ax+m+62+b=0 的解是 ．
17. 如图，矩形纸片 ABCD 中，AB=3，AD=5，折叠纸片，使点 A 落在 BC 边上的 E 处，折痕为 PQ，当点 E 在 BC 边上移动时，折痕的端点 P，Q 也随之移动．若限定点 P，Q 分别在 AB，AD 边上移动，则点 E 在 BC 边上可移动的最大距离为 ．
18. 甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离 y（千米）与甲车行驶的时间 t（小时）之间的函数关系如图所示．① A，B两城相距 300 千米；② 乙车比甲车晚出发 1 小时，却早到 1 小时；③ 乙车出发后 2.5 小时追上甲车；④ 当甲、乙两车相距 50 千米时，t=54或154．以上结论正确的是 ．
三、解答题（共6小题；共78分）
19. （1）计算：36−216−24+223；
（2）解一元一次不等式组：4x+7>2x+3,21−x−43x≥7−3x2, 并把解集在数轴上表示出来．
20. 已知关于 x 的方程 k−1x2+4x+1=0．
（1）当 k=−2 时，求方程的解；
（2）若方程有实数根，求 k 的取值范围．
21. 已知：如图，△ABC 是等腰三角形，AB=AC，且 ∠ABO=∠ACO．求证：
（1）∠1=∠2；
（2）OA⊥BC．
22. 如图 △ABC 与 △ADE 都是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形，DE 交 AC 于点 F．
（1）请说明 BD 与 CE 的关系；
（2）若 AB=10，AD=62，当 △CEF 是直角三角形时，求 BD 的长．
23. 某宾馆有 50 个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天 200 元时，房间会全部住满．当每个房间每天的房价每增加 20 元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每天支出 40 元的各种费用，根据规定，每个房间每天的房价不得高于 680 元．设每个房间每天的房价为 x 元（x 为 10 的正整数倍）．
（1）设一天订出的房间数为 y 个，求出 y 与 x 的函数关系式及自变量 x 的取值范围；
（2）请你用含 x 的代数式表示宾馆的利润；
（3）若宾馆的利润要达到 14820 元，且尽量降低宾馆的成本，一天应订出多少个房间?
24. 如图：在平面直角坐标系 xOy 中，已知正比例函数 y=43x 的图象与一次函数 y=−x+7 的图象交于点 A．
（1）求点 A 的坐标；
（2）在 x 轴上确定点 M，使得 △AOM 是等腰三角形，请直接写出点 M 的坐标；
（3）设 x 轴上一点 Pa,0，过点 P 作 x 轴的垂线，分别交 y=43x 的图象和 y=−x+7 的图象于点 B，C，连接 OC，若 BC=145OA，求 △ABC 的面积．
答案
第一部分
1. B
2. B【解析】A、若 ∣−a∣<∣−b∣，则当 a=5，b=6 时，aB、若 a<0，则 2aC、若 a≠b，则 a2 不一定不等于 b2，故此选项错误；
D、若 a>0，且 1−ba<0，则 1−b<0，则 b>1，故此选项错误．
3. C【解析】∵m2+n2=m+n2−2mn，
∴m2+n2−3mn=m+n2−2mn−3mn=m+n2−5mn．
由已知 m+n=2，mn=1+21−2=−1 .
∴原式=22+5=9=3 .
4. C【解析】当 a=1 时，命题“若 a>0.5，则 a>0.5”是真命题，
当 a=−1 时，命题“若 a>0.5，则 a>0.5”是假命题．
5. B
【解析】解不等式 ①，得 x>2；
解不等式 ②，得 x ∵ 不等式组无解，
∴a≤2．
6. A【解析】把点 0,5 和点 4,0 代入一次函数 y=kx+b，解得 k=−54,b=5,
∴y=kx+b=−54x+5，该直线与 x 轴的交点为 4,0，与 y 轴的交点为 0,5，
∴ 在该图象与坐标轴围成的三角形内，横坐标和纵坐标都是正整数的点是：1,1，1,2，1,3，2,1，2,2，3,1．
7. D【解析】∵PA=PB，
∴∠A=∠B，
在 △AMK和△BKN 中，
AM=BK,∠A=∠B,AK=BN,
∴△AMK≌△BKN，
∴∠AMK=∠BKN，
∵∠MKB=∠MKN+∠NKB=∠A+∠AMK，
∴∠A=∠MKN=44∘，
∴∠P=180∘−∠A−∠B=92∘，
8. A【解析】由题意可知，动点 P 从点 B 出发，沿 BC，CD 运动至点 D 停止，而当点 P 运动到点 C，D 之间时，△ABP 的面积不变，
∴ x=2 时，y 开始不变，说明 BC=2，当 2≤x≤3 时，y 不变，说明 CD=3−2=1，
∴ BC=2，CD=1，
∴ AB=1，
∴ △ABC 的面积是：12AB⋅BC=12×2×1=1．
9. C【解析】设正方形的边长为 a，由题意可知，
在图①中，
CE=ED<12a，BE>a>2CE，
故 ∠EBC≠30∘，∠CEB≠30∘，
故不能满足它的一条直角边等于斜边的一半．
在图②中，过点 C 作 CB⊥AF 于点 B，
则 BC=12a，AC=AE=a，
故 ∠BAC=30∘，
从而可得 ∠CAD=∠EAD=30∘，
故能满足它的一条直角边等于斜边的一半．
在图③中，
AC=12a，AB=a，
故 ∠ABC=∠DBC≠30∘，
故不能满足它的一条直角边等于斜边的一半．
在图④中，
AE=14a，AB=AD=12a，
故 ∠ABE=30∘，∠EAB=60∘，
从而可得 ∠BAC=∠DAC=60∘，∠ACB=30∘，
故能满足它的一条直角边等于斜边的 一半．
综上可得有 2 个图形满足条件．
10. C
【解析】① ∵∠ACB=90∘，∠B=30∘，
∴∠BAC=60∘，AC=12AB，
由折叠的定义得 △GEF≌△GEC，△ACE≌△AFE，∠EAC=∠EAF=∠B=30∘，AF=AC，CE=FE，∠AFE=∠ACE=90∘，
在 △AFE 和 △BFE 中，
∠AFE=∠BFE,∠EAF=∠B,EF=EF,
∴△AFE≌△BFE，
∴△ACE≌△AFE≌△BFE，
在 △AFG 和 △ACG 中，
AG=AG,∠GAF=∠GAC,AF=AC,
∴△AFG≌△ACG，
∴∠AFG=∠ACG=30∘，
∴∠DFG=∠DAG，
∴GA=GF，
∵∠ADG=∠FDG=90∘，
∴△ADG 和 △FDG 是直角三角形，
在 Rt△ADG 和 Rt△FDG 中，
GA=GF,DG=DG,
∴Rt△ADG≌Rt△FDG，
故①正确；
② ∵BC=2CD=2CG+2DG，CG=FG=2DG，
∴BC=6DG，
故②正确；
③ ∵∠AEC=∠ECG=60∘，
∴∠EGC=60∘，
∴∠FGE=60∘，
∴∠FGD=60∘，
∴∠FGE=∠FGD，
∴ 若将 △EFG 沿 FG 所在的直线折叠，则点 E 必在直线 CD 上，
故③正确；
④ ∵∠FEG=∠EFG=60∘，
∴EF=EG=FG，
∵AG=FG，
∴AG=EF，
故④正确；
⑤图中没有 5 个等腰直角三角形，故⑤错误．
第二部分
11. a<32
【解析】由题意可知：3−2a≠0,13−2a≥0, 解得：a<32．
12. 下，3 个
【解析】一次函数 y=−2x+1 的图象过点 0,1，平移后的图象过点 0,−2，可得：向下平移 3 个单位．
13. x<−4
【解析】∵ 当 x<−4 时一次函数 y=ax+b 在一次函数 y=kx 图象的上方，
∴ 关于 x 的不等式 ax+b>kx 的解集是 x<−4．
14. 8 或 10 或 310
【解析】
当等腰三角形为锐角三角形时，且 CD 为腰上的高时，在 Rt△ ACD 中，AC=5,CD=3，
AD=AC2−CD2 =4，
∴ BD=AB−AD=5−4=1
在 Rt△BDC中，CD=3,BD=1，BC=DC2+BD2=10
当等腰三角形为钝角三角形，且 CD 为腰上的高时，
在 Rt△ACD中，AC=5,CD=3，AD=AC2−CD2=4
∴ BD=AB+AD=5+4=9，
在 Rt△BDC中，CD=3,BD=9
BC=DC2+BD2=310
当 AD 为底边上的高时，如图所示：
∵ AB=AC,AD⊥BC，∴ BD=CD，
在 Rt△ABD 中，AD =3，AB =5
BD=AB2−AD2=4，∴ BC=2BD=8，
综上，等腰三角形的底边长为 8或10或310
故答案为：8或10或310
15. 60
【解析】设 ∠CAN=x，∠MAN=y，
∵AB=BC，∠BAM=∠CAN，
∴∠C=∠BAC=2x+y，
∴∠ANM=x+2x+y=3x+y，
∵MN=AN，
∴∠AMN=∠MAN，
在 △AMN 中，2y+3x+y=180∘，
解得 x+y=60∘，
即 ∠MAC=60∘．
16. x=−8 或 x=−5
【解析】∵ 方程 ax+m2+b=0 的解是 x1=−2，x2=1，
∴ 方程 ax+m+62+b=0 中 x+6=−2 或 x+6=1，
解得：x=−8 或 x=−5．
17. 2
【解析】如图 1，当点 D 与点 Q 重合时，
根据翻折对称性可得 ED=AD=5，
在 Rt△ECD 中，ED2=EC2+CD2，
即 52=5−EB2+32，解得 EB=1，
如图 2，当点 P 与点 B 重合时，
根据翻折对称性可得 EB=AB=3，
∵ 3−1=2，
∴ 点 E 在 BC 边上可移动的最大距离为 2．
18. ①②
【解析】由题意可知，A，B两城市之间的距离为 300 km，甲行驶的时间为 5 小时，而乙是在甲出发 1 小时后出发的，且用时 3 小时，即比甲早到 1 小时，
∴①② 都正确；
设甲车离开A城的距离 y 与 t 的关系式为 y甲=kt，
把点 5,300 代入可求得，k=60，
∴y甲=60t，
设乙车离开A城的距离 y 与 t 的关系式为 y乙=mt+n，
把点 1,0 和 4,300 代入可得 m+n=0,4m+n=300, 解得 m=100,n=−100,
∴y乙=100t−100，
令 y甲=y乙 可得：60t=100t−100，解得 t=2.5，
即甲、乙两直线的交点横坐标为 2.5，此时乙出发时间为 1.5 小时，即乙车出发 1.5 小时后追上甲车，
∴③ 不正确；
令 ∣y甲−y乙∣=50，可得 ∣60t−100t+100∣=50，即 ∣100−40t∣=50，
当 100−40t=50 时，可解得 t=54，
当 100−40t=−50 时，可解得 t=154，
又当 t=56 时，y甲=50，此时乙还没出发，
当 t=256 时，乙到达B城，y甲=250；
综上可知当 t 的值为 54 或 154 或 56 或 256 时，两车相距 50 千米，
∴④ 不正确；
综上，正确的有 ①②．
第三部分
19. （1） 36−216−24+223=36−63−26−263=0.
（2）
4x+7>2x+3, ⋯⋯①21−x−43x≥7−3x2, ⋯⋯②
解 ① 得：
x>−12.
解 ② 得：
x≤−911.
则不等式组无解，如图所示：
20. （1） 将 k=−2 代入方程 k−1x2+4x+1=0，得
−3x2+4x+1=0.
解得
x1=2+73,x2=2−73.
（2） 当 k−1=0，即 k=1 时，方程化为 4x+1=0，x=−14，
当 k−1≠0，即 k≠1，且 Δ≥0，即 42−4×k−1×1≥0 时，解得 k≤5，则 k≤5 且 k≠1，
综上所述：k 的取值范围是 k≤5．
21. （1） ∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠ABO=∠ACO，
∴∠1=∠2．
（2） ∵∠1=∠2，
∴OB=OC，
在 △ABO 和 △ACO 中，
AB=AC,∠ABO=∠ACO,OB=OC,
∴△ABO≌△ACO，
∴∠BAO=∠CAO，
∴AO 平分 ∠BAC，
∵△ABC 是等腰三角形，
∴OA⊥BC．
22. （1） BD=CE，且 BD⊥CE，理由是：
如图 1，延长 BD 与 EC 的延长线交于点 G，
∵△ABC 与 △ADE 都是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90∘，
∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，
即 ∠BAD=∠CAE，
在 △BAD 和 △CAE 中，
AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE,
∴△BAD≌△CAE，
∴BD=CE，∠ABD=∠ACE，
∴∠GBC+∠BCG=∠ABD−45∘+180∘−45∘−∠ACE=90∘，
∴∠G=90∘，
∴BG⊥EG，
即 BD⊥CE；
综上所述，BD=CE，且 BD⊥CE．
（2） 分两种情况：
①如图 2，
当 ∠CFE=90∘ 时，
∵∠BAC=90∘，
∴∠BAC=∠CFE=∠AFE，
∴AB∥DE，
∴∠BAD=∠ADE=45∘，
∴AD 平分 ∠BAC，
∴AD⊥BC，
∴△ABG 是等腰直角三角形，
∵AB=10，
∴AG=BG=52，
∴DG=AD−AG=62−52=2，
在 Rt△BDG 中，由勾股定理得：BD=BG2+DG2=522+22=213．
②如图 3，当 ∠FEC=90∘ 时，过点 A 作 AG⊥DE 于点 G，
∵△DAE 是等腰直角三角形，
∴∠ADE=∠AED=45∘，
∴∠AEC=∠ADB=45∘+90∘=135∘，
∴∠ADB+∠ADE=135∘+45∘=180∘，
∴B，D，E 共线，
∵△ADE 是等腰直角三角形，AD=62，
∴AG=DG=6，
设 BD=x，
由勾股定理得：AB2=BG2+AG2，
102=62+6+x2，
x1=−14（舍），x2=2，
∴BD=2，
综上所述，BD 的长为 213 或 2．
23. （1） 由题意得：y=50−x−20020，且 200≤x≤680，且 x 为 10 的正整数倍．
（2） 宾馆的利润为：x−4050−x−20020=−120x2+62x−2400 元．
（3） 由题意，得
−120x2+62x−2400=14820.
解得
x1=420,x2=820.∵
尽量降低宾馆的成本，
∴x=420.
此时
y=50−x−20020=39.
答：一天应订出 39 个房间．
24. （1） 联立得：y=43x,y=−x+7, 解得：x=3,y=4, 则点 A 的坐标为 3,4．
（2） 点 M 为 −5,0，256,0，5,0，6,0．
【解析】根据勾股定理得：OA=32+42=5，如图 1 所示，分四种情况考虑：
当 OM1=OA=5 时，M1−5,0；
当 OM2=M2A 时，M2 在 OA 的垂直平分线上，M2256,0；
当 OM3=OA=5 时，M35,0；
当 OA=AM4 时，M46,0，
综上，点 M 为 −5,0，256,0，5,0，6,0．
（3） 设点 Ba,43a，Ca,−a+7，
∵BC=145OA=145×5=14，
∴43a−−a+7=14，解得：a=9，
过点 A 作 AQ⊥BC，如图 2 所示，
∴S△ABC=12BC⋅AQ=12×14×9−3=42．
一、选择题（共10小题；共50分）
1. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 P−3,5 关于 y 轴的对称点的坐标为 ．
A. −3,−5B. 3,5C. 3,−5D. 5,−3
2. 下列判断正确的是
A. 若 ∣−a∣<∣−b∣，则 a>b
B. 若 a<0，则 2a
D. 若 a>0，且 1−ba<0，则 b<1
3. 已知 m=1+2，n=1−2，则代数式 m2+n2−3mn 的值为
A. 9B. ±3C. 3D. 5
4. 可以用来说明命题“若 a>0.5，则 a>0.5”是假命题的反例
A. 可以是 a=−1，也可以是 a=1
B. 可以是 a=1，不可以是 a=−1
C. 可以是 a=−1，不可以是 a=1
D. 既不可以是 a=−1，也不可以是 a=1
5. 不等式组 x−2x−3<4, ①a+2x3>x ② 无解，则 a 的取值范围是
A. a<2B. a≤2C. a>2D. a≥2
6. 一次函数 y=kx+b 的图象经过点 0,5 和点 B4,0，则在该图象和坐标轴围成的三角形内，横坐标和纵坐标都是正整数的点有
A. 6 个B. 7 个C. 8 个D. 9 个
7. 如图，在 △PAB 中，PA=PB，M，N，K 分别是 PA，PB，AB 上的点，且 AM=BK，BN=AK，若 ∠MKN=44∘，则 ∠P 的度数为
A. 44∘B. 66∘C. 88∘D. 92∘
8. 如图 1，在矩形 ABCD 中，动点 P 从点 B 出发，沿 BC，CD 运动至点 D 停止，设点 P 运动的路程为 x，△ABP 的面积为 y，y 关于 x 的函数图象如图 2 所示，则 △ABC 的面积是
A. 1B. 2C. 3D. 4
9. 如图，将正方形对折后展开（图④是连续两次对折后再展开），再按图示方法折叠，能够得到一个直角三角形（阴影部分），且它的一条直角边等于斜边的一半．这样的图形有
A. 4 个B. 3 个C. 2 个D. 1 个
10. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，∠B=30∘，CD 为斜边 AB 上的高线，折叠 △ABC 使得 AC 落在 AB 上，点 C 与点 F 重合，展开的折痕 AE 交 CD 于点 G，连接 FG，EF．下列结论：①图中有 6 对全等三角形；② BC=6DG；③若将 △EFG 沿 FG 所在的直线折叠，则点 E 必在直线 CD 上；④ AG=EF；⑤图中共有 5 个等腰直角三角形，其中正确的结论的个数是
A. 2 个B. 3 个C. 4 个D. 5 个
二、填空题（共8小题；共40分）
11. 若二次根式 13−2a 有意义，则字母 a 应满足的条件是 ．
12. 若将一次函数 y=−2x+1 的图象向 （上或下）平移 单位，使平移后的图象过点 0,−2．
13. 如图，已知函数 y=ax+b 和 y=kx 的图象交于点 P，根据图象可得，关于 x 的不等式 ax+b>kx 的解集是 ．
14. 等腰三角形一腰长为 5，一边上的高为 3，则底边长为 ．
15. 如图，△ABC 中，AB=BC，M，N 为 BC 边上的两点，并且 ∠BAM=∠CAN，MN=AN，则 ∠MAC= 度．
16. 关于 x 的方程 ax+m2+b=0 的解是 x1=−2，x2=1（a，m，b 为常数，a≠0），则 ax+m+62+b=0 的解是 ．
17. 如图，矩形纸片 ABCD 中，AB=3，AD=5，折叠纸片，使点 A 落在 BC 边上的 E 处，折痕为 PQ，当点 E 在 BC 边上移动时，折痕的端点 P，Q 也随之移动．若限定点 P，Q 分别在 AB，AD 边上移动，则点 E 在 BC 边上可移动的最大距离为 ．
18. 甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离 y（千米）与甲车行驶的时间 t（小时）之间的函数关系如图所示．① A，B两城相距 300 千米；② 乙车比甲车晚出发 1 小时，却早到 1 小时；③ 乙车出发后 2.5 小时追上甲车；④ 当甲、乙两车相距 50 千米时，t=54或154．以上结论正确的是 ．
三、解答题（共6小题；共78分）
19. （1）计算：36−216−24+223；
（2）解一元一次不等式组：4x+7>2x+3,21−x−43x≥7−3x2, 并把解集在数轴上表示出来．
20. 已知关于 x 的方程 k−1x2+4x+1=0．
（1）当 k=−2 时，求方程的解；
（2）若方程有实数根，求 k 的取值范围．
21. 已知：如图，△ABC 是等腰三角形，AB=AC，且 ∠ABO=∠ACO．求证：
（1）∠1=∠2；
（2）OA⊥BC．
22. 如图 △ABC 与 △ADE 都是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形，DE 交 AC 于点 F．
（1）请说明 BD 与 CE 的关系；
（2）若 AB=10，AD=62，当 △CEF 是直角三角形时，求 BD 的长．
23. 某宾馆有 50 个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天 200 元时，房间会全部住满．当每个房间每天的房价每增加 20 元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每天支出 40 元的各种费用，根据规定，每个房间每天的房价不得高于 680 元．设每个房间每天的房价为 x 元（x 为 10 的正整数倍）．
（1）设一天订出的房间数为 y 个，求出 y 与 x 的函数关系式及自变量 x 的取值范围；
（2）请你用含 x 的代数式表示宾馆的利润；
（3）若宾馆的利润要达到 14820 元，且尽量降低宾馆的成本，一天应订出多少个房间?
24. 如图：在平面直角坐标系 xOy 中，已知正比例函数 y=43x 的图象与一次函数 y=−x+7 的图象交于点 A．
（1）求点 A 的坐标；
（2）在 x 轴上确定点 M，使得 △AOM 是等腰三角形，请直接写出点 M 的坐标；
（3）设 x 轴上一点 Pa,0，过点 P 作 x 轴的垂线，分别交 y=43x 的图象和 y=−x+7 的图象于点 B，C，连接 OC，若 BC=145OA，求 △ABC 的面积．
答案
第一部分
1. B
2. B【解析】A、若 ∣−a∣<∣−b∣，则当 a=5，b=6 时，a
D、若 a>0，且 1−ba<0，则 1−b<0，则 b>1，故此选项错误．
3. C【解析】∵m2+n2=m+n2−2mn，
∴m2+n2−3mn=m+n2−2mn−3mn=m+n2−5mn．
由已知 m+n=2，mn=1+21−2=−1 .
∴原式=22+5=9=3 .
4. C【解析】当 a=1 时，命题“若 a>0.5，则 a>0.5”是真命题，
当 a=−1 时，命题“若 a>0.5，则 a>0.5”是假命题．
5. B
【解析】解不等式 ①，得 x>2；
解不等式 ②，得 x
∴a≤2．
6. A【解析】把点 0,5 和点 4,0 代入一次函数 y=kx+b，解得 k=−54,b=5,
∴y=kx+b=−54x+5，该直线与 x 轴的交点为 4,0，与 y 轴的交点为 0,5，
∴ 在该图象与坐标轴围成的三角形内，横坐标和纵坐标都是正整数的点是：1,1，1,2，1,3，2,1，2,2，3,1．
7. D【解析】∵PA=PB，
∴∠A=∠B，
在 △AMK和△BKN 中，
AM=BK,∠A=∠B,AK=BN,
∴△AMK≌△BKN，
∴∠AMK=∠BKN，
∵∠MKB=∠MKN+∠NKB=∠A+∠AMK，
∴∠A=∠MKN=44∘，
∴∠P=180∘−∠A−∠B=92∘，
8. A【解析】由题意可知，动点 P 从点 B 出发，沿 BC，CD 运动至点 D 停止，而当点 P 运动到点 C，D 之间时，△ABP 的面积不变，
∴ x=2 时，y 开始不变，说明 BC=2，当 2≤x≤3 时，y 不变，说明 CD=3−2=1，
∴ BC=2，CD=1，
∴ AB=1，
∴ △ABC 的面积是：12AB⋅BC=12×2×1=1．
9. C【解析】设正方形的边长为 a，由题意可知，
在图①中，
CE=ED<12a，BE>a>2CE，
故 ∠EBC≠30∘，∠CEB≠30∘，
故不能满足它的一条直角边等于斜边的一半．
在图②中，过点 C 作 CB⊥AF 于点 B，
则 BC=12a，AC=AE=a，
故 ∠BAC=30∘，
从而可得 ∠CAD=∠EAD=30∘，
故能满足它的一条直角边等于斜边的一半．
在图③中，
AC=12a，AB=a，
故 ∠ABC=∠DBC≠30∘，
故不能满足它的一条直角边等于斜边的一半．
在图④中，
AE=14a，AB=AD=12a，
故 ∠ABE=30∘，∠EAB=60∘，
从而可得 ∠BAC=∠DAC=60∘，∠ACB=30∘，
故能满足它的一条直角边等于斜边的 一半．
综上可得有 2 个图形满足条件．
10. C
【解析】① ∵∠ACB=90∘，∠B=30∘，
∴∠BAC=60∘，AC=12AB，
由折叠的定义得 △GEF≌△GEC，△ACE≌△AFE，∠EAC=∠EAF=∠B=30∘，AF=AC，CE=FE，∠AFE=∠ACE=90∘，
在 △AFE 和 △BFE 中，
∠AFE=∠BFE,∠EAF=∠B,EF=EF,
∴△AFE≌△BFE，
∴△ACE≌△AFE≌△BFE，
在 △AFG 和 △ACG 中，
AG=AG,∠GAF=∠GAC,AF=AC,
∴△AFG≌△ACG，
∴∠AFG=∠ACG=30∘，
∴∠DFG=∠DAG，
∴GA=GF，
∵∠ADG=∠FDG=90∘，
∴△ADG 和 △FDG 是直角三角形，
在 Rt△ADG 和 Rt△FDG 中，
GA=GF,DG=DG,
∴Rt△ADG≌Rt△FDG，
故①正确；
② ∵BC=2CD=2CG+2DG，CG=FG=2DG，
∴BC=6DG，
故②正确；
③ ∵∠AEC=∠ECG=60∘，
∴∠EGC=60∘，
∴∠FGE=60∘，
∴∠FGD=60∘，
∴∠FGE=∠FGD，
∴ 若将 △EFG 沿 FG 所在的直线折叠，则点 E 必在直线 CD 上，
故③正确；
④ ∵∠FEG=∠EFG=60∘，
∴EF=EG=FG，
∵AG=FG，
∴AG=EF，
故④正确；
⑤图中没有 5 个等腰直角三角形，故⑤错误．
第二部分
11. a<32
【解析】由题意可知：3−2a≠0,13−2a≥0, 解得：a<32．
12. 下，3 个
【解析】一次函数 y=−2x+1 的图象过点 0,1，平移后的图象过点 0,−2，可得：向下平移 3 个单位．
13. x<−4
【解析】∵ 当 x<−4 时一次函数 y=ax+b 在一次函数 y=kx 图象的上方，
∴ 关于 x 的不等式 ax+b>kx 的解集是 x<−4．
14. 8 或 10 或 310
【解析】
当等腰三角形为锐角三角形时，且 CD 为腰上的高时，在 Rt△ ACD 中，AC=5,CD=3，
AD=AC2−CD2 =4，
∴ BD=AB−AD=5−4=1
在 Rt△BDC中，CD=3,BD=1，BC=DC2+BD2=10
当等腰三角形为钝角三角形，且 CD 为腰上的高时，
在 Rt△ACD中，AC=5,CD=3，AD=AC2−CD2=4
∴ BD=AB+AD=5+4=9，
在 Rt△BDC中，CD=3,BD=9
BC=DC2+BD2=310
当 AD 为底边上的高时，如图所示：
∵ AB=AC,AD⊥BC，∴ BD=CD，
在 Rt△ABD 中，AD =3，AB =5
BD=AB2−AD2=4，∴ BC=2BD=8，
综上，等腰三角形的底边长为 8或10或310
故答案为：8或10或310
15. 60
【解析】设 ∠CAN=x，∠MAN=y，
∵AB=BC，∠BAM=∠CAN，
∴∠C=∠BAC=2x+y，
∴∠ANM=x+2x+y=3x+y，
∵MN=AN，
∴∠AMN=∠MAN，
在 △AMN 中，2y+3x+y=180∘，
解得 x+y=60∘，
即 ∠MAC=60∘．
16. x=−8 或 x=−5
【解析】∵ 方程 ax+m2+b=0 的解是 x1=−2，x2=1，
∴ 方程 ax+m+62+b=0 中 x+6=−2 或 x+6=1，
解得：x=−8 或 x=−5．
17. 2
【解析】如图 1，当点 D 与点 Q 重合时，
根据翻折对称性可得 ED=AD=5，
在 Rt△ECD 中，ED2=EC2+CD2，
即 52=5−EB2+32，解得 EB=1，
如图 2，当点 P 与点 B 重合时，
根据翻折对称性可得 EB=AB=3，
∵ 3−1=2，
∴ 点 E 在 BC 边上可移动的最大距离为 2．
18. ①②
【解析】由题意可知，A，B两城市之间的距离为 300 km，甲行驶的时间为 5 小时，而乙是在甲出发 1 小时后出发的，且用时 3 小时，即比甲早到 1 小时，
∴①② 都正确；
设甲车离开A城的距离 y 与 t 的关系式为 y甲=kt，
把点 5,300 代入可求得，k=60，
∴y甲=60t，
设乙车离开A城的距离 y 与 t 的关系式为 y乙=mt+n，
把点 1,0 和 4,300 代入可得 m+n=0,4m+n=300, 解得 m=100,n=−100,
∴y乙=100t−100，
令 y甲=y乙 可得：60t=100t−100，解得 t=2.5，
即甲、乙两直线的交点横坐标为 2.5，此时乙出发时间为 1.5 小时，即乙车出发 1.5 小时后追上甲车，
∴③ 不正确；
令 ∣y甲−y乙∣=50，可得 ∣60t−100t+100∣=50，即 ∣100−40t∣=50，
当 100−40t=50 时，可解得 t=54，
当 100−40t=−50 时，可解得 t=154，
又当 t=56 时，y甲=50，此时乙还没出发，
当 t=256 时，乙到达B城，y甲=250；
综上可知当 t 的值为 54 或 154 或 56 或 256 时，两车相距 50 千米，
∴④ 不正确；
综上，正确的有 ①②．
第三部分
19. （1） 36−216−24+223=36−63−26−263=0.
（2）
4x+7>2x+3, ⋯⋯①21−x−43x≥7−3x2, ⋯⋯②
解 ① 得：
x>−12.
解 ② 得：
x≤−911.
则不等式组无解，如图所示：
20. （1） 将 k=−2 代入方程 k−1x2+4x+1=0，得
−3x2+4x+1=0.
解得
x1=2+73,x2=2−73.
（2） 当 k−1=0，即 k=1 时，方程化为 4x+1=0，x=−14，
当 k−1≠0，即 k≠1，且 Δ≥0，即 42−4×k−1×1≥0 时，解得 k≤5，则 k≤5 且 k≠1，
综上所述：k 的取值范围是 k≤5．
21. （1） ∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠ABO=∠ACO，
∴∠1=∠2．
（2） ∵∠1=∠2，
∴OB=OC，
在 △ABO 和 △ACO 中，
AB=AC,∠ABO=∠ACO,OB=OC,
∴△ABO≌△ACO，
∴∠BAO=∠CAO，
∴AO 平分 ∠BAC，
∵△ABC 是等腰三角形，
∴OA⊥BC．
22. （1） BD=CE，且 BD⊥CE，理由是：
如图 1，延长 BD 与 EC 的延长线交于点 G，
∵△ABC 与 △ADE 都是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90∘，
∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，
即 ∠BAD=∠CAE，
在 △BAD 和 △CAE 中，
AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE,
∴△BAD≌△CAE，
∴BD=CE，∠ABD=∠ACE，
∴∠GBC+∠BCG=∠ABD−45∘+180∘−45∘−∠ACE=90∘，
∴∠G=90∘，
∴BG⊥EG，
即 BD⊥CE；
综上所述，BD=CE，且 BD⊥CE．
（2） 分两种情况：
①如图 2，
当 ∠CFE=90∘ 时，
∵∠BAC=90∘，
∴∠BAC=∠CFE=∠AFE，
∴AB∥DE，
∴∠BAD=∠ADE=45∘，
∴AD 平分 ∠BAC，
∴AD⊥BC，
∴△ABG 是等腰直角三角形，
∵AB=10，
∴AG=BG=52，
∴DG=AD−AG=62−52=2，
在 Rt△BDG 中，由勾股定理得：BD=BG2+DG2=522+22=213．
②如图 3，当 ∠FEC=90∘ 时，过点 A 作 AG⊥DE 于点 G，
∵△DAE 是等腰直角三角形，
∴∠ADE=∠AED=45∘，
∴∠AEC=∠ADB=45∘+90∘=135∘，
∴∠ADB+∠ADE=135∘+45∘=180∘，
∴B，D，E 共线，
∵△ADE 是等腰直角三角形，AD=62，
∴AG=DG=6，
设 BD=x，
由勾股定理得：AB2=BG2+AG2，
102=62+6+x2，
x1=−14（舍），x2=2，
∴BD=2，
综上所述，BD 的长为 213 或 2．
23. （1） 由题意得：y=50−x−20020，且 200≤x≤680，且 x 为 10 的正整数倍．
（2） 宾馆的利润为：x−4050−x−20020=−120x2+62x−2400 元．
（3） 由题意，得
−120x2+62x−2400=14820.
解得
x1=420,x2=820.∵
尽量降低宾馆的成本，
∴x=420.
此时
y=50−x−20020=39.
答：一天应订出 39 个房间．
24. （1） 联立得：y=43x,y=−x+7, 解得：x=3,y=4, 则点 A 的坐标为 3,4．
（2） 点 M 为 −5,0，256,0，5,0，6,0．
【解析】根据勾股定理得：OA=32+42=5，如图 1 所示，分四种情况考虑：
当 OM1=OA=5 时，M1−5,0；
当 OM2=M2A 时，M2 在 OA 的垂直平分线上，M2256,0；
当 OM3=OA=5 时，M35,0；
当 OA=AM4 时，M46,0，
综上，点 M 为 −5,0，256,0，5,0，6,0．
（3） 设点 Ba,43a，Ca,−a+7，
∵BC=145OA=145×5=14，
∴43a−−a+7=14，解得：a=9，
过点 A 作 AQ⊥BC，如图 2 所示，
∴S△ABC=12BC⋅AQ=12×14×9−3=42．
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