2019-2020学年天津市南开区九上期末数学试卷

这是一份2019-2020学年天津市南开区九上期末数学试卷，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 下列事件中是不可能事件的是
A. 降雨时水位上升B. 在南极点找到东西方向
C. 体育运动时消耗卡路里D. 体育运动中肌肉拉伤

2. 下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

3. 若关于 x 的一元二次方程 x2+2x+k=0 无实数根，则 k 值可以是
A. −5B. 0C. 1D. 3

4. 如图，在正方形网格上有两个相似三角形 △ABC 和 △DEF，则 ∠BAC 的度数为
A. 105∘B. 115∘C. 125∘D. 135∘

5. 如图，在 ⊙O 中，弦 AB 的长为 10，圆周角 ∠ACB=45∘，则这个圆的直径 AD 为
A. 52B. 102C. 152D. 202

6. 在平面直角坐标系中，反比例函数 y=a2−2a+2x 图象的两个分支分别在
A. 第一、二象限B. 第三、四象限C. 第一、三象限D. 第二、四象限

7. 点 −1,y1 、 −2,y2 、 3,y3 均在 y=−6x 的图象上，则 y1，y2，y3 的大小关系是
A. y1
8. 将抛物线 y=x−12+3 向左平移 1 个单位，得到的抛物线与 y 轴的交点坐标是
A. 0,2B. 0,3C. 0,4D. 0,7

9. 如图，AC 是 ⊙O 的直径，∠ACB=60∘，连接 AB，过 A，B 两点分别作 ⊙O 的切线，两切线交于点 P．若已知 ⊙O 半径为 1，则 △PAB 的周长为
A. 33B. 332C. 3D. 3

10. 如图，以点 O 为位似中心，将 △ABC 缩小后得到 △AʹBʹCʹ．已知 OB=3OBʹ，则 △AʹBʹCʹ 与 △ABC 的面积比为
A. 1:3B. 1:4C. 1:8D. 1:9

11. 如图，在平行四边形 ABCD 中，F 是 BC 上的一点，直线 DF 与 AB 的延长线相交于点 E，BP∥DF，且与 AD 相交于点 P，则图中相似三角形的组数为
A. 3B. 4C. 5D. 6

12. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴只有一个交点 M，与平行于 x 轴的直线 l 交于 A 、 B 两点．若 AB=3，则点 M 到直线 l 的距离为
A. 52B. 94C. 2D. 74

二、填空题（共6小题；共30分）
13. 在比例尺为 1:100000 的地图上，量得甲、乙两地的距离是 20 cm，则两地的实际距离为 km．

14. 在一个不透明的布袋中，装有红、黑、白三种只有颜色不同的小球，其中红色小球 4 个，黑、白色小球的数目相同．小明从布袋中随机摸出一球，记下颜色后放回布袋中，摇匀后随机摸出一球，记下颜色；⋯ 如此大量摸球实验后，小明发现其中摸出的红球的频率稳定于 20%，由此可以估计布袋中的黑色小球有 个．

15. 如图，已知双曲线 y=kx 经过 Rt△OAB 斜边 OB 的中点 D，与直角边 AB 相交于点 C．若 △OBC 的面积为 3，则 k 等于 ．

16. 如图，正方形 ABCD 内接于 ⊙O，其边长为 2，则 ⊙O 的内接正三角形 EFG 的边长为 ．

17. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC=90∘，AB=8 cm，BC=6 cm，分别以 A，C 为圆心，以 AC2 的长为半径作圆，将 Rt△ABC 截去两个扇形，则剩余（阴影）部分的面积为 cm2（结果保留 π）．

18. 在平面直角坐标系中，过格点 A，B，C 作一圆弧．
（1）弧 AC 的长为 （结果保留 π）；
（2）点 B 与图中格点的连线中，能够与该圆弧相切的连线所对应的格点的坐标为 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 活动室里有三根红色的跳绳和两根蓝色的跳绳，有两位同学要进行跳绳比赛，每人拿了一根跳绳，他们均拿到红色跳绳的概率是多少?

20. 某数学兴趣小组为了估计河的宽度，在河对岸选定一个标点 P，在近岸取点 Q 和 S，使点 P，Q，S 共线且直线 PS 与河垂直，接着在过点 S 且与 PS 垂直的直线 a 上选择适当的点 T，确定 PT 与过点 Q 且垂直 PS 的直线 b 的交点 R．如果测得 QS=45 m，ST=90 m，QR=60 m，请计算河的宽度 PQ．

21. 正比例函数 y=x 的图象与反比例函数 y=kx 的图象有一个交点的横坐标是 2．
（1）当 x=−3 时，求反比例函数 y=kx 的值；
（2）当 −3
22. 如图，AB 是圆 O 的弦，OA⊥OD，AB，OD 相交于点 C，且 CD=BD．
（1）判断 BD 与圆 O 的位置关系，并证明你的结论；
（2）当 OA=3，OC=1 时，求线段 BD 的长．

23. 水上游艇是七里海湿地风景区特色旅游项目．如果游客选择此项目，风景区可盈利 10 元/人．旅游旺季平均每天有 500 人选择此项目．为增加盈利，景区管理人员准备在旅游旺季提高票价，经调查发现，在其他条件不变的情况下，票价每涨 1 元，消费人员就减少 20 人．
（1）现该项目保证每天盈利 6000 元，同时又要旅游者尽量少花钱，那么票价应涨价多少元?
（2）若单纯从经济角度看，票价涨价多少元，能使该项目获利最多?

24. 如图 1，分别以矩形 OABC 的两边 OA 和 OC 所在的直线为 x 轴、 y 轴建立平面直角坐标系，A 点的坐标为 3,0，C 点的坐标为 0,4，将矩形 OABC 绕 O 点逆时针旋转，使 B 点落在 y 轴的正半轴上，旋转后的矩形为 OA1B1C1，BC，A1B1 相交于点 M．
（1）求点 B1 的坐标与线段 B1C 的长；
（2）将图 1 的矩形 OA1B1C1 沿 y 轴向上平移，如图 2，矩形 PA2B2C2 是平移过程中的某一位置，BC，A2B2 相交于点 M1，点 P 运动到 C 点停止．设点 P 运动的距离为 x，矩形 PA2B2C2 与矩形 OABC 重叠部分的面积为 y，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围．

25. 已知：如图，在平面直角坐标系 xOy 中，边长为 23 的等边 △ABC 随着顶点 A 在抛物线 y=x2−23x 上运动而运动，且始终有 BC∥x 轴．
（1）当顶点 A 运动至与原点重合时，顶点 C 是否在该抛物线上?
（2）△ABC 在运动过程中有可能被 x 轴分成两部分，当上下两部分的面积之比为 1:8（即 S上部分:S下部分=1:8）时，求顶点 A 的坐标；
（3）△ABC 在运动过程中，当顶点 B 落在坐标轴上时，直接写出顶点 C 的坐标．
答案
第一部分
1. B
2. D
3. D
4. D
5. B
6. C
7. C
8. B
9. A
10. D
11. D
12. B
第二部分
13. 20
14. 8
15. 2
16. 6
17. 24−254π
18. 52π，5,1 或 1,3 或 7,0
第三部分
19. 画树状图如下：
P拿到红色跳绳=620=310．
答：他们都拿到红色跳绳的概率为 310．
20. ∵ RQ⊥PS，TS⊥PS，
∴ RQ∥TS，
∴ △PQR∽△PST，
∴ PQPS=QRST，
∴ PQPQ+QS=QRST，
∵ QS=45 m，ST=90 m，QR=60 m，
∴ PQPQ+45=6090，
∴ PQ=90m．
答：河的宽度 PQ 是 90 m．
21. （1） 在 y=x 中，当 x=2 时，y=2，则交点坐标是 2,2，
把 2,2 代入 y=kx，得：k=4，
当 x=−3，y=−43．
（2） 当 x=−3 时，y=−43，
当 x=−1 时，y=−4．
则当 −322. （1） BD 与圆 O 相切 .
理由：
如图，连接 OB，
因为 OA=OB，DC=DB，
所以 ∠A=∠ABO，∠DCB=∠DBC，
因为 AO⊥OD，
所以 ∠AOC=90∘，即 ∠A+∠ACO=90∘，
因为 ∠ACO=∠DCB=∠DBC，
所以 ∠ABO+∠DBC=90∘，即 OB⊥BD，
则 BD 为圆 O 的切线；
（2） 设 BD=x，则 OD=x+1，而 OB=OA=3，
在 Rt△OBD 中，OB2+BD2=OD2，
即 32+x2=x+12，
解得 x=4，
所以线段 BD 的长是 4．
23. （1） 设每位消费单价应涨价 x 元，根据题意得：
10+x500−20x=6000
解方程得：
x1=10,x2=5,
因为该项目要保证每天盈利 6000 元，同时又要旅游者得到实惠，
所以 x=5，
答：每位消费单价应涨价 5 元；
（2） 设每位消费金额涨价 m 元，能获利 W 元，根据题意得：
W=10+m500−20m=−20m2+300m+5000，
∵a=−20<0，
∴m=−300−2×20=7.5 元时，获利最多．
答：单纯从经济角度看，票价涨价 7.5 元，能使该项目获利最多．
24. （1） 如图 1，∵C0,4，
∴OC=4，
∵ 由旋转得 B1A1=BA=OC=4，OA1=OA=3，
∴ 在 Rt△OB1A1 中，由勾股定理得 OB1=5，
B10,5，
∴B1C=OB1−OC=5−4=1；
（2） 在矩形 OA1B1C1 沿 y 轴向上平移到 P 点与 C 点重合的过程中，点 A2 运动到矩形 OABC 的边 BC 上时，
重叠部分的面积为 △PA2C 的面积，A2C=125，
∵A2P=3，
根据勾股定理得：CP=95，即 4−x=95，
∴P 点移动的距离 x=115，
当自变量 x 的取值范围为 0≤x≤115 时，
如图 2，易证 △B2CM1∽△B2A2P，
得 CM1=3+3x4，
此时，y=S△B2A2P−S△B2CM1=12×3×4−12×3+3x41+x，
即 y=−38x+12+6，
当自变量 x 的取值范围为 115≤x≤4 时，
CM1=44−x3，CP=4−x，
y=S△PCM1=234−x2．
25. （1） 当顶点 A 运动至与原点重合时，设 BC 与 y 轴交于点 D，如图所示．
∵BC∥x 轴，BC=AC=23，
∴CD=3，AD=3．
∴C 点的坐标为 3,−3．
∵ 当 x=3 时，y=32−23×3=−3．
∴ 当顶点 A 运动至与原点重合时，顶点 C 在抛物线上．
（2） 如图，过点 A 作 AD⊥BC 于点 D，
设点 A 的坐标为 x,x2−23x．
∵BC∥x 轴，
∴x 轴上部分的三角形与 △ABC 相似．
∵S上部分:S下部分=1:8，
∴S上部分:S△ABC=1:9，
∴AD=3x2−23x．
∵ 等边 △ABC 的边长为 23，
∴AD=AC⋅sin60∘=3．
∴3x2−23x=3．
∴x2−23x−1=0．
解方程，得 x=3±2．
∴ 顶点 A 的坐标为 3+2,1 或 3−2,1．
（3） 顶点 C 的坐标为 23−6,0，23+6,0，23,−6．
【解析】当顶点 B 落在 x 轴时，则 A 点纵坐标为 3，
∴3=x2−23x，
∴x=3−6或3+6．
∴ 顶点 C 的坐标为 23−6,0，23+6,0，
当顶点 B 落在 y 轴时，则 A 点横坐标为 3，
∴y=x2−23x=−3，
∴ 顶点 C 的坐标为 23,−6，
∴ 顶点 C 的坐标为 23−6,0，23+6,0，23,−6．