2019-2020学年南通市通州区九上期末数学试卷

这是一份2019-2020学年南通市通州区九上期末数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 抛物线 y=2x−22−3 的顶点坐标是
A. −2,3B. 2,3C. −2,−3D. 2,−3

2. 四张质地、大小相同的卡片上，分别画上如下图所示的四个图形，在看不到图形的情况下从中任意抽出一张卡片，则抽出的卡片上的图形是轴对称图形的概率为
A. 12B. 14C. 34D. 1

3. 函数 y=x+2x−4 中，自变量 x 的取值范围是
A. x>4B. x≥−2 且 x≠4
C. x>−2 且 x≠4D. x≠4

4. 如图，在 △ABC 中，D 、 E 分别是 AB 、 AC 的中点，下列说法中不正确的是
A. DE=12BCB. ADAB=AEAC
C. △ADE∽△ABCD. S△ADE:S△ABC=1:2

5. 已知 x=2 是关于 x 的一元二次方程 m−2x2+4x−m2=0 的一个根，则 m 的值为
A. 2B. 0 或 2C. 0 或 4D. 0

6. 如图，直线 l1∥l2∥l3，一等腰直角三角形 ABC 的三个顶点 A，B，C 分别在 l1，l2，l3 上，∠ACB=90∘，AC 交 l2 于点 D，已知 l1 与 l2 的距离为 1，l2 与 l3 的距离为 3，则 ABBD 的值为
A. 425B. 345C. 528D. 20223

7. 已知直角三角形的外接圆半径为 6，内切圆半径为 2，那么这个三角形的面积是
A. 32B. 34C. 27D. 28

8. 给出一种运算：对于函数 y=xn，规定 yʹ=nxn−1．例如：若函数 y=x4，则有 yʹ=4x3．已知函数 y=x3，则方程 yʹ=12 的解是
A. x1=4，x2=−4B. x1=2，x2=−2
C. x1=x2=0D. x1=23，x2=−23

9. 无论 k 为何实数，二次函数 y=x2−3−kx+k 的图象总是过定点
A. −1,4B. 1,0C. 1,4D. −1,0

10. 如图，在 △ABC 中，∠ACB=90∘，AC=4，BC=2．P 是 AB 边上一动点，PD⊥AC 于点 D，点 E 在 P 的右侧，且 PE=1，连接 CE．P 从点 A 出发，沿 AB 方向运动，当 E 到达点 B 时，P 停止运动．在整个运动过程中，图中阴影部分面积 S1+S2 的大小变化情况是
A. 一直减小B. 一直不变C. 先减小后增大D. 先增大后减小

二、填空题（共8小题；共40分）
11. 若方程 x2−2x−1=0 的两根分别为 x1，x2，则 x1+x2−x1x2 的值为 ．

12. 二次函数 y=ax2+bx+ca≠0 的部分对应值如下表：
x⋯−3−20135⋯y⋯70−8−9−57⋯
则二次函数 y=ax2+bx+c 在 x=2 时，y= ．

13. 圆锥的底面半径为 14 cm，母线长为 21 cm，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为 度．

14. 一个不透明的口袋里装有若干除颜色外其他完全相同的小球，其中有 6 个黄球，将口袋中的球摇匀，从中任意摸出一个球记下颜色后再放回，通过大量重复上述实验后发现，摸到黄球的频率稳定在 30%，由此估计口袋中共有小球 个．

15. 如图，电灯 P 在横杆 AB 的正上方，AB 在灯光下的影子为 CD，AB∥CD，AB=2 米，CD=5 米，点 P 到 CD 的距离是 3 米，则 P 到 AB 的距离是 米．

16. 如图，直径 AB 为 6 的半圆，绕 A 点逆时针旋转 60∘，此时点 B 到了点 Bʹ，则图中阴影部分的面积是 ．

17. 如图，正方形 ABCD 和正方形 OEFG 中，点 A 和点 F 的坐标分别为 3,2，−1,−1，则两个正方形的位似中心的坐标是 ， ．

18. 如图，⊙P 的半径为 5，A，B 是圆上任意两点，且 AB=6，以 AB 为边作正方形 ABCD，（点 D,P 在直线 AB 两侧）．若 AB 边绕点 P 旋转一周，则 CD 边扫过的面积为 ．

三、解答题（共10小题；共130分）
19. 关于 x 的一元二次方程 x2−x−m+1=0 有两个不相等的实数根．
（1）求 m 的取值范围；
（2）若 m 为符合条件的最小整数，求此方程的根．

20. 如图，点 A 的坐标为 3,2，点 B 的坐标为 3,0，作如下操作：
①以点 A 为旋转中心，将 △ABO 顺时针方向旋转 90∘，得到 △AB1O1；
②以点 O 为位似中心，将 △ABO 放大，得到 △A2B2O，使位似比为 1:2，且点 A2 在第三象限．
（1）在图中画出 △AB1O1 和 △A2B2O；
（2）请直接写出点 A2 的坐标： ．
（3）如果 △ABO 内部一点 M 的坐标为 m,n，写出点 M 在 △A2B2O 内的对应点 N 的坐标： ．

21. 小明、小林是三河中学九年级的同班同学，在四月份举行的自主招生考试中，他俩都被同一所高中提前录取，并将被编入 A，B，C 三个班，他俩希望能再次成为同班同学．
（1）请你用画树状图法或列举法，列出所有可能的结果；
（2）求两人再次成为同班同学的概率．

22. 若两个二次函数图象的顶点，开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．
（1）请写出两个为“同簇二次函数”的函数；
（2）已知关于 x 的二次函数 y1=2x2−4mx+2m2+1，和 y2=x2+bx+c，其中 y1 的图象经过点 A1,1，若 y1+y2 与 y1 为“同簇二次函数”，求函数 y2 的表达式，并求当 0≤x≤3 时，y2 的取值范围．

23. 如图，AB 为 ⊙O 的直径，F 为弦 AC 的中心，连接 OF 并延长交 AC 于点 D，过点 D 作 ⊙O 的切线，交 BA 的延长线于点 E．
（1）求证：AC∥DE；
（2）连接 CD，若 OA=AE=a，写出求四边形 ACDE 面积的思路．

24. 如图，一次函数 y=k1x+b 的图象经过 A0,−2，B1,0 两点，与反比例函数 y=k2x 的图象在第一象限内的交点为 M，若 △OBM 的面积为 2．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）在 x 轴上是否存在点 P，使 AM⊥MP?若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由．

25. 图 1 和图 2，半圆 O 的直径 AB=2，点 P（不与点 A，B 重合）为半圆上一点，将图形沿 BP 折叠，分别得到点 A，O 的对称点 Aʹ，Oʹ，设 ∠ABP=α．
（1）当 α=15∘ 时，过点 Aʹ 作 AʹC∥AB，如图 1，判断 AʹC 与半圆 O 的位置关系，并说明理由．
（2）如图 2，当 α= 时，BAʹ 与半圆 O 相切．当 α= 时，点 Oʹ 落在 PB 上．

26. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，AC=5 cm，∠BAC=60∘，动点 M 从点 B 出发，在 BA 边上以每秒 2 cm 的速度向点 A 匀速运动，同时动点 N 从点 C 出发，在 CB 边上以每秒 3 cm 的速度向点 B 匀速运动，设运动时间为 t 秒（0≤t≤5），连接 MN．
（1）若 BM=BN，求 t 的值；
（2）若 △MBN 与 △ABC 相似，求 t 的值；
（3）当 t 为何值时，四边形 ACNM 的面积最小?并求出最小值．

27. 已知：抛物线 y=ax2−2a−1x+a−2a>0．
（1）求证：抛物线与 x 轴有两个交点；
（2）设抛物线与 x 轴有两个交点的横坐标分别为 x1，x2（其中 x1>x2）．若 y 是关于 a 的函数，且 y=ax2+x1，求这个函数的表达式；
（3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：若使 y≤−3a2+1，则自变量 a 的取值范围为 ．

28. 如图，直线 y=2x−2 分别与 x 轴、 y 轴相交于 M，N 两点，并且与双曲线 y=kxk>0 相交于 A，B 两点，过点 A 作 AC⊥y 轴于点 C，过点 B 作 BD⊥x 轴于点 D，AC 与 BD 的延长线交于点 Em,n．
（1）求证：ECEA=EDEB；
（2）若 AMBM=12，求 kx>2x−2 的 x 的取值范围；
（3）在（2）的条件下，P 为双曲线上一点，以 OB，OP 为邻边作平行四边形，且平行四边形的周长最小，求第四个顶点 Q 的坐标．
答案
第一部分
1. D
2. A
3. B
4. D
5. C
6. A【解析】如图，作 BF⊥l3，AE⊥l3，交 l2 于点 G．

∵∠ACB=90∘，
∴∠BCF+∠ACE=90∘，
∵∠BCF+∠CFB=90∘，
∴∠ACE=∠CBF，
在 △ACE 和 △CBF 中，
∠BFC=∠CEA,∠CBF=∠ACE,BC=AC,
∴△ACE≌△CBF，
∴CE=BF=3，CF=AE=4，
∵l1 与 l2 的距离为 1，l2 与 l3 的距离为 3，
∴AG=1，BG=EF=CF+CE=7，
∴AB=BG2+AG2=52，
∵l2∥l3，
∴DGCE=AGAE=14，
∴DG=14CE=34，
∴BD=BG−DG=7−34=254，
∴ABBD=52254=425．
7. D
8. B
9. A
10. C
【解析】∵AC=4，BC=2 ，
∴AB=25，CF=455 .
设 AP=x ，则 EB=25−1−x .
∴DH=25x．
S1+S2=15x2−255x+4−255 .
∴ 当 x=5 时，S1+S2 有最大值.

第二部分
11. 3
12. −8
13. 240
14. 20
15. 65
16. 6π
17. 1,0，−5,−2
18. 9π
【解析】连接 PA，PD，过点 P 作 PE 垂直 AB 于点 E，延长 AE 交 CD 于点 F．
∵AB 是 ⊙P 上一弦，且 PE⊥AB，
∴AE=BE=12AB=3．
在 Rt△AEP 中，AE=3，PA=5，∠AEP=90∘，
∴PE=PA2−AE2=4．
∵ 四边形 ABCD 为正方形，
∴AB∥CD，AB=BC=6，
∵PE⊥AB，
∴PF⊥CD .
∴EF=BC=6，DF=AE=3，PF=PE+EF=4+6=10．
在 Rt△PFD 中，PF=10，DF=3，∠PFE=90∘，
∴PD=PF2+DF2=109．
∵ 若 AB 边绕点 P 旋转一周，则 CD 边扫过的图形为以 PF 为内圆半径、以 PD 为外圆半径的圆环．
∴S=π⋅PD2−πPF2=109π−100π=9π．
第三部分
19. （1） Δ=1+4m+1=5+4m>0，
∴m>−54．
（2） ∵m 为符合条件的最小整数，
∴m=−1．
∴ 原方程变为 x2−x=0
∴x1=0，x2=1．
20. （1） △AB1O1 和 △A2B2O，如图所示，
（2） −6,−4
【解析】由图象可知，A2−6,−4．
（3） −2m,−2n
【解析】△ABO 内部一点 M 的坐标为 m,n，点 M 在 △A2B2O 内的对应点 N 的坐标为 −2m,−2n．
21. （1） 画树状图如下：
由树形图可知所有可能的结为 AA，AB，AC，BA，BB，BC，CA，CB，CC．
（2） 由（1）可知两人再次成为同班同学的概率 =39=13．
22. （1） 设顶点为 h,k 的二次函数的关系式为 y=ax−h2+k，
当 a=2，h=3，k=4 时，
二次函数的关系式为 y=2x−32+4．
∵ 2>0，
∴ 该二次函数图象的开口向上．
当 a=3，h=3，k=4 时，
二次函数的关系式为 y=3x−32+4．
∵ 3>0，
∴ 该二次函数图象的开口向上．
∵ 两个函数 y=2x−32+4 与 y=3x−32+4 顶点相同，开口都向上，
∴ 两个函数 y=2x−32+4 与 y=3x−32+4 是“同簇二次函数”．
∴ 符合要求的两个“同簇二次函数”可以为：y=2x−32+4 与 y=3x−32+4．
（2） ∵ y1 的图象经过点 A1,1，
∴ 2×12−4×m×1+2m2+1=1．
整理得：m2−2m+1=0．
解得：m1=m2=1．
∴ y1=2x2−4x+3=2x−12+1，
∴ y1+y2=2x2−4x+3+x2+bx+c=3x2+b−4x+c+3，
∵ y1+y2 与 y1 为“同簇二次函数”，
∴ y1+y2=3x−12+1=3x2−6x+4，
∴ 函数 y2 的表达式为：y2=x2−2x+1．
∴ y2=x2−2x+1=x−12，
∴ 函数 y2 的图象的对称轴为 x=1．
∵ 1>0，
∴ 函数 y2 的图象开口向上．
当 0≤x≤3 时，
∵ 函数 y2 的图象开口向上，
∴ y2 的取值范围为 0≤y2≤4．
23. （1） 因为 ED 与 ⊙O 相切于点 D，
所以 OD⊥DE．
因为 F 为弦 AC 的中点，
所以 OD⊥AC，
所以 AC∥DE．
（2） 如图，过点 D 作 DM⊥OA 于点 M，连接 CD，CO，AD，
因为 AC∥DE，AE=AO，
所以 OF=DF．
因为 AF⊥DO，
所以 AD=AO，
所以 AD=AO=OD，
所以 △ADO 是等边三角形．
同理 △CDO 也是等边三角形．
所以 AE=CD=AD=AO=OD=a，DM=32a，∠CDO=∠DOA=60∘，
所以 AO∥CD．
因为 AE=CD，
所以四边形 ACDE 是平行四边形，
所以平行四边形 ACDE 的面积为 32a2．
24. （1） ∵ 直线 y=k1x+b 过 A0,−2，B1,0 两点，
∴b=−2,k1+b=0,
∴b=−2,k1=2.
∴ 一次函数的表达式为 y=2x−2．
设 Mm,n，作 MD⊥x 轴于点 D．
∵S△OBM=2，
∴12OB⋅MD=2，
∴12n=2，
∴n=4，
∴ 将 Mm,4 代入 y=2x−2，得 4=2m−2，
∴m=3．
∵M3,4 在双曲线 y=k2x 上，
∴4=k23，
∴k2=12，
∴ 反比例函数的表达式为 y=12x．
（2） 过点 M3,4 作 MP⊥AM 交 x 轴于点 P，如图．
∵MD⊥BP，
∴∠PMD=∠MBD=∠ABO，
∴tan∠PMD=tan∠MBD=tan∠ABO=OAOB=21=2，
∴ 在 Rt△PDM 中，PDMD=2，
∴PD=2MD=8，
∴OP=OD+PD=11．
∴ 在 x 轴上存在点 P，使 PM⊥AM，此时点 P 的坐标为 11,0．
25. （1） 相切，理由如下：
如图 1，过 O 作 OD⊥AʹC 于点 D，交 AʹB 于点 E，
∵ α=15∘，AʹC∥AB，
∴ ∠ABAʹ=∠CAʹB=30∘，
∴ DE=12AʹE，OE=12BE，
∴ DO=DE+OE=12AʹE+BE=12AB=OA，
∴ AʹC 与半圆 O 相切．
（2） 45∘；30∘
【解析】当 BAʹ 与半圆 O 相切时，则 OB⊥BAʹ，
∴ ∠OBAʹ=2α=90∘，
∴ α=45∘，
当 Oʹ 在 PB 上时，如图 2，连接 AOʹ，
则可知 BOʹ=12AB，
∴ ∠OʹAB=30∘，
∴ ∠ABOʹ=60∘，
∴ α=30∘．
26. （1） ∵ 在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，AC=5，∠BAC=60∘，
∴AB=10，BC=53．
由题意知 BM=2t，CN=3t，BN=53−3t，
由 BM=BN 得 2t=53−3t，
解得：t=532+3=103−15．
（2） ①当 △MBN∽△ABC 时，
∴MBAB=BNBC，即 2t10=53−3t53，解得：t=52．
②当 △NBM∽△ABC 时，
∴NBAB=BMBC, 即 53−3t10=2t53，解得：t=157．
∴ 当 t=52 或 t=157 时，△MBN 与 △ABC 相似．
（3） 过 M 作 MD⊥BC 于点 D，
可得：MD=t．
设四边形 ACNM 的面积为 y，
∴y=S△ABC−S△BMN=12AC⋅BC−12BN⋅MD=12×5×53−1253−3t⋅t=32t2−532t+2532=32t−522+7583.
∴ 根据二次函数的性质可知，当 t=52 时，y 的值最小．
此时，y最小=7583．
27. （1） ∵Δ=4a−12−4aa−2=4>0，
∴ 抛物线与 x 轴有两个交点．
（2） 解方程得 x=2a−1±22a，
∴x=1 或 x=1−2a，
∵a>0，x1>x2，
∴x1=1，x2=1−2a，
∴y=a1−2a+1=a−1a>0．
（3） 0【解析】画出直线 y=a−1 和抛物线 y=−3a2+1 的图象，如图，
解方程得到 a−1=−3a2+1 得 a=−1 或 a=23，
即直线 y=a−1 和抛物线 y=−3a2+1 的图象的交点坐标为 −1,−2，23,−13，
当 −1≤a≤23 时，a−1≤−3a2+1，
而 a>0，
∴a 的取值范围为 028. （1） 设 Ax1,kx1，Bx2,kx2，则有 AE=x1−x2，BE=kx1−kx2，
EC=−x2，ED=kx1，
∵AEBE=x1−x2kx1−kx2=−x1x2k，ECED=−x2kx1=−x1x2k，
∴AEBE=ECED，
∴ECEA=EDEB．
（2） ∵DM∥AE，
∴DEBD=AMBM=12，
∴Am,n 则 B−m2,−2n，
把 A，B 代入 y=2x−2 得到 n=2m−2,−2n=4m−2,
解得 m=2,n=2,
∴A2,2，B−1,−4，
由图象可知，kx>2x−2 时，x<−1 或 0 （3） 由（2）可知反比例函数解析式为 y=4x，A2,2，B1,−4，
∵ 四边形 OBPQ 是平行四边形，
∴OB=PQ，PO=BQ，
∵ 点 B 是定点，
∴OB 是定长，
∴ 要求平行四边形 OBPQ 的周长的最小值只需要求出 OP 的最小值即可．
∵ P 在 y=4x 上，设 Pa,4a，
∴ OP2=n2+16n2=n−4n2+8．
∴ 当 n−4n=0 时，OP2 的值最小．
∴ n=±2 时，OP 有最小值．
∴ P2,2或−2,−2,Q1,−2或−3,−6．