2019年江苏省各市中考压轴题选编（含答案）

这是一份2019年江苏省各市中考压轴题选编（含答案），共35页。
①观察图1，若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为30个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为_____个单位长度；
②若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为40个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为_____个单位长度．
【发现】
设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为y个单位长度．兴趣小组成员发现了y与x的函数关系，并画出了部分函数图像（线段OP，不包括点O，如图2所示）．
①a＝______；
②分别求出各部分图像对应的函数表达式，并在图2中补全函数图像．
【拓展】
设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第三次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为y个单位长度．若这两个机器人第三次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为y不超过60个单位长度，则他们第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离x的取值范围是__________．（直接写出结果）
图1 图2
第28题图
28． （2019年扬州）如图，已知等边△ABC的边长为8，点P事AB边上的一个动点（与
点A、B不重合），直线l是经过点P的一条直线，把△ABC沿直线l折叠，点B的对应 点是点B’．
（1）如图1，当PB＝4时，若点B’恰好在AC边上，则AB’的长度为______；
（2）如图2，当PB＝5时，若直线l∥AC，则BB’的长度为 ；
（3）如图3，点P在AB边上运动过程中，若直线l始终垂直于AC，△ACB’的面积是否变化？若变化，说明理由；若不变化，求出面积；
（4）当PB＝6时，在直线l变化过程中，求△ACB’面积的最大值．

（备用图）
（图3）

（图2）
（图1）
（2019江苏盐城）如图所示，二次函数y＝k(x－1)2＋2的图像与一次函数y＝kx－k＋2的图像交于A、B两点，点B在点A的右侧，直线AB分别与x、y轴交于C、D两点，其中k＜0．
（1）求A、B两点的横坐标；
（2）若△OAB是以OA为腰的等腰三角形，求k的值；
（3）二次函数图像的对称轴与x轴交于点E，是否存在实数k，使得∠ODC＝2∠BEC，若存在，求出k的值：若不存在，说明理由．
（第27题图）
（2019年江苏徐州T28）如图，平面直角坐标系中，O为原点，点A、B分别在y轴、x轴的正半轴上．△AOB的两条外角平分线交于点P，P在反比例函数y＝的图像上．PA的延长线交x轴于点C，PB的延长线交y轴于点D，连接CD．
（1）求∠P的度数及点P的坐标；
（2）求△OCD的面积；
（3）△AOB的面积是否存在最大值？若存在，求出最大面积；若不存在，请说明理由．
（2019年宿迁T28）如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，其中点A坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图①，连接AC，点P在抛物线上，且满足∠PAB＝2∠ACO，求点P的坐标；
（3）如图②，点Q为x轴下方抛物线上任意一点，点D是抛物线对称轴与x轴的交点，直线AQ、BQ分别交抛物线的对称轴于点M、N．请问DM＋DN是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
(2019年无锡)如图1，在矩形中，BC＝3，动点从出发，以每秒1个单位的速度，沿射线方向移动，作关于直线的对称，设点的运动时间为．
(1)若AB＝2，①如图2，当点落在AC上时，显然△PC是直角三角形，求此时t的值；
②是否存在异于图2的时刻，使得△PC是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的t的值？若不存在，请说明理由；
(2)当P点不与C点重合时，若直线P与直线CD相交于点M，且当t＜3时存在某一时刻有结论∠PAM＝45°成立，试探究：对于t＞3的任意时刻，结论∠PAM＝45°是否总是成立？请说明理由．
图1 图2 备用
（2019年江苏泰州T26）已知一次函数y1＝kx＋n（n 0, x>0）,（1）如图1，若n＝－2，且函数y1、y2的图像都经过点A（3，4）.
①求m、k的值;
②直接写出当y1>y2时x的范围；
（2）如图2，过点P（1，0）作y轴的平行线l与函数y2的图像相交于点B,与反比例函数y3＝ （x>0）的图像相交于点C.
①若k＝2, 直线l与函数y1的图像相交于点D,当点B、C、D中的一点到另外两点的距离相等时，
求m－n的值；
②过点B作x轴的平行线与函数y1的图像相交与点E，当m－n的值取不大于1的任意实数时，点B、C间的距离与点B、E间的距离之和 d 始终是一个定值，求此时k的值及定值d.
A
y1
O
x
y
y2
C
y1
O
x
y
y2
P
B
y3
图1
图2
第26题图
（2019年苏州T28）如图①，抛物线与x轴交于A、B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C，已知的面积为6．
（1）求的值；
（2）求外接圆圆心的坐标；
（3）如图②，P是抛物线上一点，点Q为射线CA上一点，且P、Q两点均在第三象限内，Q、A是位于直线BP同侧的不同两点，若点P到x轴的距离为d，的面积为，且，求点Q的坐标．
(2019年江苏南京)[概念认识]
城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy，对两点A(x1，y1和B(x2，y2)，用以下方式定义两点间的距离：d(A，B)＝｜x1－x2｜＋｜y1－y2｜．
[数学理解]
(1)①已知点A(－2，1)，则d(O，A)＝______；
②函数y＝－2x＋4(0≤x≤2)的图象如图①所示，B是图象上一点，d(O，B)＝3，则点B的坐标是______．
－1
1
O
2
3
4
4
x
y
2
1
－1
3
－1
1
O
2
3
4
4
x
y
2
1
－1
3
图①
－1
1
O
2
3
4
4
x
y
2
1
－1
3
图②
图③
第27题图
(2)函数y＝(x≥0)的图象如图②所示．求证：该函数的图象上不存在点C，使d(O，C)＝3．
(3)函数y＝x2－5x＋7(x≥0)的图象如图③所示，D是图象上一点，求d(O，D)的最小值及对应的点D的坐标．
[问题解决]
(4)某市要修建一条通往景观湖的道路，如图④，道路以M为起点，先沿MN方向到某处，再在该处拐一次直角弯沿直线到湖边，如何修建能使道路最短？(要求：建立适当的平面直角坐标系，画出示意图并简要说明理由)
景观湖
图④
第27题图
M
N
（2019年连云港）问题情境：如图1，在正方形ABCD中，E为边BC上一点（不与点B、C重合），垂直于AE的一条直线MN分别交AB、AE、CD于点M、P、N．判断线段DN、MB、EC之间的数量关系，并说明理由．
问题探究：在“问题情境”的基础上，
（1）如图2，若垂足P恰好为AE的中点，连接BD，交MN于点Q，连接EQ，并延长交边AD于点F．求∠AEF的度数；
（2）如图3，当垂足P在正方形ABCD的对角线BD上时，连接AN，将△APN沿着AN翻折，点P落在点P'处．若正方形ABCD的边长为4 ，AD的中点为S，求P'S的最小值．
问题拓展：如图4，在边长为4的正方形ABCD中，点M、N分别为边AB、CD上的点，将正方形ABCD沿着MN翻折，使得BC的对应边B'C'恰好经过点A，C'N交AD于点F．分别过点A、F作AG⊥MN，FH⊥MN，垂足分别为G、H．若AG＝，请直接写出FH的长．
（2019年淮安）(本小题满分12分)如图①，在△ABC中，AB=AC=3,∠BAC=100°，D是BC的中点，小明对图①进行了如下探究：在线段AD上任取一点P,连接PB.将线段PB绕点P按逆时针方向旋转80°，点B的对应点是点E,连接BE,得到△BPE.小明发现，随着点P在线段AD上位置的变化，点E的位置也在变化，点E可能在直线AD的左侧，也可能在直线AD上，还可能在直线AD的右侧
请你帮助小明继续探究，并解答下列问题：
（1）当点E在直线AD上时，如图②所示
①∠BEP=▲
②连接CE,直线CE与直线AB的位置关系是▲
（2）请在图③中画出△BPE,使点E在直线AD的右侧，连接CE.试判断直线CE与直线AB的位置关系，并说明理由
（3）当点P在线段AD上运动时，求AE的最小值.
图①
图②
图③
（2019年常州）（10分）已知平面图形S，点P、Q是S上任意两点，我们把线段PQ的长度的最大值称为平面图形S的“宽距”．例如，正方形的宽距等于它的对角线的长度．
（1）写出下列图形的宽距：
①半径为1的圆：________；
②如图1，上方是半径为1的半圆，下方是正方形的三条边的“窗户形”：________；
（2）如图2，在平面直角坐标系中，已知点A(－1，0)、B(1，0)，C是坐标平面内的点，连接AB、BC、CA所形成的图形为S，记S的宽距为d．
①若d＝2，用直尺和圆规画出点C所在的区域并求它的面积（所在区域用阴影表示）；
②若点C在⊙M上运动，⊙M的半径为1，圆心M在过点(0，2)且与y轴垂直的直线上．对于⊙M上的任意点C，都有5≤d≤8，直接写出圆心M的横坐标x的取值范围．
图28—2
图28—1
（2019·镇江）{解析}．本题考查了一次函数的应用，解题的关键是掌握两个机器人相遇的情形．
【观察】①②画出两个行程的示意图，利用速度与路程，时间之间的关系进行计算；
【发现】①根据x和y之间的关系可求出a的值；
②先分别求出第一次相遇和第二次相遇时两人的路程之和，并求出对应的函数解析式，然后画出图形；
【拓展】根据题意进行计算并分类讨论可得x的取值范围．
{答案}解：【观察】90，120；
【发现】①a＝50；
②设机器人甲的速度为v1，走的总路程为s1；机器人乙的速度为v2，走的总路程为s2；它们行走的时间为t．
由题意得v1＜v2，
∴v1t＜v2t．
∴s1＜s2．
∵这两个机器人第一次迎面相遇时，路程和为150，
∴相遇地点与点A之间的距离＝s1，即s1＝x．
又∵s1＋s2＝150，s1＜150－s1，
∴s1＜75．
∴0＜x＜75．
∵两个机器人第二次迎面相遇时，路程和为450，
∴s1＝3x．
∴当3x＝150，即x＝50时，两个机器人在B点相遇．
当0＜x≤50时，y＝s1，即y＝3x；当50＜x＜75时，y＝300－s1，即y＝300－3x．
故补图如下：
第28题答图
【拓展】0＜x≤12，48≤x≤72．
（2019·扬州）{解析}（1）证明△APB’是等边三角形即可解决问题．
（2）如图2中，设直线l交BC于点E．连接BB’交PE于O．证明△PEB是等边三角形，求出OB即可解决问题．
（3）如图3中，结论：面积不变．证明BB’∥AC即可．
（4）如图4中，当B’P⊥AC时，△ACB’的面积最大，设直线PB′交AC于E，求出B’E即可解决问题．
{答案}解：（1）∵折叠∴PB＝PB’＝4
∵△ABC为等边三角形
∴∠A＝60°
∴△APB’是等边三角形
即∠B’PA＝60°
∴AB’＝AP＝4
（2）∵l∥AC
∴∠BPB’＝120°∴∠PBB’＝30°
∵PB＝5
∴BB’＝5
（3）
过B作BF⊥AC，垂足为F，过B’作B’E⊥AC，垂足为E
∵B与B’关于l对称
∴B’E＝BF＝4
∴S△ACB’＝
△ACB’面积不变
（4）由题意得：l变化中，B’的运动路径为以P为圆心，PB长为半径的圆
过P作B’P⊥AC，交AC于H，此时B’H最长
AP＝2，AH＝1
∴PH＝
∴B’H＝B’P＋PH＝6＋
∴S△ACB’最大值＝（6＋）×8÷2＝24＋4
（2019·盐城）{解析}本题考查了二次函数的图像与性质、一次函数的图像与性质、等腰三角形、相似三角形的判定与性质以及数形结合思想．（1）方程＝的根就是点A、B的横坐标；（2）分OA＝OB、OA＝AB两种情形求解，每种情形作x、y轴的平行线构造三角形，证明三角形全等将OA＝OB（或OA＝AB）转化为“横平竖直”的线段间关系，进而转化点的坐标之间的关系，从而求得k的值；（3）先构造出∠BEC的2倍角，然后寻找∠BEC的2倍角与∠ODC所在三角形之间的关系，得到∠BEC的2倍角所在的三角形是直角三角形，进而过点B作x轴的垂线得到相似三角形，利用相似三角形的对应成比例列方程求解．需要注意的是：要按点B在x轴上方和点B在x轴下方两种情形求解．
{答案}解：（1）将方程组消去y，得＝．∴＝0．∵k＜0，∴x－1＝0或x－2＝0．∴x＝1或2．∵点B在点A的右侧，∴点A的横坐标为1，点B的横坐标为2．
（2）在y＝kx－k＋2中，当x＝1时，y＝kx－k＋2＝2；当x＝2时，y＝kx－k＋2＝k＋2．∴A（1，2），B（2，k＋2）．
当OA＝OB时，如答图1所示，过点A作AM⊥y轴于点M，过点B作BN⊥x轴于点N，则∠AOM＝∠BNO＝90°．∵A（1，2），B（2，k＋2），∴AM＝1，OM＝2，ON＝2，BN＝k＋2．∴OM＝ON．在Rt△OAM和Rt△OBN中，∴Rt△OAM≌Rt△OBN．∴AM＝BN．∴1＝k＋2．解得k＝－1，满足k＜0，∴k＝－1符合题意．
当OA＝AB时，如答图2所示，过点A作AP⊥y轴于点P，过点B作BQ⊥PQ交PA的延长线于点Q．∵A（1，2），B（2，k＋2），∴AP＝1，OP＝2，Q（2，2）．∴AQ＝2－1．∴AP＝AQ．在Rt△APQ与Rt△AQB中，∴Rt△APQ≌Rt△AQB．∴BQ＝OP＝2．∵Q（2，2），B（2，k＋2），∴BQ＝2－(k＋2)＝－k．∴－k＝2．∴k＝－2，满足k＜0，∴k＝－2符合题意．
综合知，k的值为－1或－2．
（3）当点B在x轴上方时，如答图3所示，过点B作BG⊥x轴于点G，在线段EG取点H，使得BH＝EH．∴∠BEC＝∠EBH．∴∠BHC＝∠BEC＋∠EBH＝2∠BEC．∵∠ODC＝2∠BEC，∴∠BHC＝∠ODC．又∵∠OCD＝∠HCB，∴△ODC∽△BHC．∴∠HBC＝∠DOC＝90°．设EH＝BH＝m．由（2）知B（2，k＋2）．∴BG＝k＋2．由y＝知对称轴为直线x＝1．∴E（1，0）．∴EG＝2－1＝1．∴HG＝1－m．在Rt△BHG中，由勾股定理得BH2＝HG2＋BG2．∴m2＝(1－m)2＋(k＋2)2．∴m＝．∴HG＝．在y＝kx－k＋2中，当y＝0时，x＝．∴C（，0）．∴GC＝＝．∵∠HBC＝∠BGC＝90°，∴∠BHG＋∠HBG＝∠HBG＋∠GBC．∴∠BHG＝∠GBC．又∵∠HGB＝∠CGB＝90°，∴△GHB∽△GBC．∴＝．∴GB2＝GH·GC．∴(k＋2)2＝·．即(k＋2)2＝·．∵BH＞0（否则∠BEC＝0°不符合题意），∴k＋2＞0．∴k＋2＝·．解得k＝．∵k＜0，∴k＝．
当点B在x轴下方时，如答图4所示．同理可求BG＝－(k＋2)，GC＝，GH＝．同理求证BG2＝GH·GC．∴[－(k＋2)]2＝·．∵k＋2≠0，∴k＋2＝·．解得k＝．∵k＜0，∴k＝．
综合知，k的值为或．
（2019·徐州）{解析}本题考查了反比例函数的性质，角平分线的性质，相似三角形的判定与性质以及分式函数的最大值.解题的关键是构造相似三角形以及利用一元二次方程根的判别式来求分式函数的最大值.
（1）利用角平分线的性质和三角形的内角和定理来求∠CPB的度数；
（2）连接OP，证明△POC∽△DOP，得出OC×OD的值，然后来求△OCD的面积；
（3）利用勾股定理以及面积公式求出△OAB面积关于BN=x 的分式函数，然后利用一元二次方程要的判别式，得到一个一元二次不等式，再利用二次函数图象的性质求出分式函数的最大值.
{答案}解： 解：（1）∵AP，BP是△AOB两条外角的角平分线，
∴∠PAB=∠PAY，∠PBA=∠ABX，
∵∠OAB+∠OBA=90°，∴∠PAY+∠ABX=270°，
∴∠PAB+∠PBA=135°，∴∠APB=45°.
第28题答图①
过点P作PH⊥AB于H，∴∠PMA=∠PHA=90°，
∵∠MAP=∠HAP，PH=PH，
∴△PMA≌△PHA，
∴PM=PH，
同理可证△PHB≌△PNB，
∴PH=PN，
∴PM=PN，
设P点的坐标为（a，），则a=，解得a=3，（取正值）
∴P点的坐标为（3，3）；
（2）∵PM=PN=3，
∴四边形PMON为正方形，连接OP，
∴∠5=∠6=45°，OP=，
第28题答图②
∵∠CPD=45°，∴∠7+8=45°，
∵PM∥BC，PN∥OM，
∴∠3=∠7，∠4=∠8，∴∠3+∠4=45°，
∵∠5=∠4+∠2=45°，
∴∠2=∠3，同理∠1=∠4，
∴△POC∽△DOP，
∴，∴OP2=OC×OD，∴OC×OD=18，
∴.
（3） 设BN=x，AM=y，∴OA=3-y，OB=3-x，
由（1）可知：AB=x+y，
∵OA2+OB2=AB2，∴(3-x)2+(3-y)2=(x+y)2，整理得：xy=9-3x-3y，
∴y=，
= ，
设，整理，得：
∵x是实数，∴，
解得k，或k，
∵△OAB的面积不可能大于9，∴k，
∴的最大值为27-18.
第28题答图③
（2019·宿迁）{解析}本题考查了二次函数解析式的确定，与2倍角有关的存在性问题，动点线段长度的计算问题，解题的关键是能利用垂直平分线等方法构造出二倍角，进而求出该角的三角函数值，再利用该值来求二次函数图象上点的存在性问题，（3）设出点Q的坐标，根据坐标转化为线段的长，再利用相似三角形求出DM、DN的长，再求它们的和，进而确定DM＋DN的和是一个定值．
{答案}解： （1）把A（1，0），C（0，－3）代入y＝x2＋bx＋c，得，解得：
所以y＝x2＋2x－3．
（2）在线段OC上取一点E，使AE＝CE，设OE＝a，则AE＝CE＝3－a，在RT △OAE中OE2＋OA2＝AE2，12＋a2＝(3－a)2，解得a＝，OE＝．
因为EA＝EC，所以∠OEA＝2∠ACO．
在RT△OAE中，Tan∠OEA＝，
设P（m，m2＋2m－3），当∠PAB＝2∠ACO＝∠OEA时，，解得m1＝1（舍去），m2＝，m3＝ ．
∴P1（，），P2（，）
过点Q作QH⊥x轴于点H（如图）设点Q（n，n2＋2n－3），则QH＝－n2－2n＋3 ，AH＝1－n，BH＝n＋3，AD＝2． 因为QH∥DM，所以△ADM∽△AHQ，所以，
所以，DM＝；
同理△BHQ∽△BDN，得DN＝，
所以DM＋DN＝(2n＋6)＋(－2n＋2)＝8。
即DM＋DN的长为定值8．

（2019·无锡）{解析}本题考查了与矩形相关的轴对称问题，(1)①先利用勾股定理求AC，再证△CP∽△CBA得比例式求，最后用勾股定理列方程求t的值；
②先用t表示相关线段，再分三种情况讨论，借助勾股定理或直接计算方法求t；
(2)易得四边形ABCD为正方形，于是AB＝A＝AD，从而可证全等得∠DAM＝∠AM，由轴对称得∠PAB＝∠PA＝2∠DAM＋∠PAD，代入∠PAB＋∠PAD＝90°中得到结论．
{答案}解：(1)①∵∠B＝90°，∴AC＝ ，∵∠CP＝ ∠CBA＝90°，∠CP＝ ∠BCA，
∴△CP∽△CBA ，，故，解得．由轴对称可得PB＝，∴ t＝；
②由已知可得PB＝P＝t，PC＝3-t，DA＝BC＝3，AB＝A＝2，
分三种情况：1°如图，当∠PC＝90 °时，由勾股定理得D＝，∴C＝，在△PC中， PC2＋C2＝ P2，∴() 2＋ (3 - t) 2 ＝ t 2，解得 t＝2．
②
③ ④第28题答图
2°如图，当∠PC＝90 °时，由勾股定理得D＝，∴C＝3，在△PC中PC2＋C2＝ P2，(3)2＋ (t -3) 2 ＝ t 2，解得 t＝6．
3°当∠CP＝90 °时，易证四边形 ABP为正方形，P＝AB＝2，∴ t＝2；
如图④，四边形ABCD为正方形，t>3时，∵AB＝A＝AD，AM＝AM，Rt△MDA≌Rt△AM(HL)，∴∠DAM＝∠AM，
由轴对称可得∠PAB＝∠PA＝2∠DAM＋∠PAD，∴∠PAB＋∠PAD＝2∠DAM＋2∠PAD＝90°，∴∠PAM＝∠DAM＋∠PAD＝45°．
（2019·泰州）{解析}本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、反比例函数的解析式，反比例函数与一次函数的综合，分类讨论思想．（1）①把点A（3，4）的坐标代入y2＝，即可求出的y2函数表达式；从而得出m的值；再由n＝－2，和点A（3，4）的坐标代入y1＝kx＋n可求得k；②由函数图像的性质可直接得出x的范围；（2）①可用m、n的代数式表示出点D、点B、点C的坐标，再分两种情况得出方程；②先可用k、m、n的代数式表示出点E坐标为（，0），再分点E在点B左侧、点E在点B右侧，得出d关于k、m、n的关系式，从而可求得结论.
{答案}解： （1）①∵y2＝ 过点A（3，4），
∴4＝，
∴m＝12，
又∵点A （3，4）y1＝kx＋n的图象上，且n＝－2，
∴4＝3k－2，
∴k＝2.
②由图像可知当x>3时，y1>y2.
（2）①∵k＝2，∴y1＝2x＋n，
∵平行于y轴的直线l过点P（1，0），
∴D（1，2＋ n），B（1，m），C（1， n），
又∵点B、C、D中的一点到另外两点的距离相等，
若BD＝BC ，则2＋ n﹣m＝m﹣n，∴m﹣n＝1 ，
若BD＝DC，则m﹣（2＋ n）＝2＋ n﹣n，∴m﹣n＝4，
若BC＝DC，则m﹣n＝2＋ n﹣n，∴m﹣n＝2，
∴m﹣n＝1或m﹣n＝4或m﹣n＝2.
②由题意可知，B（1，m），C（1， n），
当y1＝m时，kx＋n＝m，
∴x＝，
即点E为（，0），
∴BC＝， BE=，
A
y1
O
x
y
y2
C
y1
O
x
y
y2
P
B
y3
图1
图2
第26题图答
E
（ⅰ）当点E在点B左侧时，
d＝BC＋BE＝
＝
＝
∵m－n的值取不大于1的任意实数时， d始终是一个定值，
∴＝0，
∴k＝1，从而d＝1
；
（ⅱ）当点E在点B右侧时，k＞0，
d＝BC＋BE＝
＝
＝
∵k＞0，m－n的值取不大于1的任意实数，
∴不存在定值k，使d 的值与m－n的取值无关，
∴此情况不合题意，舍去，
综上所述，k＝1， d＝1.
（2019·苏州）{解析}本题考查了二次函数与一元二次方程、三角形外接圆的圆心以及等腰三角形的判定等知识，属于二次函数的综合题．（1）令y＝0，求出x的值，x的值就是二次函数的图像与x轴交点的横坐标；（2）根据圆的轴对称性，可知圆心就是边AB和边AC垂直平分线的交点，通过轴对称性求解；（3）先求出△ABP的面积，发现△ABP的面积与△QBP的面积相等，得出AQ∥BP，再根据“等角对等边”得出AP＝QB，通过勾股定理列出方程可求出点Q的坐标．
{答案}解：（1）解：由题意得，且＝
由图知：，令y＝0 ，则x1＝1，x2＝a，
所以A()，,
＝6
∴；
（2）由（1）得A()，,，所以AO＝OC＝3，且∠AOC＝90°，
外接圆圆心就是线段AB和AC垂直平分线的交点，
很显然线段AC的垂直平分线与∠AOC的角平分线所在的直线重合，
又∵AB的垂直平分线为 ，
∴ 得
外接圆圆心的坐标（﹣1，1）．
（3）解：过点P作PD⊥x轴
由题意得：PD＝d，
∴ ＝×4·d＝2d，
∵的面积为，
∴，即A、D两点到PB得距离相等
∴
设PB直线解析式为，且它经过点
∴
∴，
解得 或
所以P(-4，-5),
由于，AQ∥BP，所以，
设BQ于AP交于点G，
则AG＝QG，BG＝PG，所以AP＝QB，
∴BQ＝AP＝，
直线AC的表达式为y＝x＋3，
设点Q（m，-m＋3）()，
∴
或2（舍去）
∴Q ．
（2019·南京）{解析}本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象和性质；一元二次方程根的判别式；转化思想；数学应用意识等．
{答案}解：(1)①3；②(1，2)．
[解析]①d(O，A)＝｜－2－0｜＋｜1－0｜＝2＋1＝3；
②设点B的坐标为(t，－2t＋4)(0≤t≤2)，则｜t－0｜＋｜－2t＋4－0｜＝3，即｜t｜＋2｜t－2｜＝3．∵0≤t≤2，∴t－2＜0．∴t＋2(2－t)＝3．解得t＝1．此时－2t＋4＝2．∴点B的坐标为(1，2)．
(2)假设函数y＝(x＞0)的图象上存在点C(x，y)，使d(O，C)＝3．
根据题意，得｜x－0｜＋｜－0｜＝3．
因为x＞0，所以＞0，｜x－0｜＋｜－0｜＝x＋．
所以x＋＝3．
方程两边乘x，得x2＋4＝3x．
整理，得x2－3x＋4＝0．
因为a＝1，b＝－3，c＝4，b2－4ac＝(－3)2－4×1×4＝－7＜0，
所以方程x2－3x＋4＝0无实数根．
所以函数y＝(x＞0)的图象上不存在点C，使d(O，C)＝3．
(3)设D(x，y)．
根据题意，得d(O，D)＝｜x－0｜＋｜x2－5x＋7－0｜＝｜x｜＋｜x2－5x＋7｜．
因为x2－5x＋7＝(x－)2＋，又x≥0，
所以d(O，D)＝x＋x2－5x＋7＝x2－4x＋7＝(x－2)2＋3．
所以当x＝2时，d(O，D)有最小值3，此时点D的坐标是(2，1)．
(4)如图5，以M为原点，MN所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy．将函数y＝－x的图象沿y轴正方向平移，直到与景观湖边界所在曲线有交点时停止．设交点为E，过点E作EH⊥MN，垂足为H．修建方案是：先沿MN方向修建到H处，再沿HE方向修建到E处．
理由：设过点E的直线l1与x轴相交于点F．在景观湖边界所在曲线上任取一点P，过点P作直线l2∥l1，l2与x轴相交于点G．因为∠EFH＝45°，所以EH＝FH，d(O，E)＝OH＋EH＝OF．同理d(O，P)＝OG．因为OG≥OF，所以d(O，P)≥d(O，E)．因此，上述方案修建的道路最短．
景观湖
O(M)
x
y
l1
l2
P
G
H
F
E
N
图7
（2019·连云港）{解析}本题考查了四边形综合题目，考查了正方形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键．问题情境：过点B作BF∥MN分别交AE、CD于点G、F，证出四边形MBFN为平行四边形，得出NF＝MB，证明△ABE≌△BCF得出BE＝CF，即可得出结论；
问题探究：（1）连接AQ，过点Q作HI∥AB，分别交AD、BC于点H、I，证出△DHQ是等腰直角三角形，HD＝HQ，AH＝QI，证明Rt△AHQ≌Rt△QIE得出∠AQH＝∠QEI，得出△AQE是等腰直角三角形，得出∠EAQ＝∠AEQ＝45°，即可得出结论；
（2）连接AC交BD于点O，则△APN的直角顶点P在OB上运动，设点P与点B重合时，则点P′与点D重合；设点P与点O重合时，则点P′的落点为O′，由等腰直角三角形的性质得出∠ODA＝∠ADO′＝45°，当点P在线段BO上运动时，过点P作PG⊥CD于点G，过点P′作P′H⊥CD交CD延长线于点H，连接PC，证明△APB≌△CPB得出∠BAP＝∠BCP，证明Rt△PGN≌Rt△NHP'得出PG＝NH，GN＝P'H，由正方形的性质得出∠PDG＝45°，易得出PG＝GD，得出GN＝DH，DH＝P'H，得出∠P'DH＝45°，故∠P'DA＝45°，点P'在线段DO'上运动；过点S作SK⊥DO'，垂足为K，即可得出结果；
问题拓展：延长AG交BC于E，交DC的延长线于Q，延长FH交CD于P，则EG＝AG＝ EQ \F(5,2)，PH＝FH，得出AE＝5，由勾股定理得出BE＝3，得出CE＝BC﹣BE＝1，证明△ABE∽△QCE，得出QE＝ EQ \F(1,3)AE＝ EQ \F(5,3)，AQ＝AE+QE＝ EQ \F(20,3)，证明△AGM∽△ABE，得出AM＝ EQ \F(25,8)，由折叠的性质得：AB'＝EB＝3，∠B'＝∠B＝90°，∠C'＝∠BCD＝90°，求出B'M＝ EQ \F(7,8)，AC'＝1，证明△AFC'∽△MAB'，得出AF＝ EQ \F(25,7)，DF＝4﹣ EQ \F(25,7)＝ EQ \F(3,7)，证明△DFP∽△DAQ，得出FP＝ EQ \F(5,7)，得出FH＝ EQ \F(1,2)FP＝ EQ \F(5,14)．
{答案}解：
问题情境：
解：线段DN、MB、EC之间的数量关系为：DN+MB＝EC；理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABE＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝CD，AB∥CD，
过点B作BF∥MN分别交AE、CD于点G、F，如图1所示：
∴四边形MBFN为平行四边形，∴NF＝MB，∴BF⊥AE，∴∠BGE＝90°，
∴∠CBF+∠AEB＝90°，∵∠BAE+∠AEB＝90°，∴∠CBF＝∠BAE，
在△ABE和△BCF中， EQ \B\lc\{(\a\al(∠BAE＝∠CBF,AB＝BC,∠ABE＝∠BCF))，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴BE＝CF，
∵DN+NF+CF＝BE+EC，∴DN+MB＝EC；
问题探究：
解：（1）连接AQ，过点Q作HI∥AB，分别交AD、BC于点H、I，如图2所示：
∵四边形ABCD是正方形，∴四边形ABIH为矩形，∴HI⊥AD，HI⊥BC，HI＝AB＝AD，
∵BD是正方形ABCD的对角线，∴∠BDA＝45°，∴△DHQ是等腰直角三角形，HD＝HQ，AH＝QI，
∵MN是AE的垂直平分线，∴AQ＝QE，
在Rt△AHQ和Rt△QIE中， EQ \B\lc\{(\a\al(AQ＝QE,AH＝QI))，∴Rt△AHQ≌Rt△QIE（HL），
∴∠AQH＝∠QEI，∴∠AQH+∠EQI＝90°，∴∠AQE＝90°，∴△AQE是等腰直角三角形，
∴∠EAQ＝∠AEQ＝45°，即∠AEF＝45°；
（2）连接AC交BD于点O，如图3所示：
则△APN的直角顶点P在OB上运动，
设点P与点B重合时，则点P′与点D重合；设点P与点O重合时，则点P′的落点为O′，
∵AO＝OD，∠AOD＝90°，∴∠ODA＝∠ADO′＝45°，
当点P在线段BO上运动时，过点P作PG⊥CD于点G，过点P′作P′H⊥CD交CD延长线于点H，连接PC，
∵点P在BD上，∴AP＝PC，在△APB和△CPB中， EQ \B\lc\{(\a\al(AP＝PC,BP＝BP,AB＝BC))，∴△APB≌△CPB（SSS），
∴∠BAP＝∠BCP，∵∠BCD＝∠MPA＝90°，∴∠PCN＝∠AMP，∵AB∥CD，
∴∠AMP＝∠PNC，∴∠PCN＝∠PNC，∴PC＝PN，∴AP＝PN，∴∠PNA＝45°，
∴∠PNP′＝90°，∴∠P′NH+PNG＝90°，
∵∠P′NH+∠NP′H＝90°，∠PNG+∠NPG＝90°，
∴∠NPG＝∠P′NH，∠PNG＝∠NP′H，
由翻折性质得：PN＝P′N，
在△PGN和△NHP'中， EQ \B\lc\{(\a\al(∠NPC＝∠P′NH,PN＝P′N,∠PNG＝∠NP′H))，∴△PGN≌△NHP'（ASA），
∴PG＝NH，GN＝P'H，∵BD是正方形ABCD的对角线，∴∠PDG＝45°，
易得PG＝GD，∴GN＝DH，∴DH＝P'H，∴∠P'DH＝45°，故∠P'DA＝45°，
∴点P'在线段DO'上运动；过点S作SK⊥DO'，垂足为K，∵点S为AD的中点，
∴DS＝2，则P'S的最小值为 EQ \R(,2)；
问题拓展：
解：延长AG交BC于E，交DC的延长线于Q，延长FH交CD于P，如图4：
则EG＝AG＝ EQ \F(5,2)，PH＝FH，
∴AE＝5，
在Rt△ABE中，BE＝3，
∴CE＝BC﹣BE＝1，
∵∠B＝∠ECQ＝90°，∠AEB＝∠QEC，
∴△ABE∽△QCE，∴ EQ \F(AE,QE)＝ EQ \F(BE,CE)＝3，∴QE＝ EQ \F(1,3)AE＝ EQ \F(5,3)，
∴AQ＝AE+QE＝ EQ \F(20,3)，∵AG⊥MN，∴∠AGM＝90°＝∠B，
∵∠MAG＝∠EAB，∴△AGM∽△ABE，∴ EQ \F(AM,AE)＝ EQ \F(AG,AB)，即 EQ \F(AM,5)＝ EQ \F( EQ \F(5,2),4)，解得：AM＝ EQ \F(25,8)，
由折叠的性质得：AB'＝EB＝3，∠B'＝∠B＝90°，∠C'＝∠BCD＝90°，
∴B'M＝ EQ \F(7,8)，AC'＝1，∵∠BAD＝90°，∴∠B'AM＝∠C'FA，
∴△AFC'∽△MAB'，∴ EQ \F(AF,AM)＝ EQ \F(AC′,B′M)＝ EQ \F(1, EQ \F(7,8))，解得：AF＝ EQ \F(25,7)，∴DF＝4﹣ EQ \F(25,7)＝ EQ \F(3,7)，
∵AG⊥MN，FH⊥MN，∴AG∥FH，∴AQ∥FP，∴△DFP∽△DAQ，
∴ EQ \F(FP,AQ)＝ EQ \F(DF,AD)，即 EQ \F(FP, EQ \F(20,3))＝ EQ \F( EQ \F(3,7),4)，解得：FP＝ EQ \F(5,7)，∴FH＝ EQ \F(1,2)FP＝ EQ \F(5,14)．
（2019·淮安）{解析}本题考查了图形的变换.图形的旋转中，线段的长度保持不变，构建一个等腰三角形.①利用等腰三角形的性质求出角度；②判定两直线的位置关系，可以根据同旁内角的和等于180度解决问题；（2）合理使用圆的定义和圆周角的度数等于其弧所对的圆心角的度数的一半，再利用平行线的判定，得到两直线平行；（3）合理使用已有结论（两直线平行），根据点在运动中构成三角形的两边关系求出线段的最小值.
{答案}（1）①.∵PB=PE，∠BPE=，∴∠BEP=；
②见答图（1）.直线AB∥CE.∵△ABC是等腰三角形，AD是底边BC上的中线，∠BAC=100°∴直线AD是△ABC的对称轴，∴∠ABE=∠ACE.易求∠ABE=∠ACE= ,∴AB∥CE；
（2）见答题（2）由题意可知PB=PE=PC，则点B、E、C三点是以点P为圆心，PB长为半径一个圆上.∴∠BCE=,即∠BAC+∠ACE=1,∴AB∥CE；
（3）连接PC、CE、AE.由上可得AB∥CE，
∵PA+PE PA+PE∴当AE=AC时，AE最小，最小值为3.
答图（1） 答图（2） 答图（3）
答案
（2019·常州）{解析}本题考查了新定义问题、点到圆的最大距离、扇形的面积、尺规作图、动态问题、探究问题等内容．（1）易知直径是圆有最大的弦；在“窗户形”图形中，中利用点到圆的最大距离的线段在点与圆心的连心线上找，据此可求该图形的宽距．（2）解答本问的两个问题都遵循“一找二求”原则：找出符合条件的图形，再根据条件求相应结论．具体思路参照答图2至答图4，充分利用数形结合思想与分类思想，并利用勾股定理进行求解即可．
{答案}解：（1）①2（直径是圆的宽距）；
②＋1．（如答图1，点A与半圆圆心的连线与半圆相交于点D，则AD的长最大）
（2）①如答图2所示，分别以A、B为圆心，以AB为半径所作的圆心角为120°的两条弧所形成的阴影部分即为点C所在的区域．
S阴影＝2(－)＝．
第28题答图1
第28题答图2
②2－1≤x≤3－1或1－3≤x≤1－2．
第28题答图3 第28题答图4