2018-2019学年上海市杨浦区九上期中数学试卷

这是一份2018-2019学年上海市杨浦区九上期中数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共6小题；共30分）
1. 如果 5x=6y，那么下列结论正确的是
A. x:6=y:5B. x:5=y:6C. x=5，y=6D. x=6，y=5

2. 下列说法正确的是
A. 菱形都相似
B. 正六边形都相似
C. 矩形都相似
D. 一个内角为 80∘ 的等腰三角形都相似

3. 如图，点 B 在线段 AC 上，且 BCAB=ABAC，设 AC=2，则 AB 的长为
A. 5−12B. 5+12C. 5−1D. 5+1

4. 在 △ABC 中，∠C=90∘，CD⊥AB 于点 D，下列式子表示 sinB 错误的是
A. CDBCB. ACABC. ADACD. CDAC

5. 已知 △ABC 和 △DEF，下列条件中一定能推得 △ABC 与 △DEF 相似的是
A. ABBC=ACDE=EFDFB. ABEF=ACDE=BCDF
C. ABEF=DEAC 且 ∠A=∠ED. ABEF=BCDF 且 ∠B=∠E

6. 如果一个直角三角形的两条边长分别是 6 和 8，另一个与它相似的直角三角形的边长分别是 3，4 及 x，那么 x 的值
A. 只有 1 个B. 可以有 2 个C. 可以有 3 个D. 可以有无数个

二、填空题（共12小题；共60分）
7. 已知A，B两地的实际距离为 100 千米，地图上的比例尺为 1:2000000，则A，B两地在地图上的距离是 cm．

8. 已知线段 b 是线段 a，c 的比例中项，如果 a=3，c=2，那么 b= ．

9. 在 △ABC 中，若 ∠C=90∘，AB=10，sinA=25，则 BC= ．

10. 如图，AD，BC 相交于点 O，点 E，F 分别在 BC，AD 上，AB∥CD∥EF，如果 CE=2，EB=5，AF=3，那么 AD= ．

11. 已知点 D，E 分别在 △ABC 的边 AB，AC 上，如果 ADDB=AEEC=12，DE=3，那么 BC 的长为 ．

12. 如图，在 △ABC 中，点 E，D 在边 AC 上，点 F，M 在边 AB 上，且 AE=ED=DC，FE∥MD∥BC，如果 FD 的延长线交 BC 的延长线于 N，那么 FEBN 的值为 ．

13. 如图，线段 AE，BD 交于点 C，如果 AC=9，CE=4，BC=CD=6，DE=3，那么 AB= ．

14. 如果 a0 为非零向量 a 方向上的单位向量，那么 a= a0．

15. 如图，在矩形 ABCD 中，AD=3，AB=8，点 P 是边 AB 上一点，若 △APD 与 △BPC 相似，则满足条件的点 P 有 个．

16. 如图，将 ∠BAC 放置在 5×5 的正方形网格中，如果顶点 A，B，C 均在格点上，那么 ∠BAC 的正切值为 ．

17. 如图，BD 是四边形 ABCD 的对角线，AB=BC=6，∠ABC=60∘，点 G1，G2 分别是 △ABD 和 △DBC 的重心，则点 G1，G2 间的距离为 ．

18. 矩形 ABCD 中，E 是 AB 的中点（如图），将 △BCE 沿 CE 翻折，点 B 落在点 F 处，连接 AF，如果 tan∠DCE=43，那么 AFCE 的比值为 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 计算：sin60∘−cs45∘sin30∘−1−ct30∘2．

20. 在 △ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，DE∥BC，AD:BD=1:2，点 M 为 EC 的中点，BC=a，AC=b．
（1）填空：DE= ；DM= ；（结果用 a，b 表示）
（2）在图中分别作出向量 DM 在向量 DE 、向量 DB 方向上的分向量（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）．

21. 如图，在 △ABC 中，DE∥BC，△ABC 的高 AM 交 DE 于点 N，BC=15，AM=10，DE=MN，求 MN 的长．

22. 如图，△ABC 中，∠C=90∘，△ABC 的周长为 24，sinB=35，点 D 为边 BC 的中点．
（1）求 BC 的长；
（2）求 ∠BAD 的余切值．

23. 如图，在正方形 ABCD 中，E 为对角线 AC 上一点，CE=CD，连接 EB，ED，延长 BE 交 AD 于点 F．求证：DF2=EF⋅BF．

24. 已知：点 E 在线段 AB 上，AEEB=12．
（1）如图 1，AB 是 △ABC 的边，作 EF∥BC 交边 AC 于点 F，连接 BF．求 S△BEFS△ABC 的值．
（2）如图 2，AB 是梯形 ABCD 的一腰，AD∥BC，且 BC=2AD，作 EF∥BC 交边 DC 于点 F，连接 BF．求 S△BEFS梯形ABCD 的值．

25. 在 △ABC 中，∠ACB=90∘，AC=BC=2，点 C 在直线 m 上，m∥AB，∠DBE=45∘，其中点 D，E 分别在直线 AC，m 上，将 ∠DBE 绕点 B 旋转（点 D，E 都不与点 C 重合）．
（1）当点 D 在边 AC 上时（如图 1），设 CE=x，CD=y，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出定义域；
（2）当 △BCE 为等腰三角形时，求 CD 的长．
答案
第一部分
1. A【解析】∵5x=6y，
∴x6=y5，故选项A正确．
2. B【解析】A、所有的菱形，边长相等，所以对应边成比例，角不一定对应相等，所以不一定都相似，故本选项错误；
B、所有的正六边形，边长相等，所以对应边成比例，角都是 120∘，相等，所以都相似，故本选项正确；
C、所有的矩形，对应角的度数一定相同，但对应边的比值不一定相等，故本选项错误；
D、一个内角为 80∘ 的等腰三角形可能是顶角 80∘ 也可能是底角是 80∘，无法判断，此选项错误；
故选：B．
3. C【解析】∵BCAB=ABAC，
∴AB2=2×2−AB，
∴AB2+2AB−4=0，
解得，AB1=5−1，AB2=5+1（舍去）．
4. D【解析】∵ 在 Rt△ABC 中，CD⊥AB 于点 D，
∴sinB=ACAB=CDBC=ADAC．
5. B
【解析】A、 △ABC 与 △DEF 的三组边不是对应成比例，所以不能判定 △ABC 与 △DEF 相似．故本选项错误；
B、 △ABC 与 △DEF 的三组边对应成比例，所以能判定 △ABC 与 △DEF 相似．故本选项正确；
C、 △ABC 与 △DEF 的两组不是对应边的比相等且夹角对应相等，所以不能判定 △ABC 与 △DEF 相似．故本选项错误；
D、 △ABC 与 △DEF 的两组不是对应边成比例，所以不能判定 △ABC 与 △DEF 相似．故本选项错误；
故选：B．
6. B
第二部分
7. 5
【解析】根据比例尺 = 图上距离 : 实际距离．
100 千米 =10000000 厘米得：A，B两地的图上距离为 10000000÷2000000=5 cm．
8. 6
【解析】∵ 线段 b 是线段 a，c 的比例中项，
∴b2=ac，
∵a=3，c=2，
∴b=ac=6．
9. 4
【解析】∵sinA=25=BCAB，AB=10，
∴BC=4．
10. 215
【解析】∵AB∥CD∥EF，
∴BECE=AFDF，
∵CE=2，EB=5，AF=3，
∴52=3DF，
∴DF=65，
∴AD=AF+DF=3+65=215．
11. 33
【解析】如图，
∵ADDB=AEEC=12，
∴ADAB=AEAC=13，
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴DEBC=ADAB=13，
∵DE=3，
∴BC=33．
12. 14
【解析】∵EF∥DM∥BC，AE=DE=CD，
∴EFBC=AEAC=13，
∵∠EDF=∠CDN，∠FED=∠NCD，ED=DC，
∴△EFD≌△CNDAAS，
∴EF=CN，
∵CN:BC=1:3，
∴CN:BN=1:4，
∴EFBN=14．
13. 92
【解析】∵AC=9，CE=4，BC=CD=6，
∴ACBC=CDCE=32，
∵∠ACB=∠DCE，
∴△ACB∽△DCE，
∴ABDE=32，
∴DE=92．
14. ∥
【解析】∵a0 为非零向量 a 方向上的单位向量，
∴a=∥a0．
15. 3
【解析】设 AP 为 x．
∵AB=8，
∴PB=8−x，
① AD 和 PB 是对应边时，
∵△APD 与 △BPC 相似，
∴ADPB=APBC，即 38−x=x3，
整理得 x2−8x+9=0，解得 x1=4+7，x2=4−7；
② AD 和 BC 是对应边时，
∵△APD 与 △BPC 相似，
∴ADBC=APPB，即 33=x8−x，解得 x=4．
∴ 当 AP=4+7,4,4−7 时，△APD 与 △BPC 相似，
满足条件的点 P 有 3 个．
16. 1
【解析】如图所示，连接 BC，
则 AB=BC=12+32=10，AC=22+42=25，
∴AB2+BC2=10+10=20=AC2，
∴△ABC 是等腰直角三角形，且 ∠ABC=90∘，
∴∠BAC=45∘，则 tan∠BAC=1．
17. 2
【解析】取 BD 的中点 G，连接 AG，CG，AC．
∵ 点 G1，G2 分别是 △ABD 和 △DBC 的重心，
∴G1 在 AG 上，G2 在 CG 上，
∴GG1GA=GG2GC=13，
∵∠AGC=∠AGC，
∴△GG1G2∽△GAC，
∴G1G2AC=GG1GA=13，
∵AB=BC=6，∠ABC=60∘，
∴△ABC 是等边三角形，
∴AC=6，
∴G1G2=2．
18. 1825
【解析】如图，
∵CD∥AB，
∴∠DCE=∠BEC，
∵tan∠DCE=43，
∴ 可设 BC=4a，BE=3a，
∴ 由勾股定理可得 CE=5a，
由轴对称的性质，可得 CE 垂直平分 BF，
∴BG=BC⋅BECE=125a，
∴BF=245a，
∵E 是 AB 的中点，
∴AE=BE=FE，
∴∠EAF=∠EFA，∠EBF=∠EFB，
又 ∵∠EAF+∠EFA+∠EBF+∠EFB=180∘，
∴∠AFB=90∘，
∴Rt△ABF 中，AF=AB2−BF2=185a，
∴AFCE=185a5a=1825．
第三部分
19. 原式=32−2212−3−1=3−2−3+1=1−2.
20. （1） 13a；13a+13b
【解析】∵AD:BD=1:2，
∴AD:AB=1:3，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴DEBC=ADAB=13，
∵BC=a，
∴DE=13a；
∵ 点 M 为 EC 的中点，
∴EM=13AC，
∴EM=13AC=13b，
∴DM=DE+EM=13a+13b．
（2） 如图．
向量 DM 在向量 DE 、向量 DB 方向上的分向量分别是 DP 和 DQ．
21. 设 MN=x，则 AN=10−x，
∵DE∥BC，
∴ANAM=DEBC，
即 10−x10=x15，
即 MN 的长为 6．
22. （1） ∵sinB=35，
∴ACAB=35，
设 AB=5k，AC=3k，则 BC=4k，
∵△ABC 的周长为 24，
∴3k+4k+5k=24，
∴12k=24，
∴k=2，
∴AB=10，AC=6，BC=8．
（2） 过点 D 作 DE⊥AB，垂足为 E．
∵AD 为中线，
∴S△ABD=12S△ABC=12，
∴12×10DE=12，
∴DE=125，
在 Rt△ACD 中，AD2=CD2+AC2，
∴AD=213，
∴AE=AD2−DE2=345，
∴ct∠BAD=AEDE=345125=176．
23. 连接 BD．
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴BC=CD，且 ∠BCE=∠DCE，
又 ∵CE 是公共边，
∴△BEC≌△DEC，
∴∠BEC=∠DEC．
∵CE=CD，
∴∠DEC=∠EDC．
∵∠BEC=∠DEC，∠BEC=∠AEF，
∴∠EDC=∠AEF．
∵∠AEF+∠FED=∠EDC+∠ECD，
∴∠FED=∠ECD．
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴∠ECD=12∠BCD=45∘，∠ADB=12∠ADC=45∘，
∴∠ECD=∠ADB．
∴∠FED=∠ADB．
又 ∵∠BFD 是公共角，
∴△FDE∽△FBD，
∴EFDF=DFBF，
即 DF2=EF⋅BF．
24. （1） 如图 1，
∵AEEB=12，
∴AEAB=13，
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴AEAB=EFBC=13，S△AEFS△ABC=AEAB2=19，
设 S△AEF=a，则 S△ABC=9a，
∴S四边形EBCF=9a−a=8a，
∵EFBC=13，
∴S△BEFS△BFC=EFBC=13，
∴S△BEF=2a，
∴S△BEFS△ABC=2a9a=29．
（2） 如图 2，设 AD=x，则 BC=2x，
连接 AC，交 EF 于 G，连接 AF，
∵EF∥BC，
∴△AEG∽△ABC，
∴AEAB=EGBC，
∴13=EG2x，EG=23x，
∵AD∥EF∥BC，
∴DFFC=AEEB=12，
同理可得 FGAD=FCDC，
∴FGx=23，FG=23x，
∴EF=23x+23x=43x，
∵S△AEFS△BEF=AEBE=12，
设 S△AEF=S，则 S△BEF=2S，
∴S△ADFS△AEF=ADEF=x43x=34，
∴S△ADF=34S，
∵S△BEFS△BFC=EFBC=43x2x=23，2SS△BFC=23，
∴S△BFC=3S，
∴S△BEFS梯形ABCD=2SS+2S+3S+34S=827．
25. （1） ∵m∥AB，
∴∠ECB=∠CBA=45∘．
∴∠A=∠ECB=45∘．
∵∠DBA=45∘−∠CBD，∠EBC=45∘−∠CBD，
∴∠DBA=∠EBC．
∴△ADB∽△CEB．
∴ADCE=ABBC，即 2−yx=222．
∴y=2−2x0