2018-2019学年上海市闵行区华东师大二附中附属初中九上期中数学试卷

这是一份2018-2019学年上海市闵行区华东师大二附中附属初中九上期中数学试卷，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共6小题；共30分）
1. 已知线段 a，b，c，d，如果 ab=cd，那么下列式子中一定正确的是
A. ac=bdB. ad=bcC. ac=bdD. ab=cd

2. 在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，BC=1，那么 AB 的长为
A. sinAB. csAC. 1csAD. 1sinA

3. 如果把一个锐角三角形三边的长都扩大为原来的两倍，那么锐角 A 的余切值
A. 扩大为原来的两倍B. 缩小为原来的 12
C. 不变D. 不能确定

4. 下列关于向量的说法中，不正确的是
A. 3a−b=3a−3b
B. 若 a=3b，则 a=3b 或 a=−3b
C. 3a=3a
D. mna=mna

5. 如图，在 △ABC 中，∠B=80∘，∠C=40∘，直线 l 平行于 BC，现将直线 l 绕点 A 逆时针旋转，所得直线分别交边 AB 和 AC 于点 M，N，若 △AMN 和 △ABC 相似，则旋转角为
A. 20∘B. 40∘C. 60∘D. 80∘

6. 如图，在 △ABC 中，BF 平分 ∠ABC，AF⊥BF 于点 F，D 为 AB 的中点，连接 DF 延长交 AC 于点 E．若 AB=10，BC=16，则线段 EF 的长为
A. 2B. 3C. 4D. 5

二、填空题（共12小题；共60分）
7. 已知 2a=3b，那么 a:b= ．

8. 在比例尺是 1:40000 的地图上，若某条道路长约 5 cm，则它的实际长度约为 千米．

9. 在 △ABC 中，点 D，E 分别是边 AB，AC 的中点，那么 △ADE 的面积与 △ABC 的面积的比是 ．

10. 如果点 P 把线段 AB 分割成 AP 和 PB 两段（AP>PB），其中 AP 是 AB 与 PB 的比例中项，那么 AP:AB 的值为 ．

11. 如果一个斜坡的坡度 i=1:33，那么该斜坡的坡角为 度．

12. 如图，E 是平行四边形 ABCD 的边 AD 上一点，AE=12ED，CE 与 BD 相交于点 F，BD=10，那么 DF= ．

13. 在 △ABC 中，csB=22，sinC=35，AC=5．则 △ABC 的面积是 ．

14. 在 △ABC 中，若中线 AD 和中线 CE 相交于 G，则 AG:AD= ．

15. 已知 BD 是平行四边形 ABCD 的对角线，那么 BD−BC= ．

16. 如图，矩形 EFGH 内接于 △ABC，且边 FG 落在 BC 上．若 BC=3，AD=2，EF=23EH，那么 EH 的长为 ．

17. 如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点 A，B，C，D 都在这些小正方形的顶点上，AB，CD 相交于点 P，则 tan∠APD 的值是 ．

18. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，∠B=30∘，BC=3．点 D 是 BC 边上一动点（不与点 B，C 重合），过点 D 作 DE⊥BC 交 AB 边于点 E，将 ∠B 沿直线 DE 翻折，点 B 落在射线 BC 上的点 F 处．当 △AEF 为直角三角形时，BD 的长为 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 计算：2cs230∘+ct45∘tan30∘+1−sin60∘．

20. 如图，在边长为 1 的小正方形网格中，点 O，A，B，P 都在这些小正方形的顶点上，记向量 OA=a，OB=b．
（1）求作 OP 在 a，b 方向上的分向量；
（2）用 a，b 的线性组合表示向量 OP．

21. 如图，Rt△ABC 中，∠C=90∘，AD 为 ∠BAC 的角平分线，DE∥AC 交 AB 于 E，且 AD=2，AC=3．
（1）求 ∠B 的度数；
（2）求 S△ADE:S△ADC．

22. 某国发生 8.1 级强烈地震，我国积极组织抢险队赴地震灾区参与抢险工作，如图，某探测对在地面 A，B 两处均探测出建筑物下方 C 处由生命迹象，已知探测线与地面的夹角分别是 25∘ 和 60∘，且 AB=4 米，求该生命迹象所在位置 C 的深度（结果精确到 1 米，参考数据：sin25∘≈0.4，cs25∘≈0.9，tan25∘≈0.5，3≈1.7）．

23. 如图：四边形 ABCD 对角线 AC 与 BD 相交于点 O，OD=2OA，OC=2OB．
（1）求证：△AOB∽△DOC．
（2）点 E 在线段 OC 上，若 AB∥DE，求证：OD2=OE⋅OC．

24. 从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．
（1）如图 1，在 △ABC 中，CD 为角平分线，∠A=40∘，∠B=60∘，求证：CD 为 △ABC 的完美分割线；
（2）在 △ABC 中，∠A=48∘，CD 是 △ABC 的完美分割线，且 △ACD 为等腰三角形，求 ∠ACB 的度数；
（3）如图 2，△ABC 中，AC=2，BC=2，CD 是 △ABC 的完美分割线，且 △ACD 是以 CD 为底边的等腰三角形，求完美分割线 CD 的长．

25. 已知一个矩形纸片 OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点 A11,0，点 B0,6，点 P 为 BC 边上的动点（点 P 不与点 B，C 重合），经过点 O，P 折叠该纸片，得点 Bʹ 和折痕 OP．设 BP=t．
（1）如图①，当 ∠BOP=30∘ 时，求点 P 的坐标；
（2）如图②，经过点 P 再次折叠纸片，使点 C 落在直线 PBʹ 上，得点 Cʹ 和折痕 PQ，若 AQ=m，求 m（用含有 t 的式子表示）；
（3）在（2）的条件下，当点 Cʹ 恰好落在边 OA 上时，求点 P 的坐标（直接写出结果）．
答案
第一部分
1. C
2. D
3. C
4. B
5. B
【解析】如图，
若 △AMN 和 △ABC 相似，则 △AMN∽△ACB，
∴∠AMN=∠C=40∘，
∴ 旋转角为 80∘−40∘=40∘．
6. B
第二部分
7. 3:2
8. 2
9. 14
【解析】因为点 D，E 分别是边 AB，AC 的中点，
所以 DE 是 △ABC 的中位线，
所以 △ADE∽△ABC，
所以 △ADE 的面积与 △ABC 的面积的比值是对应边 DE 与 BC 长度之比的平方，即 S△ADES△ABC=DEBC2=122=14．
10. 5−12
11. 60
12. 4
13. 212
14. 2:3
15. BA
16. 32
17. 2
【解析】标出图中的点 E ，连接 BE 且与 CD 相交于点 F .
∵ 四边形 BCED 是正方形，
∴DF=CF=12CD，BF=12BE，CD=BE，CD⊥BE．
∴BF=CF．
根据题意得 AC∥BD．
∴△ACP∽△BDP．
∴DP:CP=BD:AC=1:3．
∴DP:DF=1:2．
∴DP=PF=12CF=12BF．
在 Rt△PBF 中，tan∠BPF=BFPF=2．
∵∠APD=∠BPF，
∴tan∠APD=2．
18. 1 或 2
【解析】分情况讨论：
（i）当点 F 在线段 BC 上时，△AEF 要为直角三角形，则必有 ∠AFE=90∘．
因为将 ∠B 沿直线 DE 翻折，点 B 落在射线 BC 上的点 F 处，
所以 BE=EF，∠B=∠BFE=30∘，
所以 ∠AEF=60∘．
所以 ∠EAF=30∘．
所以 AE=2EF．
所以 AB=3BE．
因为在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，∠B=30∘，BC=3，
所以 AB=23．
所以 BE=233．
因为 DE⊥BC，
所以 BD=32BE=1．
（ii）当点 F 在线段 BC 的延长线上时，△AEF 要为直角三角形，则必有 ∠EAF=90∘，同理可得 BD=2．
第三部分
19. 原式=2×322+133+1−32=32+3−32−32=3−3.
20. 略
21. （1） 在 Rt△ACD 中，sin∠ADC=ACAD=32．
∴∠ADC=60∘．
∴∠CAD=30∘．
又 AD 为 ∠BAC 的角平分线，
∴ 得 ∠BAC=60∘．
∴∠B=30∘．
（2） 在 Rt△ACD 中，∠CAD=30∘．
∴CD=12AD=1，
∴S△ADC=12AC⋅CD=12×3×1=32．
过点 E 作 EF⊥AD 交 AD 于 F．
∵DE∥AC，
∴∠EDA=∠CAD=∠EAD=30∘．
∴△EDA 为等腰三角形．
∴AF=DF=1．
∴EF=DF⋅tan30∘=1×33．
∴S△ADE=12AD⋅EF=12×2×33=33．
∴S△ADE:S△ADC=33:32=2:3．
22. 作 CD⊥AB 交 AB 延长线于 D，
设 CD=x 米，
在 Rt△ADC 中，∠DAC=25∘，
所以 tan25∘=CDAD=0.5，
所以 AD=CD0.5=2x，
Rt△BDC 中，∠DBC=60∘，
由 tan60∘=x2x−4=3，
解得：x≈3．
即生命迹象所在位置 C 的深度约为 3 米．
23. （1） ∵OD=2OA，OC=2OB，
∴OAOD=OBOC=12，
又 ∠AOB=∠DOC，
∴△AOB∽△DOC．
（2） 由（1）得：△AOB∽△DOC，
∴∠ABO=∠DCO，
∵AB∥DE，
∴∠ABO=∠EDO，
∴∠DCO=∠EDO，
∵∠DOC=∠EOD，
∴△DOC∽△EOD，
∴ODOE=OCOD，
∴OD2=OE⋅OC．
24. （1） 如图 1 中．
∵∠A=40∘，∠B=60∘，
∴∠ACB=80∘．
∴△ABC 不是等腰三角形．
∵CD 平分 ∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD=12∠ACB=40∘．
∴∠ACD=∠A=40∘．
∴△ACD 为等腰三角形．
∵∠DCB=∠A=40∘，∠CBD=∠ABC，
∴△BCD∽△BAC．
∴CD 是 △ABC 的完美分割线．
（2） ①当 AD=CD 时，如图 2，∠ACD=∠A=48∘．
∵△BDC∽△BCA，
∴∠BCD=∠A=48∘．
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96∘；
②当 AD=AC 时，如图 3 中，∠ACD=∠ADC=180∘−48∘2=66∘．
∵△BDC∽△BCA，
∴∠BCD=∠A=48∘．
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=114∘；
③当 AC=CD 时，如图 4 中，∠ADC=∠A=48∘．
∵△BDC∽△BCA，
∴∠BCD=∠A=48∘．
∵∠ADC>∠BCD，矛盾，舍弃，
∴∠ACB=96∘ 或 114∘．
（3） 由已知 AC=AD=2．
∵△BCD∽△BAC，
∴BCBA=BDBC，设 BD=x．
∴22=xx+2．
∵x>0，
∴x=3−1．
∵△BCD∽△BAC，
∴CDAC=BDBC=3−12．
∴CD=3−12×2=6−2．
25. （1） 点 P 的坐标为 23,6．
（2） m=16t2−116t+60 （3） 点 P 的坐标为 11−33,6 或 11+133,6．