2018-2019学年天津市南开区九上期中数学试卷

这是一份2018-2019学年天津市南开区九上期中数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 方程 x2−x=0 的解为
A. x1=x2=1B. x1=x2=0C. x1=0，x2=1D. x1=1，x2=−1

2. 下列图形中，△AʹBʹCʹ 与 △ABC 成中心对称的是
A. B.
C. D.

3. 用配方法解方程 3x2−6x+1=0，则方程可变形为
A. x−32=13B. 3x−32=13C. 3x−12=1D. x−12=23

4. 在下列二次函数中，其图象对称轴为直线 x=2 的是
A. y=x+22−3B. y=2x2−2
C. y=−2x2−2D. y=2x−22

5. 如图，∠AOB=90∘，∠B=30∘，△AʹOBʹ 可以看作是由 △AOB 绕点 O 顺时针旋转 α 角度得到的．若点 Aʹ 在 AB 上，则旋转角 α 的大小可以是
A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 90∘

6. 下随有关圆的一些结论：
①任意三点确定一个圆；
②相等的圆心角所对的弧相等；
③平分弦的直径垂宜于弦，并且平分弦所对的弧；
④圆内接四边形对角互补．
其中错误的结论有
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

7. 函数 y=ax2+ax+aa≠0 的图象可能是下列图象中的
A. B.
C. D.

8. 如图，四边形 ABCD 内接于 ⊙O，连接 OB，OD，若 ∠BOD=∠BCD，则 ∠A 的度数为
A. 60∘B. 70∘C. 120∘D. 140∘

9. 已知函数 y=ax2−2ax−1（a 是常数，a≠0），下列结论正确的是
A. 当 a=1 时，函数图象经过点 −1,1
B. 当 a=−2 时，函数图象与 x 轴没有交点
C. 若 a<0，函数图象的顶点始终在 x 轴的下方
D. 若 a>0，则当 x≥1 时，y 随 x 的增大而增大

10. 如图，AB 是圆 O 的弦，AB=202，点 C 是圆 O 上的一个动点，且 ∠ACB=45∘，若点 M，N 分别是 AB，BC 的中点，则 MN 的最大值是
A. 10B. 52C. 102D. 20

11. 如图，⊙O 的半径为 1，动点 P 从点 A 处沿圆周以每秒 45∘ 圆心角的速度逆时针匀速运动，即第 1 秒点 P 位于如图所示的位置，第 2 秒中 P 点位于点 C 的位置，⋯⋯，则第 2018 秒点 P 所在位置的坐标为
A. 22,22B. 0,1C. 0,−1D. 22,−22

12. 如图，抛物线 y=ax2+bx+3a≠0 的对称轴为直线 x=1，如果关于 x 的方程 ax2+bx−8=0a≠0 的一个根为 4，那么该方程的另一个根为
A. −4B. −2C. 1D. 3

二、填空题（共6小题；共30分）
13. 已知圆的直径是 13 cm，圆心到某条直线的距离是 6 cm，那么这条直线与该圆的位置关系是 ．

14. 已知点 Aa+1,1 关于原点的对称点在第四象限，则 a 的取值范围是 ．

15. 已知点 A 的坐标为 a,b，O 为坐标原点，连接 OA，将线段 OA 绕点 O 按逆时针方向旋转 90∘ 得 OA1，则点 A1 的坐标为 ．

16. 如图，有长为 24 厘米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形的花圃，且花圃的长可借一段墙体（墙体的最大可用长度 a=10 m），设 AB 的长为 x m，所围的花圃面积为 x m2，则当 x= 时，y 的值最大．

17. 在平面直角坐标系中，圆 P 的圆心是 2,aa>2，半径为 2，函数 y=x 的图象被圆 P 截得的弦 AB 的长为 23，则 a 的值是 ．

18. 如图，在直角三角形 ABC 中，∠ACB=90∘，CA=4，点 P 是 AC 的中点，连接 BP，线段即把图形 APCB（指半圆和三角形 ABC 组成的图形）分成两部分，则这两部分面积之差的绝对值是 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 已知 x，关于的方程 m−1x2−m−2x+14m=0．
（1）当 m 取何值时方程有一个实数根?
（2）当 m 取何值时方程有两个实数根?
（3）请你在（2）的条件下，取 m 的一个适当数值代入方程，并求出方程的解．

20. 已知，一次函数 y=ax2+bx+ca≠0 中的 x，y 满足下表：
x⋯−10123⋯y⋯⋯0−3−4−3m⋯
（1）求该二次函数的解析式；
（2）m 的值为 ；
（3）若 Ap,y1，Bp+1,y1 两点都在该函数的图象上，且 p<0，试比较 y1 与 y2 的大小．

21. 数学课上，老师提出利用尺规作图完成下面的问题：已知：平面内一点 A，求作：∠A，使 ∠A=30∘．小明同学的作法如下：如图①作射线 AB；②在射线 AB 上取一点 O，以 O 为圆心，OA 为半径作圆，与射线 AB 交于点 C；③以 C 为圆心，OC 为半径作弧，与 ⊙O 交于点 D，作射线 AD，∠DAB 即为所求作的角．老师说小明的作法是正确的．
（1）请你按照小明提示的作法完成作图；
（2）请你对小明的作图方法的正确性进行证明．

22. 如图，AB=AC=8，∠BAC=90∘，直线 l 与以 AB 为直径的 ⊙O 相切于点 B，点 D 是直线 l 上任意一动点，连接 DA 交 ⊙O 于点 E．
（1）当点 D 在 AB 上方且 BD=6 时，求 AE 的长；
（2）当 CE 恰好与 ⊙O 相切时，求 BD 的长．

23. 某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为 40 元，若销售价为 60 元，每天可售出 20 件，为迎接“双十一”，专卖店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，经市场调查发现，如果毎件童装降价 1 元，那么平均每天可多售出 2 件，设每件降价 x 元 x>0，平均每天可盈利 y 元．
（1）写出 y 与 x 的函数关系式；
（2）当该专卖店每件童装降价多少元时，平均每天盈利 400 元?
（3）该专卖店要想平均每天盈利 600 元，可能吗?请说明理由．

24. 探究：如图 1 和图 2，四边形 ABCD 中，已知 AB=AD，∠BAD=90∘，点 E，F 分别在 BC，CD 上，∠EAF=45∘．
（1）① 如图 1，若 ∠B，∠ADC 都是直角，把 △ABE 绕点 A 逆时针旋转 90∘ 至 △ADG，使 AB 与 AD 重合，直接写出线段 BE，DF 和 EF 之间的数量关系；
② 如图 2，若 ∠B，∠D 都不是直角，则当 ∠B 与 ∠D 满足 关系时，线段 BE，DF 和 EF 之间依然有 ① 中的结论存在，请你写出该结论的证明过程；
（2）拓展：如图 3，在 △ABC 中，∠BAC=90∘，AB=AC=22，点 D，E 均在边 BC 上，且 ∠DAE=45∘，若 BD=1，求 DE 的长．

25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点 A0,4，B1,0，C5,0，其对称轴与轴相交于点 M．
（1）求拋物线的解析式和对称轴；
（2）在抛物线的对称轴上，是否存在一点 P，使 △PAB 的周长最小?若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在请说明理由．
（3）连接 AC，在直线 AC 的下方的抛物线上，是否存在一点 N，使 △NAC 的面积最大?若存在，请求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由．
答案
第一部分
1. C
2. A
3. D
4. A
5. C
6. C
7. C
8. A
9. D【解析】A、当 a=1 时，函数解析式为 y=x2−2x−1，当 x=−1 时，y=1+2−1=2，
∴ 当 a=1 时，函数图象经过点 −1,2，
∴ A选项不符合题意；
B、当 a=−2 时，函数解析式为 y=−2x2+4x−1，
令 y=−2x2+4x−1=0，则 Δ=42−4×−2×−1=8>0，
∴ 当 a=−2 时，函数图象与 x 轴有两个不同的交点，
∴ B选项不符合题意；
C、 ∵y=ax2−2ax−1=ax−12−1−a，
∴ 二次函数图象的顶点坐标为 1,−1−a，
当 −1−a<0 时，有 a>−1，
∴ C选项不符合题意；
D、 ∵y=ax2−2ax−1=ax−12−1−a，
∴ 二次函数图象的对称轴为 x=1，
若 a>0，则当 x≥1 时，y 随 x 的增大而增大，
∴ D选项符合题意．
10. A
11. B
12. B【解析】∵ 关于 x 的方程 ax2+bx−8=0，有一个根为 4，
∴ 抛物线与 x 轴的一个交点为 4,0，
∵ 抛物线的对称轴为 x=1，
∴ 抛物线与 x 轴的另一个交点为 −2,0,
∴ 方程的另一个根为 x=−2．
第二部分
13. 相交
14. a<−1
15. −b,a
16. 143
17. 2+2
18. 4
第三部分
19. （1） 当 m−1=0，即 m=1 时，方程为一元一次方程，只有一个实数根．
−1−2x+14×1=0，
x=14．
（2） 当 m−1≠0 时，即 m≠1 时，该方程为一元一次方程，
Δ=−m−22−4m−1×14m≥0 ，
解得 m≤43 且 m≠1．
∴ 当 m≤43 且 m≠1 时方程有 2 个实数根．
（3） 当 m=0 时，代入方程 0−1x2−0−2x+14×0=0 ，
−x2+2x=0，解得 x1=0，x2=2．
20. （1） 设二次函数解析式为 y=ax−12−4，
把 −1,0 代入：0=a−1−12−4，
a=1，
∴ 解析式为 y=x−12−4，
y=x2−2x−3．
（2） 0
【解析】当 x=3 时，y=3−12−4=0，
∴m=0．
（3） ∵p<0，
∴p ∵ 对称轴为 x=1，
A，B 位于对称轴左侧且开口向上，
∴y1>y2．
21. （1） 如图所示：
（2） 连接 OD 、 OC．
由图可知，OB=OC=CD，
∴△OCD 为等边三角形．
∴∠COD=60∘．
∴∠DAC=12∠COD=30∘．
22. （1） 连接 OE，BE，
∵AB 为直径，
∴∠AEB=90∘，
∵BD 为切线，
∴AB⊥BD，
∴∠ABD=90∘，
在 Rt△ABD 中，AD=AB2+BD2=82+62=10，
∵12BE⋅AD=12AB⋅BD，
∴BE=6×810=245．
（2） 连接 OC，
∵∠BAC=90∘，
∴CA 为 ⊙O 的切线，
∵CE 为 ⊙O 的切线，
∴CA=CE，
而 OA=OE，
∴OC 垂直平分 AE，
∴∠1+∠3=90∘，
而 ∠1+∠2=90∘，
∴∠2=∠3，
而 AB=CA，∠CAO=∠ABD，
∴△ABD≌△CAO，
∴BD=AO=4．
23. （1） 根据题意
y=20+2x60−40−x，
y=−2x2+20x+4000 （2） 当 y=400 时，
−2x2+20x+400=400，
解得 x1=10，x2=0（舍）．
答：当每件童装降价 10 元时平均每天盈利 400 元．
（3） 不可能盈利 600 元．
当 y=600 时，600=−2x2+20x+400，
x2−10x+100=0，
Δ=−102−4×1×100=−300<0．
方程无实数根．
答：不可能盈利 600 元．
24. （1） ①EF=BE+DF；
②∠B+∠D=180∘
【解析】① 如图 1，
∵ 把 △ABE 绕点 A 逆时针旋转 90∘ 至 △ADG，使 AB 与 AD 重合，
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，BE=DG，∠B=∠ADG=90∘，
∵∠ADC=90∘，
∴∠ADC+∠ADG=90∘，
∴F，D，G 共线，
∵∠BAD=90∘，∠EAF=45∘，
∴∠BAE+∠DAF=45∘，
∴∠DAG+∠DAF=45∘，
即 ∠EAF=∠GAF=45∘，
在 △EAF 和 △GAF 中，
∵AF=AF,∠EAF=∠GAF,AE=AG,
∴△EAF≌△GAFSAS，
∴EF=GF，
∵BE=DG，
∴EF=GF=DF+DG=BE+DF．
② 理由是：
如图 2，把 △ABE 绕 A 点旋转到 △ADG，使 AB 和 AD 重合，
则 AE=AG，∠B=∠ADG，∠BAE=∠DAG，
∵∠B+∠ADC=180∘，
∴∠ADC+∠ADG=180∘，
∴C，D，G 在一条直线上，
与 ① 同理得，∠EAF=∠GAF=45∘，
在 △EAF 和 △GAF 中，AF=AF,∠EAF=∠GAF,AE=AG,
∴△EAF≌△GAFSAS，
∴EF=GF，
∵BE=DG，
∴EF=GF=BE+DF．
（2） ∴△ABC 中，AB=AC=22，∠BAC=90∘，
∴∠ABC=∠C=45∘，
由勾股定理得：BC=AB2+AC2=4，
如图 3，把 △AEC 绕 A 点旋转到 △AFB，使 AB 和 AC 重合，连接 DF，
则 AF=AE，∠FBA=∠C=45∘，∠BAF=∠CAE，
∵∠DAE=45∘，
∴∠FAD=∠FAB+∠BAD=∠CAE+∠BAD=∠BAC−∠DAE=90∘−45∘=45∘，
∴∠FAD=∠DAE=45∘，
在 △FAD 和 △EAD 中 AD=AD,∠FAD=∠EAD,AF=AE,
∴△FAD≌△EADSAS，
∴DF=DE，
设 DE=x，则 DF=x，
∵BC=4，
∴BF=CE=4−1−x=3−x，
∵∠FBA=45∘，∠ABC=45∘，
∴∠FBD=90∘，
由勾股定理得：DF2=BF2+BD2，
x2=3−x2+12，
解得：x=53，
即 DE=53．
25. （1） 因为抛物线在 x 轴上的交点为 1,0 和 5,0，
设抛物线的解析式为 y=ax−1x−5，
因为抛物线过 A0,4，
所以 a×0−1×0−5=4，
所以 a=45，
所以抛物线解析式为 y=45x−1x−5，
即 y=45x2−245x+4，对称轴为直线 x=1+52=3．
（2） 存在．
如图所示，连接 AC 交对称轴于点 P，连接 BP，AB，
因为 B，C 关于对称轴对称，
所以 AB+AP+PB=AB+AP+PC=AB+AC，此时 △PAB 的周长最小，
设直线 AC 方程为 y=mx+n，
将 A0,4，C5,0 代入可得 4=n,0=5m+n, 解得 n=4,m=−45,
即 y=−45x+4，当 x=3 时，y=−45×3+4=85，
所以 P 点坐标为 3,85．
（3） 存在．
设 Nt,45t2−245t+40如图所示，过 N 作 NF∥OA 分别交 x 轴和 AC 于 F，G，过 A 作 AD⊥FG 的延长线于点 D，连接 CN．
根据（2）的 AC 解析式 y=−45x+4 可得 Gt,−45t+4，
所以 NG=−45t+4−45t2−245t+4=−45t2+4t，
因为 S△ANC=S△AGN+S△CGN，S△AGN=12GN×AD，S△CGN=12CF×GN，
所以
S△ANC=12GN×AD+FC=12GN×OC=12×−45t2+4t×5=−2t2+10t=−2t−522+252.
所以当 t=52 时 △NAC 的面积最大，最大值为 252．
此时 45t2−245t+4=45×522−245×52+4=−3，
所以此时 N 的坐标为 52,−3．