冀教版九年级上册25.6 相似三角形的应用教案设计

这是一份冀教版九年级上册25.6 相似三角形的应用教案设计，共6页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。

【教学目标】
1．知识与能力：
①掌握利用太阳光测量物体高度的方法。
②通过本节相似三角形应用举例，发展学生综合运用相似三角形的判定方法和性质解决问题的能力，提高学生的数学应用意识，加深对相似三角形的理解与认识。
2．过程与方法：
经历从实际问题到建立数学模型的过程，发展学生的抽象概括能力。
3．情感、态度与价值观：
①通过利用相似形知识解决生活实际问题，使学生体验数学来源于生活，服务于生活。
②通过对问题的探究，培养学生认真踏实的学习态度和科学严谨的学习方法，通过获得成功的经验和克服困难的经历，增进数学学习的信心。
【教学重难点】
1．重点：利用相似三角形的判定及性质解决实际问题。
2．难点：运用相似三角形的判定定理构造相似三角形解决实际问题。
【教学过程】
一、情境导入
胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为“世界古代七大奇观之一”。据考证，为建成大金字塔，共动用了10万人花了20年时间。现在我给你一根竹竿，一把皮尺，你能测量出金字塔的高度吗？
设计意图：数学教学从学生的生活体验和客观存在的事实或现实出发，为学生提供较感兴趣的问题情景，帮助学生顺利地进入学习情景。促使学生主动地进行探索和思考。
二、问题探究
常识：太阳光线可以看出是平行光线。
（1）小明测得长为1米的竹竿影长为0.9米，同时，小李测得一棵树的影长为5.4米，请计算小明测量这棵树的高。
分析：要解决这个实际问题，关键是转化成数学问题，需要画出图形，画图的关键是平行光线，此时，已知量和求的量分布在两个三角形中，通过证明两个三角形相似求出树高。
A
B
C
A′
B′
C′
解：
∵∠ABC＝∠A′B′C′＝90°
∠ACB＝∠A′C′B′
∴△ABC∽△A′B′C′
∴AB∶A′B′＝BC∶B′C′
∵A′B′=1，B′C′=0.9，BC=5.4
∴AB∶1=5.4∶0.9
∴AB=6
即这棵树的高为6米。
（注：证明相似的过程可以省略，直接把比例式变形得到 ，即同一时刻物高与影长成比例，当作一个基本原理直接应用）
练习：大树高4米，在阳光下测得它的影长为5米，朱琳身高1.4米，此时她在阳光下影长为（ ）米。
设计意图：通过对这一问题的顺利解决，一方面促使学生经历从实际问题到建立数学模型的过程，明确运用相似三角形的判定定理构造相似三角形，运用相似三角形的性质列出比例式求解来解决这类问题；另一方面，让学生品尝解题成功带来的喜悦，从而提高学习数学的兴趣。
现在给你一根竹竿，一把皮尺，你能测量出金字塔的高度吗？
答：某一时刻，把竹竿直立在地面上，测出竹竿的高和它的影长分别为a米、b米，同时测出金字塔的影长为c米，根据同一时刻物高与影长成比例，可求出金字塔的高为ac/b米。
设计意图：前呼后应，让学生解决开头提出的实际问题。通过学生的表述，概括出常见的测量物高的方法，并且促使学生体验数学来源于生活又服务于生活。
（2）同时小王在测另一棵树时，发现树影的一部分在地面上，而另一部分在墙上，他测得地面上的影长为2.7米，留在墙上部分的影长为1.2米。请计算小王测量的这棵树的高。
A
A
D
GB
A
C
D
C
G
B
D G
B
C
分析：设计两个问题进行提示：①能不能把地面升高使或把旗杆缩短一点使它的影子恰好落在地上？②能否把那堵墙拆除，光线照射过来影子落在地面上。三种方法类似于梯形中常见的添加辅助线方法①作高；②平移一个腰；延长两腰交于一点。而做题的关键还是“同一时刻物高与影长成比例”的原理。
解法1：作CG⊥AB于G，CG=BD=2.7，BD=CD=1.2
根据同一时刻物高与影长成比例：AG∶CG=1∶0.9
∴AG=2.7÷0.9=3 AB=AG+BG=4.2
答：这棵树的高为4.2米。
解法2：如图，过点D画DG∥AC交AB于G点，由平行四边形ACDG得AG=CD=1.2，
根据同一时刻物高与影长成比例BG/2.7=1/0.9 ∴BG=3，AB=BG+AG=4.2
答：这棵树高有4.2米。
解法3：延长AC交BD延长线于G，
由同一时刻物高与影长成比例得：CD∶DG=1∶0.9
∴DG=0.9CD=1.08 BG=BD+DG=3.78
由CD∶AB=DG∶BG 得 AB=4.2
答：这棵树的高为4.2米。
设计意图：通过这一问题的解决，一方面加深学生对“同一时刻物高与影长成比例”的原理的理解和应用，另一方面发散学生思维，促使他们获取更多解决问题的方法。同时，及时总结，比较三种方法，将它们归结为梯形中添加辅助线的三大类型从而提高学生的认知水平，促使他们获取更多解决问题的策略。
（3）另一时刻，小明测得长为1米的竹竿影长为2米，同时，小李测量一棵树时发现树影的一部分在地面上，另一部分在斜坡的坡面上，测得在地面影长为10米，在斜坡上影长为10m

A
G
B
D
C
E
4米，斜坡的倾斜角为30°，请计算这棵树的高。
10m

A
B
D E
C
10m

A
G
B
D
C
E
F G
分析：与上题的不同点是竖直墙变成了有30度角的斜坡，只要把斜坡转化成竖直墙或把墙拆除就和上题一样了，方法与上题相同。（留作课下作业。）
解法1：画CG⊥AB于G点，画CE⊥BD于E，则
CE=1/2 CD=2，DE=2 ∴BG=CE=2，
BE=BD+DE=10+2 由同一时刻物高与影长成比例得AG∶GC=1∶2
∴AG=5+ AB=BG+AG=7+
答：这棵树的高为(7+)米。
设计意图：在前面一个题目中，通过教师的引导和点拨，大大激活了学生的思维，打开了学生思绪的闸门，通过这一问题的出示，为学生提供了大展身手的机会。但由于时间关系，留作课下作业。
思维拓展
在某次活动课中，甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量。下面是他们通过测量得到的一些信息：
甲组：如图1，测得一根直立于平地，长为80cm的竹竿的影长为60cm。
乙组：如图2，测得学校旗杆的影长为900cm。
丙组：如图3，测得校园景灯（灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计）的高度为200cm，影长为156cm。
D
D
F
E
900cm
图2
B
C
A
60cm
80cm
图1
G
H
NE
156cm
ME
OE
200cm
图3
KE
任务要求
（1）请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度；
（2）如图3，设太阳光线与相切于点。请根据甲、丙两组得到的信息，求景灯灯罩的半径（友情提示：如图3，景灯的影长等于线段的影长；需要时可采用等式）。
分析：光线正好是⊙O的切线，连接过切点的半径，构造出更为复杂的三角形，先利用三角形NGH和三角形BAC相似或同一时刻物高与影长成比例求出NG的长，再利用△NOM和△NHG相似求出半径OM的长。
解：（1）由题意可知：∠BAC=∠EDF=90°，∠BCA=EFD ∴△ABC∽△DEF∴即∴DE=1200cm所以，学校旗杆的高度是12m。
（2）解法一：与①类似得：即∴GN=208．
在中，根据勾股定理得：∴NH=260.
设⊙O的半径为rcm，连结OM，∵NH切⊙O于M，∴
则又∴∴又。
∴解得：r=12．所以，景灯灯罩的半径是12cm。
解法二：与①类似得：即∴GN=208．设⊙O的半径为rcm，连结OM，∵NH切⊙O于M，∴则又
∴∴即∴
又。在中，根据勾股定理得：
即解得：（不合题意，舍去）
所以，景灯灯罩的半径是12cm。
设计意图：学生通过动手实践，真正领悟“构造相似三角形”（或同一时刻物高与影长成比例）的精髓，亲身体验数学建模的过程，在积极参与的过程中享受探索的乐趣。由于题目较难，可以小组合作交流，培养学生的团队意识。
五、回顾小结
这节课你有哪些收获？
设计意图：落实教师的引导作用以及学生的主体地位，既训练学生的概括归纳能力，又有助于学生在归纳的过程中把所学的知识条理化、系统化。
教师总结：
1．本节课测量物高的方法有一个前提条件——有阳光，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决。其实就是通过构造三角形，利用相似三角形的性质求物高。这也是求线段长度常用的方法。
2．在整个探究过程中，不论树的影子落在地上，墙上还是斜坡上，解决问题的方法没变，都是根据上面的这个原理，这种化归思想在数学研究中很常见。
3．要善于把实际问题转化成数学问题，通过审题，画图，明确各个数量之间的关系，应用所学知识得出数学问题的答案，检验之后再得出实际问题的答案。