中考数学热点冲刺：专题5 操作探究问题（含答案）

这是一份中考数学热点冲刺：专题5 操作探究问题（含答案），共12页。试卷主要包含了图中的虚线为折痕等内容，欢迎下载使用。

实践操作性问题以趣味性强、思维含量高为特点，在具体的实践操作中主要有以下类型：（1）裁剪、折叠、拼图等问题，往往与面积与对称性相联系；（2）画图、测量、猜想、证明等探究性问题，往往要求答题者在给定的操作规则下，进行探索研究、大胆猜想、发现结论，进而提高个人的创新能力与实践能力.
操作性行问题主要包含几何体的展开与折叠，图案设计、程序框输入，尺规作图、几何图形的探究等题型，分值不一，难度不等.
考向1 几何体的展开与折叠
1. 如图，一个几何体上半部为正四校锥，下半部为立方体，且有一个面涂有颜色，该几何体的表面展开图是（）
A B C D
【答案】B
【解析】选项A和C带图案的一个面是底面，不能折叠成原几何体的形式；选项B能折叠成原几何体的形式；选项D折叠后下面带三角形的面与原几何体中的位置不同．
2．某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与"点"字所在面相对的面上的汉字是( )
A．青B．春C．梦D．想
【答案】B
【解析】根据正方体的展开与折叠中面的关系，可知与"点"字所在面相对的面上的汉字是春，故选B．
考向2 图案设计与几何变换
1．小明将一张正方形纸片按如图所示的顺序折叠成纸飞机，当机翼展开在同一平面时（机翼间无缝隙），的度数是 ．
【答案】
【解析】在解本题的过程中，可以找一张正方形的纸片进行如题操作，通过测量，来得到答案，也可以利用图形的轴对称的性质，直接得到的度数是．
2. 如图，正方形在宽为2的矩形纸片一端，对折正方形得到折痕，再翻折纸片，使与重合，以下结论错误的是
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】在中，，
，，四边形是平行四边形，
，四边形是菱形，，
，，故选项正确，
，，，故选项正确，
四边形是菱形，，
，故选项正确，故选：A．
3．已知，H为射线OA上一定点，，P为射线OB上一点，M为线段OH上一动点，连接PM，满足为钝角，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转，得到线段PN，连接ON．（1）依题意补全图1；（2）求证：；
（3）点M关于点H的对称点为Q，连接QP．写出一个OP的值，使得对于任意的点M总有ON=QP，并证明．
解：（1）见下图
（2）证明：∵，∴在△OPM中，，
又∵，∴，∴.
（3）如下图，过点P作PK⊥OA于K，过点N作NF⊥OB于F
∵∠OMP=∠OPN，∴∠PMK=∠NPF，
在△NPF和△PMK中，，
∴△NPF≌△PMK （AAS），∴PF=MK，∠PNF=∠MPK，NF=PK，
又∵ON=PQ，
在Rt△NOF和Rt△PKQ中，，
∴Rt△NOF≌Rt△PKQ （HL），∴KQ=OF，
设，∵∠POA=30°，PK⊥OQ，
∴，∴，
∴，，.
∵M与Q关于H对称，∴MH=HQ，
∴KQ=KH+HQ==，
又∵KQ=OF，∴，
∴，∴，即PK=1，
又∵，∴OP=2.
考向3 程序输入与规律探究
1. 按如图所示的运算程序，能使输出y值为1的是 （ ）
A．m=1，n=1 B．m=1，n=0
C．m=1，n=2 D．m=2，n=1
【答案】D．
【解析】∵m=1，n=1，∴y=2m＋1=3；∵m=1，n=0，∴y=2n－1=－1；∵m=1，n=2，∴y=2m＋1=3；∵m=2，n=1，∴y=2n－1=1．故选D．
18. 如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过上的点A1（1，）作x轴的垂线交于点A2，过点A2作y轴的垂线交于点A3，过点A3作x轴的垂线交于点A4…，一次进行下去，则点的横坐标为 .
【答案】：-31009
【解析】：本题考查坐标里的点规律探究题，观察发现规律：A1（1，），A2（1，），A3（-3，），A4（-3，），A5（9，），A6（9，），A7（-27，），……A2n+1[(-3)n，3×(-3)n]（n为自然数），2019=1009×2+1，所以A2019的横坐标为：(-3)1009=-31009.
考向4 尺规作图
1．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数是（ ）
A．20°B．30° C．45° D．60°
【答案】B
【解析】在△ABC中，∵∠B=30°，∠C=90°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=60°，由作图可知MN为AB的中垂线，∴DA=DB，∴∠DAB=∠B=30°，∴∠CAD=∠BAC-∠DAB=30°，故本题选：B．
2．如图，矩形ABCD，∠BAC=60°，以点A为圆心，以任意长为半径作弧分别交AB，AC于点M，N两点，再分别以点M，N为圆心，以大于MN的长作半径作弧交于点P，作射线AP交BC于点E，若BE=1，则矩形ABCD的面积等于 .
【答案】
【解析】在矩形ABCD中，∠BAC=60°，∴∠B=90°，∠BCA=30°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠EAC=30°∵在Rt△ABE中，BE=1，∴AE==2，AB=，∵∠EAC=∠ECA=30°，∴EC=AE=2，∴S矩形ABCD=ABBC=.
3. 如图，点M和点N在∠AOB内部．
（1）请你作出点P，使点P到点M和点N的距离相等，且到∠AOB两边的距离也相等（保留作图痕迹，不写作法）；（2）请说明作图理由．
解：(1)画出∠AOB的角平分线，画出线段MN的垂直平分线，两者的交点就得到P点．
（2）作图的理由：点P在∠AOB的角平分线上，又在线段MN的垂直平分线上，∠AOB的角平分线和线段MN的垂直平分线的交点即为所求．
4. 图①、图②、图③处均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C、D、E、F均在格点上.在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法.
在图①中以线段AB为边画一个△ABM，使其面积为6.
在图②中以线段CD为边画一个△CDN，使其面积为6.
（3）在图③中以线段EF为边画一个四边形EFGH，使其面积为9，且∠EFG=90°.
解：（1）如图所示；（2）如图所示；（3）如图所示.
考向5 几何探究
1．问题背景：如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，DE与BC交于点P，可推出结论：PA＋PC=PE．
问题解决：如图2，在△MNG中，MN=6，∠M=75°，MG=．点O是△MNG内一点，则点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值是___________．
【答案】2
【解析】由题构造等边△MFN，△MHO，图中2个彩色三角形全等（△MFH≌△MNO（SAS））
∴OM＋ON＋OG=HO＋HF＋OG，
∴距离和最小值为FG=2（Rt△FQG勾股定理）
2．综合与实践动手操作:
第一步:如图1，正方形纸片ABCD沿对角线AC所在的直线折叠，展开铺平，再沿过点C的直线折叠，使点B，点D都落在对角线AC上.此时，点B与点D重合，记为点N，且点E，点N，点F三点在同一条直线上，折痕分别为CE，CF.如图2.第二步:再沿AC所在的直线折叠，△ACE与△ACF重合，得到图3.
第三步:在图3的基础上继续折叠，使点C与点F重合，得到图4，展开铺平，连接EF，FG，GM，ME，如图5.图中的虚线为折痕.
问题解决:
（1）在图5中，∠BEC的度数是_____，的值是_____;
（2）在图5中，请判断四边形EMGF的形状，并说明理由;
（3）在不增加字母的条件下，请你以图5中的字母表示的点为顶点，动手画出一个菱形（正方形除外），并写出这个菱形:_______.
【解题过程】（1）∵正方形ABCD，∴∠ACB=45°，由折叠知:∠1=∠2=22.5°，∠BEC=∠CEN，BE=EN，∴∠BEC=90°－∠1=67.5°，∴∠AEN=180°－∠BEC－∠CEN=45°，∴cs45°=，，;
四边形EMGF是矩形.理由如下:∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠BCD=∠D=90°，由折叠可知:∠1=∠2=∠3=∠4，CM=CG，∠BEC=∠NEC=∠NFC=∠DFC，∴∠1=∠2=∠3=∠4==22.5°，∴∠BEC=∠NEC=∠NFC=∠DFC=67.5°，由折叠知:MH，GH分别垂直平分EC，FC，∴MC=ME，GC=GF.∴∠5=∠1=22.5°，∠6=∠4=22.5°，∴∠MEF=∠GFE=90°.∵∠MCG=90°，CM=CG，∴∠CMG=45°，又∵∠BME=∠1+∠5=45°，∴∠EMG=180°－∠CMG－∠BME=90°，∴四边形EMGF是矩形;
（3）答案不唯一，画出正确的图形（一个即可）.菱形FGCH（或菱形EMCH）
3．如图①，在△ABC中，AB=AC=3，∠BAC=100°，D是BC的中点.小明对图①进行了如下探究：在线段AD上任取一点P，连接PB．将线段PB绕点P按逆时针方向旋转80°，点B的对应点是点E，连接BE，得到△BPE.小明发现，随着点P在线段AD上位置的变化，点E的位置也在变化，点E可能在直线AD的左侧，也可能在直线AD上，还可能在直线AD的右侧.
请你帮助小明继续探究，并解答下列问题：
(1)当点E在直线AD上时，如图②所示.①∠BEP= °；
②连接CE，直线CE与直线AB的位置关系是 .
(2)请在图③中画出△BPE，使点E在直线AD的右侧，连接CE.试判断直线CE与直线AB的位置关系，并说明理由.(3)当点P在线段AD上运动时，求AE的最小值.
【解题过程】（1）①由题意得，PE=PB，∠BPE=80°，∴∠BEP=；
②如图所示，
∵AB=AC，D是BC的中点，∠BAC=100°，∴∠ABC=，
∵∠BEP=50°，∴∠BCE=∠CBE=40°，∴∠ABC=∠BCE，∴CE∥AB．答案：①50°；②平行
（2）在DA延长线上取点F，使∠BFA=∠CFA=40°，总有△BPE∽△BFC．
又∵△BPF∽△BEC，∴∠BCE=∠BFP=40°，∴∠BCE=∠ABC=40°，∴CE∥AB．
(3)当点P在线段AD上运动时，由题意得PB=PE=PC，
∴点B、E、C在以P为圆心、PB为半径的圆上，如图所示：
∴AE的最小值为AC=3.