2021年高考理科数学一轮复习：专题2.5 指数与指数函数 题型全归纳与高效训练突破

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目录
TOC \ "1-3" \h \u 一、题型全归纳1
题型一 指数幂的化简与求值1
题型二 指数函数的图象及应用2
题型三 指数函数的性质及应用4
命题角度一 比较指数幂的大小4
命题角度二 解指数不等式5
命题角度三 指数型复合函数的单调性6
二、高效训练突破7
一、题型全归纳
题型一 指数幂的化简与求值
【题型要点】指数幂运算的一般原则
(1)有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算．
(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．
(3)底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．
(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．
【提醒】运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一．
【例1】化简：(a2·eq \r(5,a3))÷(eq \r(a)·eq \r(10,a9))＝________(用分数指数幂表示)．
【例2】eq \r(6\f(1,4))＋0.002－eq \f(1,2)－10×(eq \r(5)－2)－1－＋[(－2)3]－eq \f(2,3)的值为________．
【例3】．若xeq \f(1,2)＋x－eq \f(1,2)＝3，则eq \f(x\f(3,2)＋x－\f(3,2)＋2,x2＋x－2＋3)的值为________．
题型二 指数函数的图象及应用
【题型要点】1．准确把握指数函数图象的特征
(1)画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，.
(2)指数函数在同一坐标系中的图象的相对位置与底数大小关系
如图所示
其中02．关注含参指数型函数图象恒过定点问题
(1)依据：恒等式a0＝1(a≠0)．
(2)方法：求形如f(x)＝M·akx＋b＋N的图象恒过的定点，首先由kx＋b＝0求定点的横坐标，然后计算定点纵坐标．
3．有关指数函数图象问题的解题思路
(1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．
(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解.
【例1】(2019·贵阳监测)已知函数f(x)＝4＋2ax－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是( )
A．(1,6) B．(1,5)
C．(0,5) D．(5,0)
【例2】函数f(x)＝2|x－1|的大致图象为( )
【例3】若关于x的方程|ax－1|＝2a(a＞0，且a≠1)有两个不等实根，则a的取值范围是________．
题型三 指数函数的性质及应用
命题角度一 比较指数幂的大小
【题型要点】比较幂值大小的常见类型及解决方法
【例1】(2020·许昌四校联考)设a，b满足0＜a＜b＜1，则下列不等式中正确的是( )
A．aa＜ab B．ba＜bb
C．aa＜ba D．bb＜ab
【例2】(2020·闽粤赣三省十校联考)已知a＝2eq \s\up6(\f(4,3))，b＝4eq \s\up6(\f(2,5))，c＝25eq \s\up6(\f(1,3))，则( )
A．bC．b命题角度二 解指数不等式
【题型要点】利用指数函数的性质解简单的指数方程或不等式的方法
先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用单调性转化为一般不等式求解
【例3】若偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则不等式f(x－2)>0的解集为________．
命题角度三 指数型复合函数的单调性
【题型要点】1.两类复合函数的最值(或值域)问题
(1)形如y＝a2x＋b·ax＋c(a>0，且a≠1)型函数最值问题多用换元法，即令t＝ax转化为y＝t2＋bt＋c的最值问题，注意根据指数函数求t的范围．
(2)形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)型函数最值问题，可令t＝f(x)，则y＝at，先由x的取值范围求t的取值范围，再求y＝at的最值．
2．对于形如y＝af(x)的函数的单调性
(1)若a>1，函数f(x)的单调增(减)区间即函数y＝af(x)的单调增(减)区间；
(2)若0【例4】已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是________．
【例5】已知函数f(x)＝.
(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)有最大值3，求a的值；
(3)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的值．
二、高效训练突破
一、选择题
1.(2020·上饶摸底)已知a＝20.4，b＝90.2，c＝(eq \r(4,3))3，则( )
A．a＜b＜c B．a＜c＜b
C．c＜a＜b D．c＜b＜a
2．(2020·宜宾模拟)若函数f(x)＝2·ax＋m－n(a＞0且a≠1)的图象恒过定点(－1,4)，则m＋n＝( )
A．3 B．1
C．－1 D．－2
3.(2019·高考全国卷Ⅰ)已知a＝lg20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则( )
A．aC．c4．(2020·安徽皖江名校模拟)若ea＋πb≥e－b＋π－a，则有( )
A．a＋b≤0 B．a－b≥0
C．a－b≤0 D．a＋b≥0
5.已知函数f(x)＝ax，其中a>0，且a≠1，如果以P(x1，f(x1))，Q(x2，f(x2))为端点的线段的中点在y轴上，那么f(x1)·f(x2)等于( )
A．1 B．a
C．2 D．a2
6.(2019·凌源模拟)设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为( )
A．b＜c＜a B．a＜b＜c
C．a＜c＜b D．c＜a＜b
7.若函数f(x)＝eq \f(2x＋1,2x－a)是奇函数，则使f(x)>3成立的x的取值范围为( )
A．(－∞，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1，＋∞)
8.设y＝f(x)在(－∞，1]上有定义，对于给定的实数K，定义fK(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(f（x），f（x）≤K，,K，f（x）>K.))给出函数f(x)＝2x＋1－4x，若对于任意x∈(－∞，1]，恒有fK(x)＝f(x)，则( )
A．K的最大值为0 B．K的最小值为0
C．K的最大值为1 D．K的最小值为1
9.已知函数f(x)＝|2x－1|，af(c)>f(b)，则下列结论中，一定成立的是( )
A．a<0，b<0，c<0 B．a<0，b≥0，c>0
C．2－a<2c D．2a＋2c<2
10.(2020·湖南株洲月考)如图，四边形OABC是面积为8的平行四边形，AC⊥CO，AC与BO交于点E，某指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象经过点E，B，则a＝( )
A.eq \r(2) B.eq \r(3)
C．2 D．3
二、填空题
1．函数y＝ax－b(a>0，且a≠1)的图象经过第二、三、四象限，则ab的取值范围是________．
2.定义区间[x1，x2]的长度为x2－x1，已知函数f(x)＝3|x|的定义域为[a，b]，值域为[1,9]，则区间[a，b]长度的最小值为________．
3.(2020·中山一中摸底)化简：(2eq \r(3,a2)·eq \r(b))(－6eq \r(a)·eq \r(3,b))÷(－3eq \r(6,a)·eq \r(6,b5))＝________.
4.(2019·西安八校联考)已知函数f(x)＝(a－2)ax(a>0，且a≠1)，若对任意x1，x2∈R，eq \f(fx1－fx2,x1－x2)>0，则a的取值范围是________．
5.(2019·安阳质检)若不等式(m2－m)2x－＜1对一切x∈(－∞，－1]恒成立，则实数m的取值范围是________．
6.不等式恒成立，则a的取值范围是________．
7.已知实数a，b满足等式＝，下列五个关系式：
①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a＝b.
其中可能成立的关系式有________．(填序号)
8.设a>0，且a≠1，函数y＝a2x＋2ax－1在[－1，1]上的最大值是14，则实数a的值为________．
三 解答题
1.已知函数f(x)＝2a·4x－2x－1.
(1)当a＝1时，求函数f(x)在x∈[－3，0]上的值域；
(2)若关于x的方程f(x)＝0有解，求a的取值范围．
2．已知定义域为R的函数f(x)＝eq \f(－2x＋b,2x＋1＋a)是奇函数．
(1)求a，b的值；
(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围．
同底不同指
利用指数函数单调性进行比较
同指不同底
利用幂函数单调性进行比较
既不同底
又不同指
常常找到一个中间值，通过比较两个幂值与中间值的大小来判断两个幂值的大小