2021年高考理科数学一轮复习：专题2.7 函数的图像 题型全归纳与高效训练突破

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目录
TOC \ "1-3" \h \u 一、题型全归纳2
题型一 作函数的图象2
题型二 函数图象的识别3
命题角度一 知式选图3
命题角度二 知图选式4
命题角度三 由实际问题的变化过程探究函数图象5
题型三 函数图象的应用7
命题角度一 研究函数的性质7
命题角度二 解不等式8
命题角度三 求参数的值或取值范围10
题型四 数形结合思想在函数问题中的应用11
题型五 高考中的函数图象及应用问题的解题方法12
1．特殊点法12
2．性质检验法13
3．导数法13
4．图象变换法14
二、高效训练突破14
一、题型全归纳
题型一 作函数的图象
【题型要点】函数图象的三种画法
(1)直接法：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出．
(2)转化法：含有绝对值符号的函数，可脱掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象．
(3)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称得到，可利用图象变换作出．
【提醒】(1)画函数的图象时一定要注意定义域．
(2)利用图象变换法时要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．
【例题】作出下列函数的图象：
(1)y＝eq \f(2－x,x＋1)；
(2)y＝；
(3)y＝|lg2x－1|；(4)y＝x2－2|x|－1.
题型二 函数图象的识别
【题型要点】识别函数图象的方法技巧
函数图象的识别可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．
(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复．
(5)从函数的特殊点，排除不合要求的图象．
【提醒】由实际情景探究函数图象，关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．
命题角度一 知式选图
【例1】(2019·高考全国卷Ⅰ)函数f(x)＝eq \f(sin x＋x,cs x＋x2)在[－π，π]的图象大致为( )

【例2】(2020·淄博模拟)函数f(x)＝ln(x2＋2)－ex－1的图象可能是( )
命题角度二 知图选式
【例3】已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可以是( )
A．f(x)＝eq \f(ln|x|,x)B．f(x)＝eq \f(ex,x)
C．f(x)＝eq \f(1,x2)－1D．f(x)＝x－eq \f(1,x)
【例4】(2020·洛阳第一次统考)已知f(x)＝(x－a)(x－b)(a＞b)的大致图象如图所示，则函数g(x)＝ax＋b的大致图象是( )

命题角度三 由实际问题的变化过程探究函数图象
【例5】广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互纠在一起，因而被习称为“阴阳鱼太极图”．如图，是由一个半径为2的大圆和两个半径为1的半圆组成的“阴阳鱼太极图”，圆心分别为O，O1，O2，若一动点P从点A出发，按路线A→O→B→C→A→D→B运动(其中A，O，O1，O2，B五点共线)，设P的运动路程为x，y＝|O1P|2，y与x的函数关系式为y＝f(x)，则y＝f(x)的大致图象为 ( )

【例6】如图，四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图象表示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系，其中不正确的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
题型三 函数图象的应用
命题角度一 研究函数的性质
【题型要点】利用图象研究函数性质问题的思路
对于已知解析式易画出其在给定区间上函数的图象，其性质常借助图象研究：
【例1】设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则下列说法：
①2是函数f(x)的周期；
②函数f(x)在(1,2)上递减，在(2,3)上递增；
③函数f(x)的最大值是1，最小值是0；
④当x∈(3,4)时，f(x)＝.
其中所有正确说法的序号是________．
【例2】(2020·闽粤赣三省十校联考)已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是 ( )
A．f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞)
B．f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1)
C．f(x)是奇函数，递减区间是(－1，1)
D．f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0)
命题角度二 解不等式
【题型要点】当不等式问题不能用代数法求解或用代数法求解比较困难，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的位置关系问题，从而利用数形结合思想求解
【例3】(2020·昆明检测)已知定义在R上的函数f(x)是奇函数，且f(x)在(－∞，0)上是减函数，f(2)＝0，g(x)＝f(x＋2)，则不等式xg(x)≤0的解集是( )
A．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B．[－4，－2]∪[0，＋∞)
C．(－∞，－4]∪[－2，＋∞) D．(－∞，－4]∪[0，＋∞)
【例4】若不等式(x－1)20，且a≠1)在x∈(1，2)内恒成立，则实数a的取值范围为( )
A．(1，2] B．
C．(1，eq \r(2)) D．(eq \r(2)，2)
命题角度三 求参数的值或取值范围
【题型要点】利用函数图象解答求取值范围问题
(1)借助函数图象．由参数满足的等量关系分析出参数满足的其他等量关系或不等关系.
(2)解不等式恒成立问题，通常在同一坐标系中分别作出两函数的图象，利用数形结合求解．.
【例5】设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是________．
【例6】．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式eq \f(f（x）－f（－x）,x)<0的解集为( )
A．(－1，0)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1)∪(0，1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1，0)∪(0，1)
题型四 数形结合思想在函数问题中的应用
【例1】已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＋2x－1，x≥0，,x2－2x－1，x<0，))则对任意x1，x2∈R，若0<|x1|<|x2|，下列不等式成立的是( )
A．f(x1)＋f(x2)<0 B．f(x1)＋f(x2)>0
C．f(x1)－f(x2)>0 D．f(x1)－f(x2)<0
【例2】函数y＝ln|x－1|的图象与函数y＝－2cs πx(－2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于( )
A．3 B．6 C．4 D．2
题型五 高考中的函数图象及应用问题的解题方法
【题型要点】1.用特殊点法破解函数图象问题需寻找特殊的点，即根据已知函数的图象或已知函数的解析式，取特殊点，判断各选项的图象是否经过该特殊点，从而得正确的选项．在求函数值的过程中运算一定要认真，从而准确进行判断．
2．已知函数解析式，判断其图象的关键：由函数解析式明确函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质，根据这些性质对函数图象进行具体的分析和判断，即可得出正确选项．若能熟记基本初等函数的性质，则此类题就不攻自破．
3．判断复杂函数的图象，常借助导数这一工具，先对原函数进行求导，再利用导数判断函数的单调性、极值或最值，从而对选项进行筛选．要注意函数求导之后，导函数发生了变化，故导函数和原函数的定义域会有所不同，我们必须在原函数的定义域内研究函数的极值和最值．
4．有关函数y＝f(x)与函数y＝af(bx＋c)＋h的图象问题的判断，熟练掌握图象的平移变换(左加右减，上加下减)、对称变换、伸缩变换等，便可破解此类问题．
1．特殊点法
【例1】函数y＝lg eq \f(1,|x＋1|)的大致图象为( )
2．性质检验法
【例2】(2019·全国卷Ⅲ)函数y＝eq \f(2x3,2x＋2－x)在[－6,6]的图象大致为( )
3．导数法
【例3】若函数f(x)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式是( )
A．f(x)＝x＋sinx
B．f(x)＝eq \f(csx,x)
C．f(x)＝xcsx
D．f(x)＝x·
4．图象变换法
【例4】函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x，x≤1，,lg\f(1,3)x，x>1，))则y＝f(1－x)的图象是( )
二、高效训练突破
一、选择题
1．(2020·山西吕梁4月模拟)函数f(x)＝|x|sin x的图象大致是( )

2．(2020·南昌模拟)已知函数f(x)＝－ln (1－x)，若函数g(x)的图象与f(x)的图象关于直线x＝1对称，则g(3)＝( )
A．－ln 2 B．ln 2
C．0 D．－ln 3
3.已知f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－2x，－1≤x≤0，,\r(x)，0＜x≤1，))则下列函数的图象错误的是( )

4．(2020·福州模拟)已知偶函数y＝f(x)(x∈R)在区间[－1,0]上单调递增，且满足f(1－x)＋f(1＋x)＝0，给出下列五个结论：
①f(5)＝0；
②f(x)在[1,2]上是减函数；
③函数f(x)没有最小值；
④函数f(x)在x＝0处取得最大值；
⑤f(x)的图象关于直线x＝1对称．
其中所有正确结论的编号是( )
A．①②③ B．①②④
C．①③⑤ D．③④⑤
5.(2020·湖南娄底二模)函数f(x)＝eq \f(（ex－e－x）cs x,x2)的部分图象大致是( )

6.(2020·郑州模拟)我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征．如函数f(x)＝eq \f(x4,|4x－1|)的图象大致是( )
7.若函数f(x)＝(ax2＋bx)ex的图象如图所示，则实数a，b的值可能为( )
A．a＝1，b＝2 B．a＝1，b＝－2
C．a＝－1，b＝2 D．a＝－1，b＝－2
8.(2020·山西四校联考)已知函数f(x)＝|x2－1|，若0A．(0，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(1，eq \r(2)) D．(1，2)
9．(2020·昆明检测)若平面直角坐标系内A、B两点满足：(1)点A、B都在f(x)图象上；(2)点A、B关于原点对称，则称点对(A，B)是函数f(x)的一个“和谐点对”，已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＋2x（x<0），,\f(2,ex)（x≥0），))则f(x)的“和谐点对”有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10.若函数y＝f(2x＋1)是偶函数，则函数y＝f(x)图象的对称轴方程是( )
A．x＝1 B．x＝－1
C．x＝2 D．x＝－2
二、填空题
1.函数f(x)＝eq \f(x＋1,x)的图象与直线y＝kx＋1交于不同的两点(x1，y1)，(x2，y2)，则y1＋y2＝________.
2．若直线y＝1与曲线y＝x2－|x|＋a有四个交点，则a的取值范围是________．
3.若函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ax＋b，x<－1，,ln（x＋a），x≥－1))的图象如图所示，则f(－3)等于________．
4．定义在R上的奇函数f(x)，满足＝0，且在(0，＋∞)上单调递减，则xf(x)＞0的解集为________．
5．给定min{a，b}＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a，a≤b，,b，b＜a，))已知函数f(x)＝min{x，x2－4x＋4}＋4，若动直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有3个交点，则实数m的取值范围为________．
6.函数f(x)是定义在[－4,4]上的偶函数，其在[0,4]上的图象如图所示，那么不等式eq \f(fx,csx)<0的解集为________．