2021年高考理科数学一轮复习：专题4.5 正弦定理和余弦定理 题型全归纳与高效训练突破

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目录
TOC \ "1-3" \h \u 一、题型全归纳1
题型一 利用正、余弦定理解三角形1
类型一 用正弦定理解三角形2
类型二 用余弦定理解三角形2
类型三 综合利用正、余弦定理解三角形3
题型二 利用正、余弦定理边角互化5
题型三 与三角形面积有关的问题7
二、高效训练突破10
一、题型全归纳
题型一 利用正、余弦定理解三角形
【题型要点】解三角形的常见题型及求解方法
(1)已知两角A，B与一边a，由A＋B＋C＝π及eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)，可先求出角C及b，再求出c.
(2)已知两边b，c及其夹角A，由a2＝b2＋c2－2bccs A，先求出a，再求出角B，C.
(3)已知三边a，b，c，由余弦定理可求出角A，B，C.
(4)已知两边a，b及其中一边的对角A，由正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)可求出另一边b的对角B，由C＝π－(A＋B)，可求出角C，再由eq \f(a,sin A)＝eq \f(c,sin C)可求出c，而通过eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)求角B时，可能有一解或两解或无解的情况．
类型一 用正弦定理解三角形
【例1】．(2020·北京朝阳区模拟)在△ABC中，B＝eq \f(π,6)，c＝4，csC＝eq \f(\r(5),3)，则b＝( )
A．3eq \r(3) B．3
C.eq \f(3,2) D.eq \f(4,3)
【答案】B
【解析】因为csC＝eq \f(\r(5),3)，C∈(0，π)，所以sinC＝eq \r(1－cs2C)＝eq \f(2,3).又因为B＝eq \f(π,6)，c＝4，所以由正弦定理得b＝eq \f(csinB,sinC)＝eq \f(4×\f(1,2),\f(2,3))＝3.
【例2】．(2020·丹东模拟)在△ABC中，C＝60°，AC＝eq \r(2)，AB＝eq \r(3)，则A＝( )
A．15° B．45°
C．75° D．105°
【答案】C
【解析】在△ABC中，C＝60°，AC＝eq \r(2)，AB＝eq \r(3)，
由正弦定理得sinB＝eq \f(ACsinC,AB)＝eq \f(\r(2)×\f(\r(3),2),\r(3))＝eq \f(\r(2),2).
因为AB>AC，所以C>B，
所以B∈，所以B＝45°，又C＝60°，
所以A＝180°－B－C＝180°－45°－60°＝75°.
类型二 用余弦定理解三角形
【例3】(2020·贵阳模拟)平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝3，AC＝4，则BD＝( )
A．4 B.eq \r(10)
C.eq \r(19) D.eq \r(7)
【答案】B
【解析】如图所示
在△ABC中，AB＝2，BC＝AD＝3，AC＝4，由余弦定理得cs∠ABC＝eq \f(AB2＋BC2－AC2,2AB·BC)＝eq \f(4＋9－16,2×2×3)＝－eq \f(1,4)，所以cs∠DAB＝－cs∠ABC＝eq \f(1,4)，在△ABD中，由余弦定理得BD2＝AD2＋AB2－2AD·AB·cs∠DAB＝32＋22－2×3×2×eq \f(1,4)＝10.所以BD＝eq \r(10).
【例4】．在△ABC中，AB＝4，AC＝7，BC边上中线AD＝eq \f(7,2)，则BC＝________．
【答案】9
【解析】设BD＝DC＝x，∠ADC＝α，∠ADB＝π－α，
在△ADC中，72＝x2＋(eq \f(7,2))2－2x×eq \f(7,2)cs α，①
在△ABD中，42＝x2＋(eq \f(7,2))2－2x×eq \f(7,2)cs(π－α)，②
①＋②得x＝eq \f(9,2)，∴BC＝9.
类型三 综合利用正、余弦定理解三角形
【例5】(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sin B－sin C)2＝sin2A－sin Bsin C.
①求A；
②若eq \r(2)a＋b＝2c，求sin C.
【答案】①A＝60°②eq \f(\r(6)＋\r(2),4)
【解析】①由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sin Bsin C，故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc.
由余弦定理得cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(1,2).
因为0°＜A＜180°，所以A＝60°.
②由①知B＝120°－C，由题设及正弦定理得eq \r(2)sin A＋sin(120°－C)＝2sin C，即eq \f(\r(6),2)＋eq \f(\r(3),2)cs C＋eq \f(1,2)sin C＝2sin C，可得cs(C＋60°)＝－eq \f(\r(2),2).
由于0°＜C＜120°，所以sin(C＋60°)＝eq \f(\r(2),2)，
故sin C＝sin(C＋60°－60°)＝sin(C＋60°)cs 60°－cs(C＋60°)sin 60°＝eq \f(\r(6)＋\r(2),4).
【例6】在△ABC中，a＝3，b－c＝2，csB＝－eq \f(1,2).
(1)求b，c的值；
(2)求sin(B－C)的值．
【答案】（1）c＝5，b＝7.（2）eq \f(4\r(3),7).
【解析】(1)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accsB，得
b2＝32＋c2－2×3×c×.
因为b＝c＋2，所以(c＋2)2＝32＋c2－2×3×c×，
解得c＝5，所以b＝7.
(2)由csB＝－eq \f(1,2)，得sinB＝eq \f(\r(3),2).
由正弦定理，得sinC＝eq \f(c,b)sinB＝eq \f(5\r(3),14).
在△ABC中，B是钝角，所以C为锐角，
所以csC＝eq \r(1－sin2C)＝eq \f(11,14).
所以sin(B－C)＝sinBcsC－csBsinC＝eq \f(4\r(3),7).
题型二 利用正、余弦定理边角互化
【题型要点】1．应用正、余弦定理转化边角关系的技巧
2．利用正、余弦定理判断三角形形状的基本方法
(1)“角化边”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．
(2)“边化角”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．
【例1】(2020·武汉调研)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若eq \f(c,b)