2021年高考理科数学一轮复习：专题4.6 正弦定理、余弦定理的综合应用 题型全归纳与高效训练突破

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目录
TOC \ "1-3" \h \u 一、题型全归纳1
题型一 解三角形中的实际问题1
题型二 平面几何中的解三角形问题5
题型三 与三角形有关的最值(范围)问题8
二、高效训练突破10
一、题型全归纳
题型一 解三角形中的实际问题
【题型要点】1.利用正、余弦定理解决实际问题的一般步骤
(1)分析——理解题意，分清已知与未知，画出示意图．
(2)建模——根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在相关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型．
(3)求解——利用正弦定理或余弦定理有序地解三角形，求得数学模型的解．
(4)检验——检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．
2.实际测量中的常见问题
3.三角应用题求解的关键是正确作图(平面图、立体图)，并且条件对应好(仰角、俯角、方向角等)．
【例1】．(2020·宁德模拟)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得CD＝80，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则A，B两点的距离为________．
【答案】80eq \r(5)
【解析】由已知，在△ACD中，∠ACD＝15°，∠ADC＝150°，
所以∠DAC＝15°，由正弦定理，得
AC＝eq \f(80sin150°,sin15°)＝eq \f(40,\f(\r(6)－\r(2),4))＝40(eq \r(6)＋eq \r(2))，
在△BCD中，∠BDC＝15°，∠BCD＝135°，
所以∠DBC＝30°，
由正弦定理eq \f(CD,sin∠CBD)＝eq \f(BC,sin∠BDC)，得
BC＝eq \f(CD·sin∠BDC,sin∠CBD)＝eq \f(80×sin15°,\f(1,2))＝160sin15°＝40(eq \r(6)－eq \r(2))；
在△ABC中，由余弦定理，
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cs∠ACB＝1600×(8＋4eq \r(3))＋1600×(8－4eq \r(3))＋2×1600×(eq \r(6)＋eq \r(2))×(eq \r(6)－eq \r(2))×eq \f(1,2)＝1600×16＋1600×4＝32000，
解得AB＝80eq \r(5)，则A，B两点的距离为80eq \r(5).
【例2】(2020·长沙一中模拟)如图，在路边安装路灯，路宽为OD，灯柱OB高为10 m，灯杆AB长为1 m，且灯杆与灯柱成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，其轴截面的顶角为2θ，灯罩轴线AC与灯杆AB垂直．若灯罩截面的两条母线所在直线中的一条恰好经过点O，另一条与地面的交点为E.则该路灯照在路面上的宽度OE的长是________ m.
【答案】eq \f(40\r(3),3)
【解析】在△AOB中，由余弦定理可得OA＝eq \r(111) m，
由正弦定理得sin∠BAO＝eq \f(5\r(37),37)，
因为∠BAO＋θ＝eq \f(π,2)，
所以csθ＝sin∠BAO＝eq \f(5\r(37),37)，sinθ＝eq \f(2\r(3),\r(37))，
则sin2θ＝2sinθcsθ＝eq \f(20\r(3),37).
易知∠ACO＝60°，则sin∠AEO＝sin(60°－θ)＝eq \f(3\r(3),2\r(37))，
在△AOE中，由正弦定理可得OE＝eq \f(OAsin2θ,sin∠AEO)＝eq \f(40\r(3),3) m.
【例3】如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，则cs θ的值为________．
【答案】eq \f(\r(21),14)
【解析】在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，
由余弦定理得
BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cs 120°＝2 800，
得BC＝20eq \r(7).
由正弦定理，得eq \f(AB,sin∠ACB)＝eq \f(BC,sin∠BAC)，
即sin∠ACB＝eq \f(AB,BC)·sin∠BAC＝eq \f(\r(21),7).
由∠BAC＝120°，知∠ACB为锐角，
则cs∠ACB＝eq \f(2\r(7),7).
由θ＝∠ACB＋30°，得cs θ＝cs(∠ACB＋30°)＝cs∠ACBcs 30°－sin∠ACBsin 30°＝eq \f(\r(21),14).
题型二 平面几何中的解三角形问题
【题型要点】与平面图形有关的解三角形问题的关键及思路
求解平面图形中的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据化归到三角形中，利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的关系．
具体解题思路如下：
(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；
(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．
【例1】(2020·湖南衡阳第三次联考)如图，在平面四边形ABCD中，0＜∠DAB＜eq \f(π,2)，AD＝2，AB＝3，△ABD的面积为eq \f(3\r(3),2)，AB⊥BC.
(1)求sin∠ABD的值；
(2)若∠BCD＝eq \f(2π,3)，求BC的长．
【答案】（1）eq \f(\r(21),7) （2）eq \f(\r(3),3)
【解析】(1)因为△ABD的面积S＝eq \f(1,2)AD×ABsin∠DAB＝eq \f(1,2)×2×3sin∠DAB＝eq \f(3\r(3),2)，
所以sin∠DAB＝eq \f(\r(3),2).
又0＜∠DAB＜eq \f(π,2)，所以∠DAB＝eq \f(π,3)，所以cs∠DAB＝cs eq \f(π,3)＝eq \f(1,2).
由余弦定理得
BD＝eq \r(AD2＋AB2－2AD·ABcs∠DAB)＝eq \r(7)，
由正弦定理得sin∠ABD＝eq \f(ADsin∠DAB,BD)＝eq \f(\r(21),7).
(2)因为AB⊥BC，所以∠ABC＝eq \f(π,2)，
sin∠DBC＝sin(eq \f(π,2)－∠ABD)＝cs∠ABD＝eq \r(1－sin2∠ABD)＝eq \f(2\r(7),7).
在△BCD中，由正弦定理eq \f(CD,sin∠DBC)＝eq \f(BD,sin∠DCB)可得CD＝eq \f(BDsin∠DBC,sin∠DCB)＝eq \f(4\r(3),3).
由余弦定理DC2＋BC2－2DC·BCcs∠DCB＝BD2，
可得3BC2＋4eq \r(3)BC－5＝0，解得BC＝eq \f(\r(3),3)或BC＝－eq \f(5\r(3),3)(舍去)．
故BC的长为eq \f(\r(3),3).
【例2】如图，在平面四边形ABCD中，∠ABC＝eq \f(3π,4)，AB⊥AD，AB＝1.
(1)若AC＝eq \r(5)，求△ABC的面积；
(2)若∠ADC＝eq \f(π,6)，CD＝4，求sin∠CAD.
【答案】（1）eq \f(1,2)；（2）eq \f(2\r(5),5)
【解析】(1)在△ABC中，由余弦定理得，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cs∠ABC，
即5＝1＋BC2＋eq \r(2)BC，解得BC＝eq \r(2)，
所以△ABC的面积S△ABC＝eq \f(1,2)AB·BC·sin∠ABC＝eq \f(1,2)×1×eq \r(2)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(1,2).
(2)设∠CAD＝θ，在△ACD中，由正弦定理得eq \f(AC,sin∠ADC)＝eq \f(CD,sin∠CAD)，即eq \f(AC,sin \f(π,6))＝eq \f(4,sin θ)，①
在△ABC中，∠BAC＝eq \f(π,2)－θ，∠BCA＝π－eq \f(3π,4)－(eq \f(π,2)－θ)＝θ－eq \f(π,4)，
由正弦定理得eq \f(AC,sin∠ABC)＝eq \f(AB,sin∠BCA)，
即eq \f(AC,sin\f(3π,4))＝eq \f(1,sin（θ－\f(π,4)）)，②
①②两式相除，得eq \f(sin\f(3π,4),sin \f(π,6))＝eq \f(4sin（θ－\f(π,4)）,sin θ)，
即4(eq \f(\r(2),2)sin θ－eq \f(\r(2),2)cs θ)＝eq \r(2)sin θ，整理得sin θ＝2cs θ.
又因为sin2θ＋cs2θ＝1，
所以sin θ＝eq \f(2\r(5),5)，即sin∠CAD＝eq \f(2\r(5),5).
题型三 与三角形有关的最值(范围)问题
【题型要点】1.解三角形问题中，求解某个量(式子)的最值(范围)的基本思路为：
要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大．
2.求解三角形中的最值、范围问题的2个注意点
(1)涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解，已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化．
(2)注意题目中的隐含条件，如本例中锐角三角形的条件，又如A＋B＋C＝π，0＜A＜π，b－c＜a＜b＋c，三角形中大边对大角等．
【例1】(2019·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asineq \f(A＋C,2)＝bsin A.
(1)求B；
(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．
【答案】（1）B＝60°（2）
【解析】(1)由题设及正弦定理得sin Asineq \f(A＋C,2)＝sin Bsin A.
因为sin A≠0，所以sineq \f(A＋C,2)＝sin B.
由A＋B＋C＝180°，可得sineq \f(A＋C,2)＝cseq \f(B,2)，故cseq \f(B,2)＝2sineq \f(B,2)cseq \f(B,2).
因为cseq \f(B,2)≠0，故sineq \f(B,2)＝eq \f(1,2)，因此B＝60°.
(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC＝eq \f(\r(3),4)a.
由正弦定理得a＝eq \f(csin A,sin C)＝eq \f(sin（120°－C）,sin C)＝eq \f(\r(3),2tan C)＋eq \f(1,2).
由于△ABC为锐角三角形，故0°