2021年高考理科数学一轮复习：专题7.3 基本不等式 题型全归纳与高效训练突破

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目录
TOC \ "1-3" \h \u 一、考点全归纳 PAGEREF _Tc16525 1
\l "_Tc24360" 二、题型全归纳 PAGEREF _Tc24360 2
题型 一 利用基本不等式求最值 PAGEREF _Tc23543 2
\l "_Tc4759" 类型一 通过配凑法利用基本不等式求最值 PAGEREF _Tc4759 3
类型二 通过常数代换利用基本不等式求最值 PAGEREF _Tc703 3
\l "_Tc25757" 类型三 通过消元法利用基本不等式求最值 PAGEREF _Tc25757 5
类型四 多次利用基本不等式求最值 PAGEREF _Tc7347 5
\l "_Tc15697" 题型二 基本不等式的综合应用 PAGEREF _Tc15697 6
类型一 与其他知识的交汇问题 PAGEREF _Tc6917 6
\l "_Tc13489" 类型二 求参数的值或取值范围 PAGEREF _Tc13489 8
题型三 基本不等式在实际问题中的应用 PAGEREF _Tc15112 9
\l "_Tc10979" 题型四 利用均值定理连续放缩求最值 PAGEREF _Tc10979 10
三、高效训练突破 PAGEREF _Tc7137 11
一、考点全归纳
1．基本不等式eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)
(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0．
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
2．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．
(2)eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2(a，b同号)．
(3)ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))eq \s\up12(2)(a，b∈R)．
(4)eq \f(a2＋b2,2)≥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))eq \s\up12(2)(a，b∈R)．
以上不等式等号成立的条件均为a＝b.
3．算术平均数与几何平均数
设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为eq \f(a＋b,2)，几何平均数为eq \r(ab)，基本不等式可叙述为：两个正实数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
常用结论
已知x>0，y>0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2eq \r(p).(简记：积定和最小)
(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是eq \f(p2,4).(简记：和定积最大)
二、题型全归纳
题型 一 利用基本不等式求最值
【题型要点】(1)利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式．
(2)常数代换法，主要解决形如“已知x＋y＝t(t为常数)，求eq \f(a,x)＋eq \f(b,y)的最值”的问题，先将eq \f(a,x)＋eq \f(b,y)转化为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,x)＋\f(b,y)))·eq \f(x＋y,t)，再用基本不等式求最值．
(3)当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值．
(4)当连续多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且注意取等号的条件的一致性，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，也是检验转换是否有误的一种方法．
类型一 通过配凑法利用基本不等式求最值
【例1】(1)已知00，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________．
类型四 多次利用基本不等式求最值
【例5】若a，b∈R，ab>0，则eq \f(a4＋4b4＋1,ab)的最小值为________．[来源:学.科.网]
题型二 基本不等式的综合应用
【题型要点】基本不等式的综合运用常见题型及求解策略
(1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．
(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．
(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围．
类型一 与其他知识的交汇问题
【例1】(1)已知直线ax＋by＋c－1＝0(b，c>0)经过圆x2＋y2－2y－5＝0的圆心，则eq \f(4,b)＋eq \f(1,c)的最小值是________．
(2)设等差数列{an}的公差是d，其前n项和是Sn，若a1＝d＝1，则eq \f(Sn＋8,an)的最小值是________．
【例2】．(2020·昆明模拟)如图，在矩形ABCD中，已知AB＝4，AD＝3，点E，F分别在BC，CD上，且∠EAF＝45°.设∠BAE＝θ，当四边形AECF的面积取得最大值时，则tanθ＝________.
类型二 求参数的值或取值范围
【例3】已知不等式(x＋y)≥9对任意的正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为________．
【例4】(2020·河南平顶山一模)若对任意x>0，eq \f(x,x2＋3x＋1)≤a恒成立，则a的取值范围是( )
A．a≥eq \f(1,5) B．a＞eq \f(1,5)
C．a＜eq \f(1,5) D．a≤eq \f(1,5)
题型三 基本不等式在实际问题中的应用
【题型要点】利用基本不等式求解实际问题的注意事项
(1)根据实际问题抽象出目标函数的表达式，再利用基本不等式求得函数的最值．
(2)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．
(3)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．
(4)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解．
【例1】(2020·湖北七市(州)教科研协作体联考)如图，将1张长为2 m，宽为1 m的长方形纸板按图中方式剪裁并废弃阴影部分，若剩余部分恰好能折叠成一个长方体纸盒(接缝部分忽略不计)，则此长方体体积的最大值为________ m3.
【例2】(2020·成都诊断)某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，当工厂和仓库之间的距离为________千米时，运费与仓储费之和最小，最小为________万元．
题型四 利用均值定理连续放缩求最值
【题型要点】利用基本不等式求函数或代数式的最值时一定要注意验证等号是否成立，特别是当连续多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且注意取等号的条件的一致性，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，也是检验转换是否有误的一种方法．
【例1】已知a>b>0，那么a2＋eq \f(1,b（a－b）)的最小值为________．
【例2】设a>b>0，则a2＋eq \f(1,ab)＋eq \f(1,a（a－b）)的最小值是________．
三、高效训练突破
一、选择题
1．(2020·广西钦州期末)已知a，b∈R，a2＋b2＝15－ab，则ab的最大值是( )
A．15 B．12
C．5 D．3
2．(2020·揭阳模拟)设非零实数a，b，则“a2＋b2≥2ab”是“eq \f(a,b)＋eq \f(b,a)≥2”成立的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知a>0，b>0，a，b的等比中项是1，且m＝b＋eq \f(1,a)，n＝a＋eq \f(1,b)，则m＋n的最小值是( )
A．3 B．4
C．5 D．6
4．(2020·郑州外国语学校月考)若a＞b＞1，P＝eq \r(lg a·lg b)，Q＝eq \f(1,2)(lg a＋lg b)，R＝lg eq \f(a＋b,2)，则( )
A．R＜P＜Q B．Q＜P＜R
C．P＜Q＜R D．P＜R＜Q
5．若正数x，y满足4x2＋9y2＋3xy＝30，则xy的最大值是( )
A.eq \f(4,3) B.eq \f(5,3)
C．2 D.eq \f(5,4)
6．若实数a，b满足eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)＝eq \r(ab)，则ab的最小值为( )
A.eq \r(2) B．2
C．2eq \r(2) D．4
7．(2020·湖南衡阳期末)已知P是面积为1的△ABC内的一点(不含边界)，若△PAB，△PAC和△PBC的面积分别为x，y，z，则eq \f(y＋z,x)＋eq \f(1,y＋z)的最小值是( )
A.eq \f(2\r(3)＋1,3) B．eq \f(\r(3)＋2,3)
C.eq \f(1,3) D．3
8．已知a＞0，b＞0，若不等式eq \f(3,a)＋eq \f(1,b)≥eq \f(m,a＋3b)恒成立，则m的最大值为( )
A．9 B．12
C．18 D．24
9．(2020·湖北恩施2月教学质量检测)已知角α，β的顶点都为坐标原点，始边都与x轴的非负半轴重合，且都为第一象限的角，α，β终边上分别有点A(1，a)，B(2，b)，且α＝2β，则eq \f(1,a)＋b的最小值为( )
A．1 B．eq \r(2)
C.eq \r(3) D．2
10．《几何原本》第二卷的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示的图形，点F在半圆O上，点C在半径OB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为( )
A.eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)(a＞0，b＞0) B．a2＋b2≥2ab(a＞0，b＞0)
C.eq \f(2ab,a＋b)≤eq \r(ab)(a＞0，b＞0) D.eq \f(a＋b,2)≤ eq \r(\f(a2＋b2,2))(a＞0，b＞0)
11．(2020·江淮十校模拟)已知函数f(x)＝|ln (x－1)|，若f(a)＝f(b)，则a＋2b的取值范围为( )
A．(4，＋∞) B．[3＋2eq \r(2)，＋∞)
C．[6，＋∞) D．(4,3＋2eq \r(2)]
12.(2020·河北石家庄模拟)若a，b是正数，直线2ax＋by－2＝0被圆x2＋y2＝4截得的弦长为2eq \r(3)，则t＝aeq \r(1＋2b2)取得最大值时a的值为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(3),2)
C.eq \f(\r(3),4) D.eq \f(3,4)
二、填空题
1.(2020·江西吉安期末)已知函数f(x)＝eq \f(sin2x,sin x＋2)，则f(x) 的最大值为________．
2．已知正数x，y满足x＋2eq \r(2xy)≤λ(x＋y)恒成立，则实数λ的最小值为________．
3．(2020·安徽合肥第二次教学质量检测)若a＋b≠0，则a2＋b2＋eq \f(1,（a＋b）2)的最小值为________．
4．当x∈R时，32x－(k＋1)3x＋2>0恒成立，则k的取值范围是________．
5.(2020·河南许昌、洛阳第三次质量检测)已知x>0，y>0，且eq \f(1,x)＋eq \f(2,y)＝1，则xy＋x＋y的最小值为________．
6.(2020·陕西榆林摸底)已知正数x，y满足x2＋y2＝1，则当x＝________时，eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)取得最小值，最小值为________．
7．当0＜m＜eq \f(1,2)时，若eq \f(1,m)＋eq \f(2,1－2m)≥k2－2k恒成立，则实数k的取值范围为________．
8．(2020·天津一中高考模拟)已知关于x的不等式x2－5ax＋2a20)的解集为(x1，x2)，则x1＋x2＋eq \f(a,x1x2)的最小值是________．
三 解答题
1.已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求
(1)xy的最小值；
(2)x＋y的最小值．
2.已知x>0，y>0，且2x＋5y＝20.
求：(1)u＝lg x＋lg y的最大值；
(2)eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)的最小值．
3．某厂家拟定在2020年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m(m≥0)万元满足x＝3－eq \f(k,m＋1)(k为常数)．如果不搞促销活动，那么该产品的年销量只能是1万件．已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．
(1)将2020年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
(2)该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？