2021年高考理科数学一轮复习：专题9.6 双曲线 题型全归纳与高效训练突破

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目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc194" 一、考点全归纳 PAGEREF _Tc194 1
\l "_Tc29440" 二、题型全归纳 PAGEREF _Tc29440 3
\l "_Tc12807" 题型一 双曲线的定义 PAGEREF _Tc12807 3
\l "_Tc11931" 类型一 利用定义求轨迹方程 PAGEREF _Tc11931 3
\l "_Tc23314" 类型二 利用定义解决“焦点三角形”问题 PAGEREF _Tc23314 4
\l "_Tc16777" 类型三 利用定义求解最值问题 PAGEREF _Tc16777 4
\l "_Tc4932" 题型二 双曲线的标准方程 PAGEREF _Tc4932 5
\l "_Tc29855" 题型三 双曲线的几何性质 PAGEREF _Tc29855 8
\l "_Tc23318" 类型一 求双曲线的焦点(距)、实、虚轴长 PAGEREF _Tc23318 8
\l "_Tc7564" 类型二 求双曲线的渐近线方程 PAGEREF _Tc7564 9
\l "_Tc29767" 类型三 求双曲线的离心率(或范围) PAGEREF _Tc29767 10
\l "_Tc22195" 题型四 直线与双曲线的综合问题 PAGEREF _Tc22195 11
\l "_Tc30918" 三、高效训练突破 PAGEREF _Tc30918 13
一、考点全归纳
1．双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.
(1)当2a|F1F2|时，P点不存在．
2．双曲线的标准方程和几何性质
3.等轴双曲线及性质
(1)等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程可写作：x2－y2＝λ(λ≠0)．
(2)等轴双曲线⇔离心率e＝eq \r(2)⇔两条渐近线y＝±x互相垂直．
【常用结论】
1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
2．若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.
3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为eq \f(2b2,a)，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a.
4．设P，A，B是双曲线上的三个不同的点，其中A，B关于原点对称，直线PA，PB斜率存在且不为0，则直线PA与PB的斜率之积为eq \f(b2,a2).
5．P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则S△PF1F2＝b2·eq \f(1,tan \f(θ,2))，其中θ为∠F1PF2.
二、题型全归纳
题型一 双曲线的定义
【解题要点】双曲线定义的应用
(1)判定满足某条件的平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程．
(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立|PF1|与|PF2|的关系．
[提醒] 在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支．
类型一 利用定义求轨迹方程
【例1】已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为____________．
【答案】x2－eq \f(y2,8)＝1(x≤－1)
【解析】如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和点B.根据两圆外切的条件，得
|MC1|－|AC1|＝|MA|，
|MC2|－|BC2|＝|MB|，
因为|MA|＝|MB|，所以
|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，
即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，所以点M到两定点C1、C2的距离的差是常数且小于|C1C2|＝6.
又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，
其中a＝1，c＝3，则b2＝8.
故点M的轨迹方程为x2－eq \f(y2,8)＝1(x≤－1)．
类型二 利用定义解决“焦点三角形”问题
【例2】已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左，右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cs∠F1PF2＝________．
【答案】 eq \f(3,4)
【解析】 由双曲线的定义有|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝2eq \r(2)，
所以|PF1|＝2|PF2|＝4eq \r(2)，
则cs∠F1PF2＝eq \f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)＝eq \f(（4\r(2)）2＋（2\r(2)）2－42,2×4\r(2)×2\r(2))＝eq \f(3,4).
类型三 利用定义求解最值问题
【例3】若双曲线eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1的左焦点为F，点P是双曲线右支上的动点，A(1，4)，则|PF|＋|PA|的最小值是( )
A．8 B．9
C．10 D．12
【答案】 B
【解析】 由题意知，双曲线eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1的左焦点F的坐标为(－4，0)，设双曲线的右焦点为B，则B(4，0)，由双曲线的定义知|PF|＋|PA|＝4＋|PB|＋|PA|≥4＋|AB|＝4＋eq \r(（4－1）2＋（0－4）2)＝4＋5＝9，当且仅当A，P，B三点共线且P在A，B之间时取等号．所以|PF|＋|PA|的最小值为9.
题型二 双曲线的标准方程
【规律与方法】(1)求双曲线标准方程的答题模板
(2)利用待定系数法求双曲线方程的常用方法
①与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1共渐近线的方程可设为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ(λ≠0)；
②若双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x，则双曲线的方程可设为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ(λ≠0)；
③若双曲线过两个已知点，则双曲线的方程可设为eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,n)＝1(mn0)，所以eq \f(4,a2)－eq \f(1,b2)＝1，a2＋b2＝3，解得a2＝2，b2＝1，所以所求双曲线方程是eq \f(x2,2)－y2＝1.
法二：设所求双曲线方程为eq \f(x2,4－λ)＋eq \f(y2,1－λ)＝1(10，b>0)的左、右焦点，若F1，F2，P(0,2b)为等边三角形的三个顶点，且双曲线经过点Q(eq \r(5)，eq \r(3))，则该双曲线的方程为( )
A．x2－eq \f(y2,3)＝1 B.eq \f(x2,2)－eq \f(y2,2)＝1
C.eq \f(x2,3)－eq \f(y2,9)＝1 D.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1
【答案】 D
【解析】
F1和F2分别为双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，∵F1，F2，P(0,2b)构成正三角形，
∴2b＝eq \r(3)c，即有3c2＝4b2＝3(a2＋b2)，∴b2＝3a2.∵双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1过点Q(eq \r(5)，eq \r(3))，∴eq \f(5,a2)－eq \f(3,3a2)＝1，解得a2＝4，∴b2＝12，∴双曲线的方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1.故选D.
题型三 双曲线的几何性质
【解题要点】与双曲线几何性质有关问题的解题策略
(1)求双曲线的离心率(或范围)：依据题设条件，将问题转化为关于a，c的等式(或不等式)，解方程(或不等式)即可求得．
(2)求双曲线的渐近线方程：依据题设条件，求双曲线中a，b的值或a与b的比值，进而得出双曲线的渐近线方程．
(3)求双曲线方程：依据题设条件，求出a，b的值或依据双曲线的定义，即可求双曲线的方程．
(4)求双曲线焦点(焦距)、实虚轴的长：依题设条件及a，b，c之间的关系求解．
类型一 求双曲线的焦点(距)、实、虚轴长
【例1】已知离心率为eq \f(\r(5),2)的双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，M是双曲线C的一条渐近线上的点，且OM⊥MF2，O为坐标原点，若S△OMF2＝16，则双曲线的实轴长是( )
A．32 B．16
C．84 D．4
【答案】 B
【解析】 由题意知F2(c，0)，不妨令点M在渐近线y＝eq \f(b,a)x上，由题意可知|F2M|＝eq \f(bc,\r(a2＋b2))＝b，所以|OM|＝eq \r(c2－b2)＝a.由S△OMF2＝16，可得eq \f(1,2)ab＝16，即ab＝32，又a2＋b2＝c2，eq \f(c,a)＝eq \f(\r(5),2)，所以a＝8，b＝4，c＝4eq \r(5)，所以双曲线C的实轴长为16.故选B.
类型二 求双曲线的渐近线方程
【例2】 (1)(2020·福建厦门一模)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点为F，点A，B是C的一条渐近线上关于原点对称的两点，以AB为直径的圆过F且交C的左支于M，N两点，若|MN|＝2，△ABF的面积为8，则C的渐近线方程为( )
A．y＝±eq \r(3)x B．y＝±eq \f(\r(3),3)x
C．y＝±2x D．y＝±eq \f(1,2)x
(2)过双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左焦点F作圆O：x2＋y2＝a2的两条切线，切点为A，B，双曲线的左顶点为C，若∠ACB＝120°，则双曲线的渐近线方程为( )
A．y＝±eq \r(3)x B．y＝±eq \f(\r(3),3)x
C．y＝±eq \r(2)x D．y＝±eq \f(\r(2),2)x
【答案】 (1)B (2)A
【解析】(1)设双曲线的另一个焦点为F′，由双曲线的对称性，可得四边形AFBF′是矩形，
所以S△ABF＝S△ABF′，即bc＝8，
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＋y2＝c2，,\f(x2,a2)－\f(y2,b2)＝1))可得y＝±eq \f(b2,c)，则|MN|＝eq \f(2b2,c)＝2，即b2＝c，
所以b＝2，c＝4，所以a＝eq \r(c2－b2)＝2eq \r(3)，所以C的渐近线方程为y＝±eq \f(\r(3),3)x，
故选B.
(2)如图所示，连接OA，OB，
设双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的焦距为2c(c>0)，则C(－a，0)，F(－c，0)．
由双曲线和圆的对称性知，点A与点B关于x轴对称，则∠ACO＝∠BCO＝eq \f(1,2)∠ACB＝eq \f(1,2)×120°＝60°.
因为|OA|＝|OC|＝a，所以△ACO为等边三角形，所以∠AOC＝60°.
因为FA与圆O相切于点A，所以OA⊥FA，
在Rt△AOF中，∠AFO＝90°－∠AOF＝90°－60°＝30°，所以|OF|＝2|OA|，即c＝2a，
所以b＝eq \r(c2－a2)＝eq \r(（2a）2－a2)＝eq \r(3)a，
故双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为
y＝±eq \f(b,a)x，即y＝±eq \r(3)x.
类型三 求双曲线的离心率(或范围)
【例3】设F为双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于 P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为( )
A.eq \r(2) B．eq \r(3)
C．2 D．eq \r(5)
【答案】A
【解析】 如图
由题意，知以OF为直径的圆的方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(c,2)))eq \s\up12(2)＋y2＝eq \f(c2,4)①，将x2＋y2＝a2记为②式，①－②得x＝eq \f(a2,c)，则以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2的相交弦所在直线的方程为x＝eq \f(a2,c)，所以|PQ|＝2eq \r(a2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2,c)))\s\up12(2)).由|PQ|＝|OF|，得2eq \r(a2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2,c)))\s\up12(2))＝c，整理得c4－4a2c2＋4a4＝0，即e4－4e2＋4＝0，解得e＝eq \r(2)，故选A.
题型四 直线与双曲线的综合问题
【规律方法】1．判断直线与双曲线位置关系的三个步骤
2．一个易错点
联立直线与双曲线方程消元后，一定要注意二次项系数是否为零的判断或讨论．
3．一组常用结论

【例1】．过双曲线M：x2－eq \f(y2,3)＝1的左焦点F作圆C：x2＋(y－3)2＝eq \f(1,2)的切线，此切线与M的左支、右支分别交于A，B两点，则线段AB的中点到x轴的距离为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
【答案】B
【解析】由题意知，切线过双曲线的左焦点F(－2,0)，且切线斜率存在，不妨设切线方程为y－0＝k(x＋2)，易知eq \f(|2k－3|,\r(1＋k2))＝eq \f(\r(2),2)，解得k＝1或k＝eq \f(17,7).当k＝eq \f(17,7)时，切线不与双曲线M的右支相交，故舍去，所以切线方程为y＝x＋2，与双曲线方程联立，消元得2y2－12y＋9＝0，所以y1＋y2＝6，即线段AB中点的纵坐标为3，所以线段AB的中点到x轴的距离为3.
【例2】．已知双曲线C：x2－y2＝1及直线l：y＝kx－1.
(1)若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；
(2)若l与C交于A，B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为eq \r(2)，求实数k的值．
【解析】 (1)若双曲线C与直线l有两个不同的交点，
则方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－y2＝1，,y＝kx－1))有两个不同的实数根，
整理得(1－k2)x2＋2kx－2＝0，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－k2≠0，,Δ＝4k2＋81－k2>0，))
解得－eq \r(2)x2时，S△OAB＝S△ODA＋S△OBD＝eq \f(1,2)(|x1|＋|x2|)＝eq \f(1,2)|x1－x2|.
所以S△OAB＝eq \f(1,2)|x1－x2|＝eq \r(2)，
所以(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(2eq \r(2))2，
即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(－2k,1－k2)))2＋eq \f(8,1－k2)＝8，解得k＝0或k＝±eq \f(\r(6),2).
又因为－eq \r(2)0)的离心率为eq \r(3)，则其渐近线方程为( )
A．y＝±eq \r(2)x B．y＝±eq \r(3)x
C．y＝±eq \f(\r(2),2)x D．y＝±eq \f(\r(3),2)x
【答案】A
【解析】：.法一：由题意知，e＝eq \f(c,a)＝eq \r(3)，所以c＝eq \r(3)a，所以b＝eq \r(c2－a2)＝eq \r(2)a，所以eq \f(b,a)＝eq \r(2)，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x＝±eq \r(2)x，故选A.
法二：由e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))\s\up12(2))＝eq \r(3)，得eq \f(b,a)＝eq \r(2)，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x＝±eq \r(2)x，故选A.
3．(2020·广东揭阳一模)过双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的两焦点且与x轴垂直的直线与双曲线的四个交点组成一个正方形，则该双曲线的离心率为( )
A.eq \r(5)－1 B．eq \f(\r(5)＋1,2)
C.eq \f(3,2) D．2
【答案】B
【解析】：.将x＝±c代入双曲线的方程得y2＝eq \f(b4,a2)⇒y＝±eq \f(b2,a)，则2c＝eq \f(2b2,a)，即有ac＝b2＝c2－a2，由e＝eq \f(c,a)，可得e2－e－1＝0，解得e＝eq \f(\r(5)＋1,2)(舍负)．故选B.
4．(2020·安阳模拟)过双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦点F(c，0)作其渐近线y＝eq \f(\r(3),2)x的垂线，垂足为M，若S△OMF＝4eq \r(3)(O为坐标原点)，则双曲线的标准方程为( )
A.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,3)＝1 B．eq \f(x2,8)－eq \f(y2,6)＝1
C.eq \f(x2,16)－eq \f(y2,12)＝1 D．eq \f(x2,32)－eq \f(y2,24)＝1
【答案】C.
【解析】：由题意易得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)＝\f(\r(3),2)，,\f(1,2)ab＝4\r(3)，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝4，,b＝2\r(3)，))
所以双曲线的标准方程为eq \f(x2,16)－eq \f(y2,12)＝1，故选C.
5．过双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点F为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的方程为( )
A.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1 B．eq \f(x2,7)－eq \f(y2,9)＝1
C.eq \f(x2,8)－eq \f(y2,8)＝1 D．eq \f(x2,12)－eq \f(y2,4)＝1
【答案】A
【解析】：.因为渐近线y＝eq \f(b,a)x与直线x＝a交于点A(a，b)，c＝4且eq \r(（4－a）2＋b2)＝4，解得a2＝4，b2＝12，因此双曲线的标准方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1.
6．(2020·河北衡水三模)过双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦点F(eq \r(5)，0)作斜率为k(k＜－1)的直线与双曲线过第一象限的渐近线垂直，且垂足为A，交另一条渐近线于点B，若S△BOF＝eq \f(5,3)(O为坐标原点)，则k的值为( )
A．－eq \r(2) B．－2
C．－eq \r(3) D．－eq \r(5)
【答案】B.
【解析】：由题意得双曲线过第一象限的渐近线方程为y＝－eq \f(1,k)x，过第二象限的渐近线的方程为y＝eq \f(1,k)x，直线FB的方程为y＝k(x－eq \r(5))，联立方程得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝k（x－\r(5)），,y＝\f(1,k)x))⇒x＝eq \f(\r(5)k2,k2－1)，所以y＝eq \f(\r(5)k,k2－1)，所以S△BOF＝eq \f(1,2)|OF|×|yB|＝eq \f(1,2)×eq \r(5)×eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5)k,k2－1)))＝eq \f(5,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(k,k2－1))).令eq \f(5,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(k,k2－1)))＝eq \f(5,3)，得k＝－2或k＝eq \f(1,2)(舍)．故选B.
7．(2020·唐山模拟)过双曲线E：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左焦点(－eq \r(5)，0)，作圆(x－eq \r(5))2＋y2＝4的切线，切点在双曲线E上，则E的离心率等于( )
A．2eq \r(5) B．eq \r(5)
C.eq \f(\r(5),3) D．eq \f(\r(5),2)
【答案】B.
【解析】：设圆的圆心为G，双曲线的左焦点为F.由圆的方程(x－eq \r(5))2＋y2＝4，知圆心坐标为G(eq \r(5)，0)，半径R＝2，则FG＝2eq \r(5).
设切点为P，
则GP⊥FP，PG＝2，PF＝2＋2a，
由|PF|2＋|PG|2＝|FG|2，
即(2＋2a)2＋4＝20，
即(2＋2a)2＝16，得2＋2a＝4，a＝1，又c＝eq \r(5)，
所以双曲线的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \r(5)，故选B.
8．(2020·广东汕尾一模)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，F是双曲线C的右焦点，A是双曲线C的右顶点，过F作x轴的垂线，交双曲线于M，N两点．若tan∠MAN＝－eq \f(3,4)，则双曲线C的离心率为( )
A．3 B．2
C.eq \f(4,3) D．eq \r(2)
【答案】B.
【解析】：由题意可知
tan∠MAN＝－eq \f(3,4)＝eq \f(2tan∠MAF,1－tan2∠MAF)，解得tan∠MAF＝3，可得eq \f(\f(b2,a),c－a)＝3，可得c2＋2a2－3ac＝0，e2＋2－3e＝0，
因为e＞1，所以解得e＝2.故选B.
9．(2020·湛江模拟)设F为双曲线E：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a，b＞0)的右焦点，过E的右顶点作x轴的垂线与E的渐近线相交于A，B两点，O为坐标原点，四边形OAFB为菱形，圆x2＋y2＝c2(c2＝a2＋b2)与E在第一象限的交点是P，且|PF|＝eq \r(7)－1，则双曲线E的方程是( )
A.eq \f(x2,6)－eq \f(y2,2)＝1 B．eq \f(x2,2)－eq \f(y2,6)＝1
C.eq \f(x2,3)－y2＝1 D．x2－eq \f(y2,3)＝1
【答案】D.
【解析】：双曲线E：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x，
因为四边形OAFB为菱形，
所以对角线互相垂直平分，所以c＝2a，∠AOF＝60°，
所以eq \f(b,a)＝eq \r(3).则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x2,a2)－\f(y2,3a2)＝1，,x2＋y2＝c2＝4a2，))
解得Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(7),2)a，\f(3,2)a)).因为|PF|＝eq \r(7)－1，
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(7),2)a－2a))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)a))eq \s\up12(2)＝(eq \r(7)－1)2，解得a＝1，则b＝eq \r(3)，
故双曲线E的方程为x2－eq \f(y2,3)＝1.
故选D.
10．已知双曲线eq \f(x2,9)－eq \f(y2,b2)＝1(b＞0)的左顶点为A，虚轴长为8，右焦点为F，且⊙F与双曲线的渐近线相切，若过点A作⊙F的两条切线，切点分别为M，N，则|MN|＝( )
A．8 B．4eq \r(2)
C．2eq \r(3) D．4eq \r(3)
【答案】D.
【解析】：因为双曲线eq \f(x2,9)－eq \f(y2,b2)＝1(b＞0)的虚轴长为8，
所以2b＝8，解得b＝4，
因为a＝3，
所以双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(4,3)x，c2＝a2＋b2＝25，A(－3，0)，所以c＝5，所以F(5，0)，
因为⊙F与双曲线的渐近线相切，
所以⊙F的半径为eq \f(|4×5＋0|,\r(42＋32))＝4，
所以|MF|＝4，
因为|AF|＝a＋c＝3＋5＝8，
所以|AM|＝eq \r(82－42)＝4eq \r(3)，
因为S四边形AMFN＝2×eq \f(1,2)|AM|·|MF|＝eq \f(1,2)|AF|·|MN|，
所以2×eq \f(1,2)×4eq \r(3)×4＝eq \f(1,2)×8|MN|，
解得|MN|＝4eq \r(3)，故选D.
11．(2020·开封模拟)过双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦点F作圆x2＋y2＝a2的切线FM(切点为M)，交y轴于点P，若eq \(PM,\s\up6(→))＝2eq \(MF,\s\up6(→))，则双曲线的离心率为( )
A.eq \r(2) B．eq \f(\r(6),2)
C.eq \r(3) D．2
【答案】B.
【解析】：设P(0，3m)，由eq \(PM,\s\up6(→))＝2eq \(MF,\s\up6(→))，可得点M的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)c，m))，因为OM⊥PF，所以eq \f(m,\f(2,3)c)·eq \f(3m,－c)＝－1，所以m2＝eq \f(2,9)c2，所以Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)c，± \r(\f(2c2,9))))，由|OM|2＋|MF|2＝|OF|2，|OM|＝a，|OF|＝c得，a2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,3)))eq \s\up12(2)＋eq \f(2c2,9)＝c2，a2＝eq \f(2,3)c2，所以e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(6),2)，故选B.
12.(2020·武汉4月调研)过点P(4,2)作一直线AB与双曲线C：eq \f(x2,2)－y2＝1相交于A，B两点，若P为线段AB的中点，则|AB|＝( )
A．2eq \r(2) B．2eq \r(3)
C．3eq \r(3) D．4eq \r(3)
【答案】 D
【解析】 解法一：由题意可知，直线AB的斜率存在．设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为y＝k(x－4)＋2.由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx－4＋2，,\f(x2,2)－y2＝1))消去y并整理，得(1－2k2)x2＋8k(2k－1)x－32k2＋32k－10＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)．因为P(4,2)为线段AB的中点，所以x1＋x2＝－eq \f(8k2k－1,1－2k2)＝8，解得k＝1.
所以x1x2＝eq \f(－32k2＋32k－10,1－2k2)＝10.
所以|AB|＝eq \r(1＋k2)·eq \r(x1＋x22－4x1x2)＝4eq \r(3).故选D.
解法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq \f(x\\al(2,1),2)－yeq \\al(2,1)＝1， ①
eq \f(x\\al(2,2),2)－yeq \\al(2,2)＝1. ②
①－②得eq \f(1,2)(x1－x2)(x1＋x2)－(y1－y2)(y1＋y2)＝0.
因为P(4,2)为线段AB的中点，所以x1＋x2＝8，y1＋y2＝4.
所以4(x1－x2)－4(y1－y2)＝0，即x1－x2＝y1－y2，所以直线AB的斜率k＝eq \f(y1－y2,x1－x2)＝1.则直线AB的方程为y＝x－2.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x－2，,\f(x2,2)－y2＝1))消去y并整理，得x2－8x＋10＝0，
所以x1＋x2＝8，x1x2＝10.所以|AB|＝eq \r(1＋k2)·eq \r(x1＋x22－4x1x2)＝4eq \r(3).
二、填空题
1.焦点在x轴上，焦距为10，且与双曲线eq \f(y2,4)－x2＝1有相同渐近线的双曲线的标准方程是________．
【答案】：eq \f(x2,5)－eq \f(y2,20)＝1
【解析】：设所求双曲线的标准方程为eq \f(y2,4)－x2＝－λ(λ>0)，即eq \f(x2,λ)－eq \f(y2,4λ)＝1，则有4λ＋λ＝25，解得λ＝5，所以所求双曲线的标准方程为eq \f(x2,5)－eq \f(y2,20)＝1.
2.经过点P(3，2eq \r(7))，Q(－6eq \r(2)，7)的双曲线的标准方程为________．
【答案】：eq \f(y2,25)－eq \f(x2,75)＝1
【解析】：设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn0，,x1＋x2>0，,x1x2>0))
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1( Δ>0，,x1＋x20))
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1( Δ>0，,x1x2