2021年高考理科数学一轮复习：专题9.7 抛物线 题型全归纳与高效训练突破

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目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc13357" 一、考点全归纳 PAGEREF _Tc13357 1
\l "_Tc23059" 二、题型全归纳 PAGEREF _Tc23059 3
\l "_Tc20671" 题型一 抛物线的定义及应用 PAGEREF _Tc20671 3
\l "_Tc3794" 题型二 抛物线的标准方程 PAGEREF _Tc3794 4
\l "_Tc7359" 题型三 抛物线的性质 PAGEREF _Tc7359 6
\l "_Tc20282" 题型四 直线与抛物线的位置关系 PAGEREF _Tc20282 8
\l "_Tc17657" 类型一 直线与抛物线相切问题 PAGEREF _Tc17657 9
\l "_Tc5720" 类型二 过焦点的直线与抛物线相交问题 PAGEREF _Tc5720 10
\l "_Tc15314" 类型三 不过焦点的直线与抛物线相交问题 PAGEREF _Tc15314 11
\l "_Tc10832" 三、高效训练突破 PAGEREF _Tc10832 12
一、考点全归纳
1．抛物线的定义
满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：
(1)在平面内．
(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等．
(3)定点不在定直线上．
2．抛物线的标准方程和几何性质
【常用结论】
1．抛物线y2＝2px(p＞0)上一点P(x0，y0)到焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))的距离|PF|＝x0＋eq \f(p,2)，也称为抛物线的焦半径．
2．y2＝ax(a≠0)的焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,4)，0))，准线方程为x＝－eq \f(a,4).
3．如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
(1)y1y2＝－p2，x1x2＝eq \f(p2,4).
(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(2p,sin2θ)(θ为AB的倾斜角)．
(3)eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)为定值eq \f(2,p).
(4)以AB为直径的圆与准线相切．
(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切
二、题型全归纳
题型一 抛物线的定义及应用
【解题要点】利用抛物线的定义可解决的常见问题
(1)轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线．
(2)距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题时，注意在解题中利用两者之间的关系进行相互转化．
(3)看到准线想焦点，看到焦点想准线，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．
(4)注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|＝|x|＋eq \f(p,2)或|PF|＝|y|＋eq \f(p,2).
【例1】．过点F(0,3)且和直线y＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为( )
A．y2＝12x B．y2＝－12x
C．x2＝－12y D．x2＝12y
【例2】．(2020·沈阳模拟)抛物线y2＝6x上一点M(x1，y1)到其焦点的距离为eq \f(9,2)，则点M到坐标原点的距离为________．
【例3】设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点，若B(3，2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________．
题型二 抛物线的标准方程
【规律与方法】求抛物线的标准方程应注意以下几点
(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线的标准方程属于四种类型中的哪一种．
(2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系．
(3)要注意参数p的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题．
【例1】．(2019·全国卷Ⅱ)若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆eq \f(x2,3p)＋eq \f(y2,p)＝1的一个焦点，则p＝( )
A．2 B．3
C．4 D．8
【例2】．(2019·北京高考)设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为________．
【例3】如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为( )
A．y2＝9x B．y2＝6x
C．y2＝3x D．y2＝eq \r(3)x
题型三 抛物线的性质
【解题要点】抛物线几何性质的应用技巧
(1)涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．
(2)与抛物线的焦点弦长有关的问题，可直接应用公式求解．解题时，需依据抛物线的标准方程，确定弦长公式是由交点横坐标还是由交点纵坐标定，是p与交点横(纵)坐标的和还是与交点横(纵)坐标的差，这是正确解题的关键．
【例1】已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是过F的直线与抛物线的两个交点，求证：
(1)y1y2＝－p2，x1x2＝eq \f(p2,4)；
(2)eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)为定值；
(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．
【例2】．(2020·河南郑州二模)已知抛物线C：y2＝2x，过原点作两条互相垂直的直线分别交C于A，B两点(A，B均不与坐标原点重合)，则抛物线的焦点F到直线AB的距离的最大值为( )
A．2 B．3
C.eq \f(3,2) D．4
【例3】．(2020·洛阳模拟)已知F是抛物线C1：y2＝2px(p＞0)的焦点，曲线C2是以F为圆心，eq \f(p,2)为半径的圆，直线4x－3y－2p＝0与曲线C1，C2从上到下依次相交于点A，B，C，D，则eq \f(|AB|,|CD|)＝( )
A．16 B．4
C.eq \f(8,3) D．eq \f(5,3)
题型四 直线与抛物线的位置关系
【规律方法】1．直线与抛物线交点问题的解题思路
(1)求交点问题，通常解直线方程与抛物线方程组成的方程组．
(2)与交点相关的问题通常借助根与系数的关系或用向量法解决．
2．解决抛物线的弦及弦中点问题的常用方法
(1)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用焦点弦公式，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
(2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．
【提醒】：为了回避讨论直线斜率存在和不存在，可以灵活设直线方程．
类型一 直线与抛物线相切问题
【例1】．(2019·全国卷Ⅲ)已知曲线C：y＝eq \f(x2,2)，D为直线y＝－eq \f(1,2)上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.
(1)证明：直线AB过定点；
(2)若以Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(5,2)))为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积．
类型二 过焦点的直线与抛物线相交问题
【例2】．(2020·湖南长郡中学模拟)已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，E为其准线与x轴的交点，过F的直线交抛物线C于A，B两点，M为线段AB的中点，且|ME|＝eq \r(11)，则|AB|＝( )
A．6 B．3eq \r(3)
C．8 D．9
【例3】．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点作直线l与抛物线交于A，B两点，直线l与y轴的负半轴交于点C.若eq \(AB,\s\up6(→))＝3eq \(BC,\s\up6(→))，则直线l的斜率为________．
类型三 不过焦点的直线与抛物线相交问题
【例4】．(2019·全国卷Ⅰ)已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为eq \f(3,2)的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.
(1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；
(2)若eq \(AP,\s\up6(→))＝3eq \(PB,\s\up6(→))，求|AB|.
三、高效训练突破
一、选择题
1．若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆eq \f(x2,3p)＋eq \f(y2,p)＝1的一个焦点，则p＝( )
A．2 B．3
C．4 D．8
2．(2020·河北衡水三模)设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若A，B，C三点坐标分别为(1，2)，(x1，y1)，(x2，y2)，且|eq \(FA,\s\up6(→))|＋|eq \(FB,\s\up6(→))|＋|eq \(FC,\s\up6(→))|＝10，则x1＋x2＝( )
A．6 B．5
C．4 D．3
3．(2020·河北邯郸一模)位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥有“仙境之桥”之称，它的桥形可近似地看成抛物线，该桥的高度为5 m，跨径为12 m，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为( )
A.eq \f(25,12) m B．eq \f(25,6) m
C.eq \f(9,5) m D．eq \f(18,5) m
4．(2020·河南安阳三模)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，l与x轴的交点为P，点A在抛物线C上，过点A作AA′⊥l，垂足为A′.若四边形AA′PF的面积为14，且cs∠FAA′＝eq \f(3,5)，则抛物线C的方程为( )
A．y2＝x B．y2＝2x
C．y2＝4x D．y2＝8x
5．(2020·江西萍乡一模)已知动圆C经过点A(2，0)，且截y轴所得的弦长为4，则圆心C的轨迹是( )
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
6．(2020·成都模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线l：x＝－1，点M在抛物线C上，点M在直线l：x＝－1上的射影为A，且直线AF的斜率为－eq \r(3)，则△MAF的面积为( )
A.eq \r(3) B．2eq \r(3)
C．4eq \r(3) D．8eq \r(3)
7．(2020·重庆调研)已知抛物线y2＝2px(p＞0)，点C(－4，0)，过抛物线的焦点作垂直于x轴的直线，与抛物线交于A，B两点，若△CAB的面积为24，则以直线AB为准线的抛物线的标准方程是( )
A．y2＝4x B．y2＝－4x
C．y2＝8x D．y2＝－8x
8．已知双曲线C1：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，若抛物线C2：x2＝2py(p＞0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程是( )
A．x2＝16y B．x2＝8y
C．x2＝eq \f(8\r(3),3)y D．x2＝eq \f(16\r(3),3)y
9．已知直线y＝k(x＋2)(k＞0)与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点．若|FA|＝2|FB|，则k＝( )
A.eq \f(1,3) B．eq \f(\r(2),3)
C.eq \f(2,3) D．eq \f(2\r(2),3)
10.(2020·河南郑州二模)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过焦点F与抛物线C分别交于A，B两点，且直线l不与x轴垂直，线段AB的垂直平分线与x轴交于点T(5，0)，则S△AOB＝( )
A．2eq \r(2) B．eq \r(3)
C.eq \r(6) D．3eq \r(6)
11．(2020·广东广州一模)已知F为抛物线C：y2＝6x的焦点，过点F的直线l与C相交于A，B两点，且|AF|＝3|BF|，则|AB|＝( )
A．6 B．8
C．10 D．12
12.(2020·江西九江二模)已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，直线l与抛物线C交于A，B两点，连接AF并延长交抛物线C于点D，若AB中点的纵坐标为|AB|－1，则当∠AFB最大时，|AD|＝( )
A．4 B．8
C．16 D．eq \f(16,3)
二、填空题
1.以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝4eq \r(2)，|DE|＝2eq \r(5)，则C的焦点到准线的距离为________．
2．过抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F且倾斜角为锐角的直线l与C交于A，B两点，过线段AB的中点N且垂直于l的直线与C的准线交于点M，若|MN|＝|AB|，则l的斜率为________．
3．已知点M(－1，1)和抛物线C：y2＝4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB＝90°，则k＝________．
3.在平面直角坐标系xOy中，双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2＝2py(p>0)交于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________．
4.△ABC的三个顶点都在抛物线E：y2＝2x上，其中A(2，2)，△ABC的重心G是抛物线E的焦点，则BC边所在直线的方程为________．
5.已知F为抛物线C：y2＝2x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为________．
6.已知直线y＝a交抛物线y＝x2于A，B两点．若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则实数a的取值范围为________．
7.已知点M(－1,1)和抛物线C：y2＝4x，过C的焦点F且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB＝90°，则k＝________.
8.(2020·银川摸底)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，动点P在抛物线C上，点A(－1,0)，则eq \f(|PF|,|PA|)的最小值为________；当eq \f(|PF|,|PA|)取得最小值时，直线AP的方程为________．
三 解答题
1．(2020·洛阳模拟)已知抛物线E：x2＝2py(p>0)的焦点为F，A(2，y0)是E上一点，且|AF|＝2.
(1)求E的方程；
(2)设点B是E上异于点A的一点，直线AB与直线y＝x－3交于点P，过点P作x轴的垂线交E于点M，证明：直线BM过定点．
2.(2020·咸阳二模)设定点F(0,1)，动点E满足：以EF为直径的圆与x轴相切．
(1)求动点E的轨迹C的方程；
(2)设A，B是曲线C上的两点，若曲线C在A，B处的切线互相垂直，求证：A，F，B三点共线．
3．(2020·衡水一模)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，△ABC的三个顶点都在抛物线上，且eq \(FB,\s\up6(→))＋eq \(FC,\s\up6(→))＝eq \(FA,\s\up6(→)).
(1)证明：B，C两点的纵坐标之积为定值；
(2)设λ＝eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))，求λ的取值范围．
4.(2020·河北衡水二模)已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，点M(2，m)(m＞0)在抛物线上，且|MF|＝2.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若点P(x0，y0)为抛物线上任意一点，过该点的切线为l0，证明：过点F作切线l0的垂线，垂足必在x轴上．
标准方程
y2＝2px(p＞0)
y2＝－2px(p＞0)
x2＝2py(p＞0)
x2＝－2py(p＞0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
顶点
O(0，0)
对称轴
y＝0
x＝0
焦点
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))
离心率
e＝1
准线方程
x＝－eq \f(p,2)
x＝eq \f(p,2)
y＝－eq \f(p,2)
y＝eq \f(p,2)
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下
焦半径(其中P(x0，y0))
|PF|＝x0＋eq \f(p,2)
|PF|＝－x0＋eq \f(p,2)
|PF|＝y0＋eq \f(p,2)
|PF|＝－y0＋eq \f(p,2)