专题09 由动点引出的几种面积问题（教师版） 备战2021年中考几何压轴题分类导练学案

专题9：由动点引出的几种面积问题

动点题是近年来中考的一个热点问题也是难点问题，而因动点产生的面积问题是这类题目考查的重点. 解这类题目要掌握几个基本图形及思路，而后“以静制动”、“转化求解”. 即把动态问题变为静态问题，变为我们所熟知的模型来解。

基本模型一

利用“铅垂高、水平宽”求三角形面积.

面积公式：S=

基本模型二

其中： ，

基本模型三

类型一、一次函数由动点问题引出的面积问题                                        

例1. 如图例1-1，在平面直角坐标系中，直线和直线交于点A. 直线从x轴出发以每秒2个单位的速度向上运动，至通过A点时停止. 在运动过程中，直线分别交y1、y2两条直线于C、B两点，交y轴于点D. 连接OC、OB.

（1）设运动时间为t（s），求t的取值范围.

（2）求出△OBC的面积S与t的函数关系式，并求出S的最大值及此时n的值.

图例1-1

【答案】见解析

【解析】（1）联立，得：

解得：

即点A坐标为.

直线y=n运动到A点的时间为.

所以t的取值范围为.

（2）由题意可知OD=2t，B、C两点纵坐标为2t. 将y=2t分别代入，求得两点横坐标为：，.

所以.

根据三角形面积公式，得：

.

因为，，所以当时，S取最大值，最大值为. 此时.

【点睛】会利用联立函数解析式求函数的交点坐标；平面直角坐标系中两点A(x1,y)、B(x2,y)，则AB=|x1－x2|.

类型二、二次函数由动点问题引出的面积问题                                        

例2. 如图例2-1，二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴的交点为A、D(A在D的右侧），与y轴的交点为C，且A(4，0)，C(0，－3)，对称轴是直线x=1． 

    (1)求二次函数的解析式； 

    (2)若M是第四象限抛物线上一动点，且横坐标为m，设四边形OCMA的面积为S．请写出S与m之间的函数关系式，并求出当m为何值时，四边形OCMA的面积最大.

图例2-1         图例2-2

【答案】见解析

【解析】（1）因为二次函数对称轴是直线x=1，所以.

将A(4，0)，C(0，－3)代入y=ax2+bx+c得：

解得：

即二次函数解析式为：.

（2）连接AC. 过点M作MF⊥x轴，交AC于点E.

设直线AC的解析式为：

将A(4，0)，C(0，－3)代入得：

. 解得：.

即直线AC的解析式为：.

因为M点横坐标为m，所以M点坐标为，E点坐标为

所以.

所以，当m=2时，四边形OCMA的面积最大.

【点睛】利用待定系数法求函数解析式；平面直角坐标系中两点A(x,y1)、B(x,y2)，则AB=|y1－y2|；利用配方法求函数最值.

类型三、反比例函数由动点问题引出的面积问题                                         

例3. 如图例3-1，直线y＝2x＋6与反比例函数(k＞0)的图象交于点A(1，m)，与x轴交于点B，平行于x轴的直线y＝n(0＜n＜6)交反比例函数的图象于点M，交AB于点N，连接BM.

(1)求m的值和反比例函数的表达式；

(2)直线y＝n沿y轴方向平移，当n为何值时，△BMN的面积最大？

图例3-1

【答案】见解析

【解析】（1）将A(1，m)代入y＝2x＋6，得m=8.

将(1，8)代入得：k=8.

即反比例函数解析式为：.

（2）由题意可知：N、M点纵坐标为n，将y=n分别代入y＝2x＋6和得：

，，

可得MN=.

因为，所以当n=3时，△BMN的面积最大.

【点睛】利用待定系数法求函数解析式；熟练利用函数解析式用纵坐标表示横坐标；平面直角坐标系中两点A(x1,y)、B(x2,y)，则AB=|x1－x2|.

类型四、利用三角函数求解由动点问题引出的面积问题                                         

例4. 如图例4-1，在矩形OABC中，点O为原点，边OA的长度为8，对角线AC＝10，抛物线

y＝－x2＋bx＋c经过点A、C，与AB交于点D.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P为线段BC上一个动点(不与点C重合)，点Q为线段AC上一个动点，AQ＝CP，连接PQ，设CP＝m，△CPQ的面积为S. 求S关于m的函数表达式并求出S最大时的m值.

                         图例4-1                     图例4-2

【答案】见解析

【解析】（1）在矩形AOCB中，∠AOC＝90°，

由勾股定理可得，OC＝＝＝6.

所以C(6，0).

将A(0，8)、C(6，0)分别代入抛物线解析式y＝－x2＋bx＋c，

得，解得，

所以抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋8.

(2) 由题意得：AQ=PC=m，QC=10－m.

如图例4-2，过点Q作QE⊥BC于E点.

在Rt△QEC和Rt△ABC中，由三角函数可得：

.

∴＝，即QE＝(10－m)，

∴S＝·CP·QE

＝m×(10－m)

＝－m2＋3 m，

＝－(m－5)2＋，

∴当m＝5时，S取最大值.

【点睛】矩形的性质；用三角函数表示线段间的比例关系；配方法求二次函数最值.

类型五、由动点问题引出的面积存在性问题                                          

例5. 如图例5-1，在平面直角坐标系中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，A（1，0），B（0，2），C（3，1）抛物线的图象过C点，交y轴于点D．

（1）在后面的横线上直接写出点D的坐标及b的值：　    　，b=　    　；

（2）平移该抛物线的对称轴所在直线l，设l与x轴交于点G（x，0），当OG等于多少时，恰好将△ABC的面积分为相等的两部分？

图例5-1                        图例5-2

【答案】见解析

【解析】（1）D(0，－2).

将C（3，1）代入抛物线，得b= .

∴二次函数解析式为：

（2）在Rt△AOB中，由勾股定理得：，所以.

设直线BC、直线AC的解析式为，

将A（1，0），B（0，2），C（3，1）代入得：

解得：，即.

如图例5-2所示. 设直线l交直线BC、直线AC于点F、G. 过C作CH⊥l于点H.

因为G(x，0)，所以，所以EF=，CH=3－x

由，得

即：，解得：.

所以OG等于时，恰好将△ABC的面积分为相等的两部分.

【点睛】待定系数法求解函数解析式；第（2）问需画出图形，转化为我们所熟知的三角形△CFG的面积求解.

类型六、利用转化思想解决由动点问题引出的面积问题                                          

例6. 如图例6-1，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于A、B两点，已知点B的横坐标是4，直线与x、y轴的交点分别为A、C，点P是抛物线上一个动点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P在直线上方，求△PAC的最大面积.

图例6-1                         图例6-2

【答案】见解析

【解析】（1）因为点B的横坐标是4，所以，，.

将、代入得：

，解得：

即抛物线的解析式为：.

（2）如图例6-2，过点B作BH⊥x轴于点H. 过P作PG⊥x轴于点G，交AB于点E，连接PB.

由勾股定理得：

所以，

即：.

设P点横坐标为m，则，，

，AH=5

∴

∴当时，△PAC的面积有最大值，最大值为.

【点睛】待定系数法求解函数解析式；利用两三角形的高相等，则面积比等于底的比，将题目中的三角形转化为我们熟知的三顶点都在抛物线上的三角形，利用铅垂高、水平宽求解.