初中数学冀教版九年级上册24.4 一元二次方程的应用学案设计

一元二次方程的应用

【学习目标】

1．理解并掌握一元二次方程的有关概念。

2．能根据不同的一元二次方程的特点，选用恰当的方法求解，使解题过程简单合理。

3．熟悉掌握列方程解实际问题的一般步骤。

【学习重难点】

1．会用根的判别式及根与系数关系解题。

2．对根与系数的关系这一性质的应用加以确证。

【学习过程】

一、一元二次方程的根的判别式：

1．当                时，方程有两个不相等的实数根；

2．当                时，方程有两个相等的实数根；

3．当                时，方程没有实数根。

二、利用一元二次方程解决图形面积问题

1．在解决规则图形的面积问题时，一般根据有关图形的面积计算公式确定等量关系。

2．在解决不规则的图形面积问题时，一般将其分割或组合成规则的图形，再根据规则图形的面积计算公式计算。

三、典型例题

1．如图，在宽为20m，长为30m的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地。若耕地面积需要551m2，则修建的路宽应为(  )

A．1m

B．1.5m

C．2m

D．2.5m

解析：设修建的路宽为xm，根据题意可知：矩形地面积－所修路面积＝耕地面积，依此列出等量关系：20×30－(20x＋30x－x2)＝551，解得x＝49或1，但49不合题意，应舍去。故选A。

2．如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD(围墙MN最长可利用25m)，现在已备足可以砌50m长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300m2

分析：根据可以砌50m长的墙的材料，即总长度是50m，AB＝xm，则BC＝(50－2x)m，

再根据矩形的面积公式列方程，解一元二次方程即可。

解：设AB＝xm，则BC＝(50－2x)m。

根据题意可得x(50－2x)＝300，

解得x1＝10，x2＝15

当x＝10时，BC＝50－10－10＝30＞25，故x1＝10不合题意，应舍去。

答：可以围成AB长为15m，BC长为20m的矩形。

规律总结：在解决与面积有关的问题时，解题的关键是紧扣几何图形的面积公式，另外应用一元二次方程解实际问题时，检验根的合理性是必不可少的一部分。

三、变式训练

1．如图，张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此铁皮的四个角各剪去一个边长为1m的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15m3的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多2m。现已知购买这种铁皮每平方米需20元钱，问张大叔购回这张矩形铁皮共花了多少元钱？

2．如图，有一矩形空地，一边靠墙，这堵墙的长为30m，另三边由一段总长度为35m的铁丝网围成。已知矩形空地的面积是125m2，求矩形空地的长和宽。