冀教版九年级上册25.4 相似三角形的判定教案

相似三角形的判定

【教学目标】

1．掌握两个三角形相似的判定条件（三个角对应相等，三条边的比对应相等，则两个三角形相似）——相似三角形的定义，和三角形相似的预备定理（平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似）。

2．掌握“两组对应边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相似”的判定方法；掌握“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法。

3．会运用“两个三角形相似的判定条件”和“三角形相似的预备定理”解决简单的问题。

【教学重难点】

1．相似三角形的定义与三角形相似的预备定理。

2．运用三角形相似的条件解决简单的问题。

【教学过程】

一、引入

【生活链接】小明为了迎接世界中学生数学大会的召开，制作了一个三角形花束，三边长分别是35cm，40cm，50cm，小丽也想制作一个这样形状的花束，但她手中只有一根长100cm的木条，她应该怎么制作呢？

【问题探究】如果两个多边形满足对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似，但是定义中条件较多，过于苛刻，你能减少定义中的条件来判断两个三角形相似吗？

二、新课教学

判定定理1：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。

如图所示，在△ABC中，过AB上一点D作DE∥BC交AC于点E，求证△ADE∽△ABC．

证明：∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB．

连接DC，BE，∵S△EBC＝S△DBC，∴S△ABE＝S△ACD．

∵同高的两个三角形面积的比等于底边的比，

∴。

∵。

如图所示，过点D作DF∥AC交BC于点F。

容易证

又∵BD＝AB－AD，BF＝BC－FC＝BC－DE，

∴，即。

∴。

又∵∠A＝∠A，∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，

∴△ADE∽△ABC．

判定定理2：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。

如图所示，在△ABC和△A′B′C′中，，求证△ABC∽△A′B′C′。

证明：在线段A′B′(或它的延长线)上截取A′D＝AB，

过点D作DE∥B′C′交A′C′于点E，

∴△A′DE∽△A′B′C′，

∴。

又∵，A′D=AB，

∴。

∴A′E=AC，同理DE=BC，

∴△A′DE≌△ABC(SSS)，∴△ABC∽△A′B′C′。

例如：在△ABC与△A′B′C′中，AB＝4 cm，BC＝6 cm，AC＝8 cm，A′B′＝12 cm，B′C′＝18 cm，A′C′＝24 cm，此时，，，∴，∴△ABC∽△A′B′C′。

书写格式：在△ABC与△A′B′C′中，∵，∴△ABC∽△A′B′C′。

判定定理3：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。如图所示。

书写格式：在△ABC与△A′B′C′中，

∵，∠A＝∠A′，∴△ABC∽△A′B′C′。

判定定理4：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

如图所示，在△ABC与△A′B′C′中，∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，求证△ABC～△A′B′C′。

证明：在△ABC的边AB上截取AD＝A′B′，

过点D作DE∥BC交AC于点E，

∴△ADE≌△A′B′C′，且△ADE～△ABC，

∴△ABC∽△A′B′C′。

书写格式：在△ABC与△A′B′C′中，∵∠A＝∠A′，

∠B＝∠B′，∴△ABC～△A′B′C′。

三、规律方法小结 

判定三角形相似的方法主要有以下几种：（1）定义；（2）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（3）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；（4）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似；（5）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似；（6）直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形都与原三角形相似(此知识常用，但有时需要证明)；（7）若两个直角三角形满足一个锐角对应相等，或两组直角边的比相等，则这两个直角三角形相似。

四、课堂检测

基本概念题

1．所有的直角三角形都相似吗？所有的等腰直角三角形呢？为什么？

2．根据下列条件判定△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由。

（1）∠A＝120°，AB＝7cm，AC＝14cm，∠A′＝120°，A′B′＝3cm，A′C′＝6cm；

（2）AB＝4cm，BC＝6cm，AC＝8cm，A′B′＝12cm，B′C′＝18cm，A′C′＝21cm。

基础知识应用题

3．如图所示，根据下列情况写出各组相似三角形的对应边的比例式。

（1）△ABC∽△ADE，其中DE∥BC；

（2）△OAB∽△OA′B′，其中A′B′∥AB；

（3）△ABC∽△ADE，其中∠ADE＝∠B．

4．如图所示，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是(    )

A．                        B．  

C．                        D．