初中数学冀教版八年级上册16.3 角的平分线教案

角的平分线

【教学目标】

（一）教学知识点

1．角平分线的性质定理的证明。

2．角平分线的逆定理的证明。

3．定理的应用。

（二）能力训练要求

1．进一步发展学生的推理证明意识和能力，培养学生将文字语言转化为符号语言、图形语言的能力。

2．体验解决问题策略的多样性，提高实践能力。

（三）情感与价值观要求

1．能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲。

2．在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。

【教学重点】

角平分线的定理的证明。

【教学难点】

1．正确地表述角平分线性质定理的逆命题。

2．正确地将文字语言转化成符号语言和图形语言，对几何命题加以证明。

【教学方法】

探索——引导法

【教学过程】

一、设置情境问题，搭建探究平台

问题：同学们知道角平分线上的点有什么性质吗？你是怎样得到的？

下面我们用折纸的方法探索过角平分线上的点的性质，步骤如下：

从折纸过程中，我们可以得出CD＝CE，即角平分线上的点到角两边的距离相等。

你能证明它吗？

二、展示思维空间，构建活动空间

[师]我们从折纸过程中得到了角平分线上的点的性质，我们还需运用所学的公理和已证的定理证明它。请同学们自己尝试着证明它，然后在全班进行交流。

[生]已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E。

求证：PD＝PE。

证明：∵∠1＝∠2，OP＝OP，∠PDO＝∠PEO＝90°，∴△PDO≌△PEO(AAS)。

∴PD＝PE(全等三角形的对应边相等)。

(教师在教学过程中对有困难的学生要给以指导.)

[师]我们用公理和已学过的定理证明了我们折纸过程中得出的结论。我们把它叫做角平分线的性质定理，我们再来一起陈述：(用多媒体演示)角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

我们经常用逆向思维得到一个原命题的逆命题。你能写出这个定理的逆命题吗？

我们在前面学习线段的垂直平分线时，已经历过构造其逆命题的过程，我们可以类比构造角平分线性质定理的逆命题。

[生]如果有一个点到角两边的距离相等，那么这个点必在这个角的平分线上。

[生]我觉得这个命题是假命题。角平分线是角内部的一条射线，而角的外部也存在到角两边距离相等的点。

[师]这位同学思考问题很仔细。事实上，从同一点出发的两条射线一般组成两个角，而“角的内部”通常是指其中小于180°的角的内部，其余部分为角的外部。如上图所示，到∠AOB两边距离相等的点的集合应是射线OC、OD、OE、OF，但其中只有射线OC(即在∠AOB内部的射线)才是∠AOB的平分线。因此逆命题中应加上“在角的内部”的条件。

谁再来完整地叙述一下角平分线性质定理的逆命题呢？

[生]在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的角平分线上。

[师]它是真命题吗？

[生]没有加“在角的内部”时，是假命题。但根据题意我觉得应加上“在角的内部”这一条件，因此角平分线性质定理的逆命题是真命题。

[师]你能证明它吗？

(由大家自己独立思考完成，在全班讨论交流，对困难学生可个别辅导)

[生]证明如下：

已知：在∠AOB内部有一点P，且PD⊥OA，PE⊥OB，D、E为垂足且PD＝PE，

求证：点P在∠AOB的角平分线上。

证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO＝∠PEO＝90°。

在Rt△ODP和Rt△OEP中

OP＝OP，PD＝PE，∴Rt△ODP≌Rt△OEP(HL定理)。

∴∠1＝∠2(全等三角形对应角相等)。

[师]逆命题利用公理和我们已证过的定理证明了，那么我们就可以把这个逆命题叫做原定理的逆定理。给它起个名字吗？

[生]我们就把它叫做角平分线的判定定理吧，因为满足条件的点在角平分线上，连接角的顶点与此点就得到了这个角的角平线了。

[师]很好！我们就把它叫做角平分线的判定定理吧！我们一起再来陈述一下它的内容：

在一个角的内部，且到角两边距离相等的点，在这个角的角平分线上。

三、例题解析

例：已知：△ABC中，∠B的角平分线BE与∠C的平分线CF相交于点P。

求证：AP平分∠BAC．

证明：过点P作PM⊥BC，PNAB，垂足分别为M，N，Q。

∵BE是∠B的平分线，点P在BE上，

∴PQ=PM。(角平分线上的点到角两边的距离相等)

同理，PN=PM。

∴PN=PQ(等量代换)

∴AP平分∠BAC。(角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上)

四、随堂训练

如图，AD、AE分别是△ABC中∠A的内角平分线和外角平分线，它们有什么关系？

解：∵AD平分∠CAB，∴∠1＝∠2＝∠CAB．

又∵AE平分∠CAF，∴∠3＝∠4＝∠CAF。

∵∠CAB＋∠CAF＝180°，∴∠1＋∠3＝(∠CAB＋∠CAF)＝×180°＝90°，即AD⊥AE。

四、课时小结

这节课我们在折纸的基础上，证明了线段的垂直平分线的性质定理和应用，进一步发展学生的推理证明意识和能力。

五、活动与探究

如图，在∠AOB的两边OA、OB上分别取OQ＝OP，OT＝OS，PT和QS相交于点C。

求证：OC平分∠AOB。

证明：在△OPT和△OQS中，OP＝OQ，OT＝OS，∠POT＝∠QOS，∴△OPT≌△OQS(SAS)。

∴∠OTC＝∠OSC(全等三角形的对应角相等)。

在△CQT和△CPS中，∵OT＝OS，OP＝OQ，∴OT－OQ＝OS－OP即QT＝SP，又∵∠PCS＝∠QCT，∠OTC＝∠QSC，∴△CQT≌△CPS(AAS)。

∴CT＝CS(全等三角形的对应边相等)。

在△OCT和△OCS中，OC＝OC，OT＝OS，CT＝CS。

∴△OCT≌△OCS(SSS)。

∴∠TOC＝∠SOC(全等三角形的对应角相等)，即OC平分∠AOB。