数学八年级上册14.2 立方根教学设计

立方根

【教学目标】

（－）知识目标

1．了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根。

2．能用立方运算求某些数的立方根，了解开立方与立方互为逆运算。

3．了解立方根的性质。区分立方根与平方根的不同。

（二）能力目标

在学了平方根的基础上，要求学生能用类比的方法学习立方根的有关知识，领会类比思想。发展学生的求同求异思维。

【教学重点】

立方根的概念。

【教学难点】

1．正确理解立方根的概念。

2．会求一个数的立方根。

3．区分立方根与平方根的不同之处。。

【教学过程】

一、课前布置

1．自学：阅读课本，试着做一做本节练习，提出在自学中发现的问题（鼓励提问）。

2．在自学的基础上试着用类比的方法提炼本小节学习的主要内容。

二、师生互动

（一）对学生提炼的主要内容展开说明，加深理解。

［师］1．能不能根据平方根的写法来类推立方根的记法呢？

若x的平方等于a，则x叫a的平方根，记作x=±，读作x等于正、负二次根号a，简称为x等于正，负根号A。

若x的立方等于a，则x叫a的立方根，记作x=±，读作x等于正、负三次根号a，简称x等于正、负根号A。

［生］因为乘方与开方是互为逆运算，求立方根可通过逆运算立方来求，如x3=8，因为23=8，所以x=2，只有一个根而不是±2，所以立方根的个数不正确

［师］同学们分析非常有道理，我们修正一下立方根的概念，试一试

［生］若一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x就叫做a的立方根；也叫三次方

根。如2是8的立方根，记为x=，读作x等于三次根号A。

［师］2．你是怎么理解开立方是立方的逆运算

［生］正如开平方运算是平方运算的逆运算一样，开立方运算也是立方运算的逆运算，例如：这是求3的三次幂等于27，27叫做幂，属乘方运算，这是求27的三次方根等于3，3叫做立方根，属于开立方运算。

［生］利用开立方运算是立方运算的逆运算，可以通过立方的方法求一个数的立方根。

练习：求下列各数的立方根：

（1）512；（2）－343；（3）0.729；（4）；（5）；（6）±0.125。

解：（1）∵，∴512的立方根为8，即。

（2）∵，∴－343的立方根为－7，即。

（3）∵，∴0.729的立方根是0.9，即。

（4）∵，∴的立方根是，即。

（5）∵，，∴的立方根是，即。

（6）∵，，∴±0.125的立方根是±0.5，即。

［师］由以上的结果想一想正数有几个立方根？0有几个立方根？负数有几个立方根？

［生］正数有一个立方根，0有一个立方根是0，负数有一个立方根。

［师］这就是立方根的性质，进一步明确一些：

正数有一个正的立方根；负数有一个负的立方根；0的立方根是0。

（二）鼓励学生讲解教师提供的例题。（例题的设置是分层的，安排不同基础的学生尝试讲解，教师予以补充）

例1：判断下列语句的正确与否，并说明理由。

（1）0.125的立方根是0.5；

（2）不可能是负数；

（3）如果a是b的立方根，那么ab≥0；

（4）若一个数的平方根与其立方根相同，则这个数是1。

分析：一个数的立方根是唯一的，而正数的平方根有两个，它们互为相反数，不注意这一点，往往容易出错。

解：（1）正确，因为0.53＝0.125，所以，0.125的立方根是0.5。

（2）不正确，根据立方根的概念，当a是负数时，就有一个负的立方根，即就是负数。

（3）正确，因为若b是正数，它的立方根a也是正数；若b是负数，它的立方根，即a也是负数；如果b是零，它的立方根a是零，所以，不论哪种情况，都有ab≥0。

（4）不正确，一个正数的立方根只有一个数，平方根均有两个数，而平方根只有一个数的是0，0的立方根也是0，故一个数的平方根与立方根相同，那么这个数是0。

例2：求下列各式的值：

（1）；    （2）； （3）（4）

分析：注意应用公式＝并依顺序进行计算。将数化为3次幂是进行开立方运算的要点。

解：（1）。

（2）。

（3）。

（4）

例3：求下列各式中的x：

（1）（3x＋2）3－1＝；（2）＋25x3＝－116．

解：（1）因为（3x＋2）3－1＝，（3x＋2）3＝，即3x＋2＝，所以3x＝－，即x＝－；

（2）＋25x3＝－116，即9＋25x3＝－116所以  25x3＝－125，即x3＝－5，所以x＝－

三、引导学生小结：

1．理解立方根的意义，可以从以下两个方面考虑。

（1）由定义知，一个数b是另一个数a的立方根，必须有等式b3＝a成立，从而也给出了求一个数的立方根的方法。

（2）注意立方根与平方根的区别：对于立方根，被开方数a没有限制，换句话说，正数、负数、零都有唯一确定的立方根；而对于平方根，被开方数a必须是非负数，也就是说，负数没有平方根，并且任何正数的平方根有两个，它们互为相反数，理解了以上两点，我们就可以求一个数的立方根了。

2．平方根与立方根的联系与区别：

联系：（1）0的平方根、立方根都有一个是0。（2）平方根、立方根都是开方的结果。

区别：（1）定义不同：（2）个数不同：一个正数有两个平方根，一个正数有一个立方

根；一个负数没有平方根，一个负数有一个立方根。（3）表示法不同正数a的平方根表示为±，a的立方根表示为 。（4）被开方数的取值范围不同±中的被开方数a是非负数；中的被开方数可以是任何数。

3．开立方：求一个数的立方根的运算叫做开立方。开立方与立方互为逆运算。

4．互为相反数的数的立方根也互为相反数，即。