人教A版 (2019)选择性必修 第一册第一章 空间向量与立体几何1.2 空间向量基本定理教案及反思

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册第一章 空间向量与立体几何1.2 空间向量基本定理教案及反思，共13页。教案主要包含了空间向量基本定理，线线平行，线线垂直，线线夹角等内容，欢迎下载使用。

知识梳理
1、空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，其中，{a，b，c}叫做空间的一个基底.
知识典例
题型一 空间向量基本定理
例 1 已知是空间任一点，四点满足任三点均不共线，但四点共面，且，则________.
【答案】-1
【分析】
利用空间向量基本定理，及向量共面的条件，即可得到结论．
【详解】
∵2x•3y•4z•，
∴2x•3y•4z•，
∵O是空间任意一点，A、B、C、D四点满足任三点均不共线，但四点共面
∴﹣2x﹣3y﹣4z＝1
∴2x+3y+4z＝﹣1
故答案为﹣1
巩固练习
在四棱锥中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，若=，=，=，则=_____．
【答案】
【分析】
根据底面ABCD是正方形，E为PD中点，向量加法的平行四边形法则得到，而，即可求得的结果.
【详解】
解：=(+)= +)= +=．
故答案为：.
题型二 线线平行
例 2 已知，，，分别是空间四边形的边，，，的中点.
（1）求证：，，，四点共面；
（2）求证：平面；
（3）设是和的交点，求证：对空间任一点，有.
【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解；（3）证明见详解
【分析】
(1)根据向量的加法几何应用得，由共面向量定理的推论可证，，，四点共面；(2)利用中位线证，根据线面平行的判定定理可证平面；(3)根据向量的几何应用可得、、即可证
【详解】
（1）如图，连接
则
由共面向量定理的推论，知，，，四点共面
（2）∵△ABD中，分别是边，的中点，即EH为中位线
∴，又面，面
∴平面
（3）由（2）知，同理
∴，即四边形是平行四边形
∴对角线，交于一点且为它们的中点，又，分别是，的中点
空间中任取一点，并连接，，，，，，，如图所示
故，在△OEG中
在△AOB中；在△COD中；
∴.
巩固练习
已知、、、、、、、、为空间的9个点（如图所示），并且，，，，．求证：
（1）、、、四点共面，、、、四点共面；
（2）．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）根据共面向量的基本定理，由，可证明结论.
（2）运用向量共线定理求证得到线平行.
【详解】
由，
由共面向量的基本定理可得：为共面向量且有公共点
为共面向量且有公共点
所以、、C、四点共面，、、、四点共面．
（2）因为，，
∵
，
∵，又∵，
∴．
所以
题型三 线线垂直
例 3 在所有棱长均为2的三棱柱中，，求证：
（1）；
（2）平面.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）通过计算来证得.
（2）通过证明、来证得平面.
【详解】
（1）依题意可知三角形是等边三角形，
所以，
则.
所以.
（2）依题意四边形为菱形，所以.因为
，
所以，又，所以平面.
巩固练习
如图，在正方体中，，分别是，的中点，求证：平面.
【答案】证明见解析.
【分析】
设，，，作为一组基底，分别表示向量，证明，即可.
【详解】
设，，，则.
则，
.
∴.
∴，即.
同理.∵，
∴平面.
题型四 线线夹角
例 4 已知平行六面体的底面是边长为1的菱形，且，.
（1）证明：；
（2）求异面直线与夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见详解；（2）
【分析】
（1）由题，选定空间中三个不共面的向量为基向量，只需证明即可；
（2）用基向量求解向量的夹角即可，先计算向量的数量积，再求模长，代值计算即可.
【详解】
设，，
由题可知：两两之间的夹角均为，且，
（1）由
所以即证.
（2）由，又
所以，
又
则
又异面直线夹角范围为
所以异面直线夹角的余弦值为.
巩固练习
如图，三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于1，．
（1）设，，，用向量，，表示，并求出的长度；
（2）求异面直线与所成角的余弦值．
【答案】（1）；；（2）．
【分析】
（1）根据向量加减法运算法则可得，根据计算可得的长度；
（2）根据空间向量的夹角公式计算可得结果.
【详解】
（1），
因为，同理可得，
所以．
（2）因为，所以，
因为，
所以．
所以异面直线与所成角的余弦值为．
巩固提升
1、若是空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间一个基底的是( )
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【答案】C
【分析】
验证各组向量是不是共面，共面的不能作为基底，不共面的可作为基底。
【详解】
∵是空间的一个基底，，
∴，，中三个向量是共面的，不能作为基底，其它三个选项中的三个向量都是不共面的，都可作为基底。
故选：C。
2、如图，空间四边形OABC中，，点M是OA的中点，点N在BC上，且，设，则x，y，z的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
将表示为以为基底的向量，由此求得的值.
【详解】
依题意
，所以.
故选：C.
3、下列命题：
①若A、B、C、D是空间任意四点，则有；
②是、共线的充要条件；
③对空间任意一点P与不共线的三点A、B、C，若，（，y，z∈R），则P、A、B、C四点共面．
其中不正确命题的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】
①由向量的运算法则，可判断真假；
②两边平方，利用向量的平方等于向量模的平方，判断真假；
③利用空间向量的基本定理判断真假；
【详解】
解：①根据向量的运算法则知，等号的左边为，而右边为0，故①不正确；
②⇔||2-2||||+||2=||2+2•+||2⇔csθ=-1，即与反向，∴是、共线的充分不必要条件，故②不正确；
③由空间向量基本定理知，空间任意一个向量可以用不共面的三个向量、、线性表示，所以P、A、B、C四点一定不共面，故③不正确；
故选：D．
4、已知空间向量，，设，，与垂直，，，则________．
【答案】
【分析】
根据与垂直，求得，再由条件可求出，，，根据即可得出结果.
【详解】
∵，∴，化简得，
又∵，
，
，
∴，∴．
故答案为：.
5、已知空间向量，，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
由两边平方结合条件可得，再由夹角公式可得解.
【详解】
∵，∴，∴，
∴，∴．
故选：D.
6、如图，在三棱柱中，，D，E分别是的中点.求证：
（1）平面；
（2）平面.(用向量方法证明)
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）设，利用空间向量定理表示向量，，论证，共线即可.
（2）设，利用空间向量定理表示向量，根据，得到，然后再论证，即可.
【详解】
设.
（1），
∵，
∴，
∴，又平面平面，
∴平面.
（2）易知，
∵，
∴
即
两式相加，整理得，
∵，
∴，
∴.
∵，
∴.
又，
∴.
又，
∴平面.