数学人教A版 (2019)2.3 直线的交点坐标与距离公式教学设计

2.3 直线的交点坐标与距离公式

1、两直线相交

直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组的解一一对应.

相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；

平行⇔方程组无解；

重合⇔方程组有无数个解.

2、距离公式

（1）两点间的距离公式

平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为

特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝.

（2）点到直线的距离公式

平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.

（3）两条平行线间的距离公式

一般地，两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝.

题型一 交点问题

例 1　直线和的交点在y轴上，则k的值为（    ）

A．-24 B．6 C． D．-6

【答案】C

【分析】

通过直线的交点代入两条直线方程，然后求解即可．

【详解】

解：因为两条直线和的交点在轴上，

所以设交点为，

所以，消去，可得．

故选：．

当0<k<时，直线l1：kx－y＝k－1与直线l2：ky－x＝2k的交点在(　　)

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

【答案】B

【分析】

解方程组得两直线的交点坐标，由，判断交点的横坐标、纵坐标的符号，得出结论.

【详解】

解方程组,得两直线的交点坐标为,

，

所以交点在第二象限，故选B.

题型二 两点的距离

例 2　已知点，，且，则的值为(    )

A． B． C．或 D．或

【答案】C

【分析】

利用两点间距离公式构造方程求得结果.

【详解】

由题意知：，解得：或

本题正确结果：

（多选）对于，下列说法正确的是（    ）

A．可看作点与点的距离

B．可看作点与点的距离

C．可看作点与点的距离

D．可看作点与点的距离

【答案】BCD

【分析】

化简，结合两点间的距离公式，即可求解.

【详解】

由题意，可得，

可看作点与点的距离，可看作点与点的距离，可看作点与点的距离，故选项A不正确，

故答案为：BCD.

题型三 点到直线的距离

例 3　已知点A(－3，－4)，B(6,3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值等于(　　)

A． B．

C．或 D．或

【答案】C

【分析】

直接根据点到直线的距离公式列出关于的方程，求出方程的解,得到的值.

【详解】

因为和到直线的距离相等，

由点和点到直线的距离公式，

可得，

化简得|，

,

解得实数或，故选C.

（多选）已知直线l经过点，且点到直线l的距离相等，则直线l的方程可能为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AB

【分析】

由题可知直线l的斜率存在，所以设直线l的方程为，然后利用点到直线的距离公式列方程，可求出直线的斜率，从而可得直线方程

【详解】

当直线l的斜率不存在时，显然不满足题意．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即．

由已知得，所以或，

所以直线l的方程为或．

故选：AB

题型四 平行线间的距离

例 4　已知直线和互相平行，则它们之间的距离是（ ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

因为3x+2y-3=0和6x+my+1=0互相平行，所以3∶2=6∶m，所以m=4.

直线6x+4y+1=0可以转化为3x+2y+=0，

由两条平行直线间的距离公式可得：

d===.

若直线与平行，则与间的距离为       

【答案】

【分析】

根据两直线平行求出的值，得出两条直线方程，再求直线之间的距离.

【详解】

由题：直线与平行，

则，即，解得或，

当时，直线与重合；

当时，直线与平行，

两直线之间的距离为.

题型五 三角形的面积求解

例 5　已知直线过点且与定直线在第一象限内交于点，与轴正半轴交于点，记的面积为(为坐标原点)，点.

（1）求实数的取值范围；

（2）求当取得最小值时，直线的方程.

【答案】（1）（2）

【分析】

（1）求出直线与直线平行时，直线的斜率，由斜率公式以及题设条件确定实数的取值范围；

（2）当直线的斜率不存在时，求出点坐标，得出；当直线的斜率存在时，设出方程，求出斜率的范围，联立直线与直线的方程求出点坐标，由三角形面积公式结合判别式法，得出取得最小值时直线的斜率，进而得出直线的方程.

【详解】

（1）当直线与直线平行时，如下图所示

，解得，此时不能形成，则

又点在轴正半轴上，且直线与定直线在第一象限内交于点

（2）当直线的斜率不存在时，即，，此时

当直线的斜率存在时，设直线的方程为

由于斜率存在，则且

又，或

由，得

则

即

由，整理得

则，即的最小值为

此时，解得

则直线的方程为

已知△ABC的两条高线所在直线方程为2x－3y＋1＝0和x＋y＝0，顶点A(1,2)．

求：(1)BC边所在的直线方程；

(2)△ABC的面积．

【答案】(1) 2x＋3y＋7＝0;(2).

【分析】

（1）先判断A点不在两条高线上，再利用垂直关系可得AB、AC的方程，进而通过联立可得解；

（2）分别求|BC|及A点到BC边的距离d，利用S△ABC＝×d×|BC|即可得解.

【详解】

(1)∵A点不在两条高线上，由两条直线垂直的条件可设kAB＝－，kAC＝1．

∴AB、AC边所在的直线方程为3x＋2y－7＝0，x－y＋1＝0．

由得B(7，－7)．

由得C(－2，－1)．

∴BC边所在的直线方程2x＋3y＋7＝0．

(2)∵|BC|＝，A点到BC边的距离d＝，

∴S△ABC＝×d×|BC|＝××＝．

1、直线与直线的交点坐标是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

联立两直线方程，求出公共解，即可得出两直线的交点坐标.

【详解】

联立两直线的方程，解得，因此，两直线的交点坐标是.

故选：B.

2、两平行直线分别过点，它们分别绕旋转，但始终保持平行，则之间的距离的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

先判断当两直线，与直线PQ垂直时，两平行直线，间的距离最大，计算得到最大值，进而得到范围.

【详解】

当时，与的最大距离为5，

因为两直线平行，则两直线距离不为0，

故选：C.

3、“C＝5”是“点(2，1)到直线3x＋4y＋C＝0的距离为3”的(　　)

A．充要条件

B．充分不必要条件

C．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

试题分析：由题意知点到直线的距离为等价于，解得或，所以“”是“点到直线的距离为”的充分不必要条件，故选B.

4、两直线3x+y-3=0与6x+my+1=0平行，则它们之间的距离为（ ）

A．4 B． C． D．

【答案】D

【分析】

由两直线平行，可求得m的值，代入两平行线距离公式，即可求解.

【详解】

因为两直线平行，

所以，解得m=2，

将6x+2y+1=0化为3x+y+=0，

由两条平行线间的距离公式得d==，

故选：D.

5、直线经过原点，且经过另两条直线，的交点，则直线的方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

联立方程可解交点，进而可得直线的斜率，可得方程，化为一般式即可.

【详解】

联立方程，解得：

所以两直线的交点为，所以直线的斜率为，

则直线的方程为：，即.

故选：B

6、若直线和直线的交点在第一象限，则k的取值范围为__________．

【答案】   

【分析】

由解得交点坐标为根据交点位置得到解出即可.

【详解】

由解得

又∵直线和直线的交点在第一象限，

∴解得．

故答案为.

7、已知直线与直线，且，则直线与直线的交点坐标是______．

【答案】

【分析】

由得，求出a，再解方程组求交点坐标．

【详解】

因为，所以，所以．

联立解得，

故直线与直线的交点坐标是．

故答案为：

8、点到直线的距离不大于4，则的取值范围是________．

【答案】

【分析】

根据点到直线的距离公式即可列出不等式，解出即可．

【详解】

依题意可知，，解得．

故答案为：．

9、已知直线l在两坐标轴上的截距相等，且P（4，3）到直线l的距离为3，求直线l的方程．

【答案】y=x，或x+y﹣1=0，或 x+y﹣13=0．

【解析】

试题分析：当直线经过原点时，设直线方程为y=kx，再根据P（4，3）到直线l的距离为3，求得k的值，可得此时直线的方程．当直线不经过原点时，设直线的方程为x+y﹣a=0，由P（4，3）到直线l的距离为3，求得a的值，可得此时直线方程，综合可得结论．

解：当直线经过原点时，设直线方程为y=kx，再根据P（4，3）到直线l的距离为3，

可得 =3，求得k=，故此时直线的方程为 y= x．

当直线不经过原点时，设直线的方程为x+y﹣a=0，由P（4，3）到直线l的距离为3，

可得 =3，求得a=1，或a=13，故此时直线的方程为x+y﹣1=0或x+y﹣13=0．

综上可得，所求直线的方程为y=x，或x+y﹣1=0，或x+y﹣13=0．

10、已知直线方程为.

（1）证明：直线恒过定点；

（2）为何值时，点到直线的距离最大，最大值为多少？

（3）若直线分别与轴，轴的负半轴交于两点，求面积的最小值及此时直线的方程.

【答案】（1）证明见解析（2）；（3）最小值为；此时直线的方程

【分析】

（1）证明：利用直线是直线系求出直线恒过定点，即可；

（2）点到直线的距离最大，转化为两点间的距离，求出距离就是最大值．

（3）若直线分别与轴，轴的负半轴交于．两点，设出直线的方程，求出，，然后求出面积，利用基本不等式求出的最小值及此时直线的方程．

【详解】

（1）证明：直线方程为，可化为，对任意都成立，所以，解得，所以直线恒过定点；

（2）解：点到直线的距离最大，

可知点与定点的连线的距离就是所求最大值，

即.

，

的斜率为，

可得，解得.

（3）解：若直线分别与轴，轴的负半轴交于两点，直线方程为，，

则，，

，当且仅当时取等号，面积的最小值为.

此时直线的方程.