初中数学冀教版八年级上册第十七章 特殊三角形综合与测试同步测试题
展开1.一个等腰三角形的两边长分别为6和12,则这个等腰三角形的周长为( )
A.18 B.24 C.30 D.24或30
2.等腰三角形的一个角为70°,则这个等腰三角形的顶角为( )
A.70° B.55° C.40° D.40°或70°
3.如图,DE⊥AC,BF⊥AC,垂足分别是E,F,且DE=BF,若利用“HL”证明Rt△DEC≌Rt△BFA,则需添加的条件是( )
A.EC=FA B.DC=BA
C.∠D=∠B D.∠DCE=∠BAF
(第3题) (第5题) (第6题)
4.下列各组长度的线段能构成直角三角形的是( )
A.30,40,50 B.7,12,13
C.5,9,12 D.3,4,6
5.如图,在等边三角形ABC中,AB=10 cm,D是AB的中点,过点D作DE⊥AC于点E,则EC的长是( )
A.2.5 cm B.5 cm C.7 cm D.7.5 cm
6.如图,已知正方形的面积为25,且AC比AB小1,则BC的长为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
7.如图,数轴上点A所表示的数为a,则a的值是( )
A.eq \r(5)+1 B.-eq \r(5)+1 C.eq \r(5)-1 D.eq \r(5)
(第7题) (第8题) (第9题)
8.如图,在△ABC中,AC=BC,点D和E分别在AB和AC上,且AD=AE.连接DE,过点A的直线GH与DE平行,若∠C=40°,则∠GAD的度数为( )
A.40° B.45°
C.55° D.70°
9.如图,在钝角三角形ABC中,∠ABC为钝角,先以点B为圆心,AB长为半径画弧,再以点C为圆心,AC长为半径画弧.两弧交于点D,连接BD,CD,AD,CB的延长线交AD于点E.下列结论错误的是( )
A.CE垂直平分AD B.CE平分∠ACD
C.△ABD是等腰三角形 D.△ACD是等边三角形
10.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=2,点D在BC上,∠ADC=2∠B,AD=eq \r(5),则BC的长为( )
A.eq \r(3)-1 B.eq \r(3)+1
C.eq \r(5)-1 D.eq \r(5)+1
(第10题) (第11题)
11.如图,△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形,点B,C,E在同一条直线上,连接BD,则BD的长为( )
A.eq \r(3) B.2 eq \r(3)
C.3 eq \r(3) D.4 eq \r(3)
12.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,将△BCD沿CD折叠,点B恰好落在AB的中点E处,则∠A的度数是( )
A.75° B.60°
C.45° D.30°
(第12题) (第13题)
13.如图,它是台阶的示意图,已知每级台阶的宽度都是30 cm,每级台阶的高度都是15 cm,连接AB,则AB等于( )
A.195 cm B.200 cm
C.205 cm D.210 cm
14.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,直角∠EPF的顶点是BC的中点,两边PE,PF分别交AB,AC于点E,F.给出以下四个结论:①AE=CF;②△PEF是等腰直角三角形;③S四边形AEPF=eq \f(1,2)S△ABC;④EF=AP.当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时(点E不与点A,B重合),上述结论中始终正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
(第14题) (第18题)
二、填空题(每小题3分,共12分)
15.用反证法证明“a>b”时,应先假设________.
16.观察下列几组勾股数:3,4,5;5,12,13;7,24,25;9,40,41;….按此规律,当直角三角形的较短直角边长是2n+1时,较长直角边长是________.
17.我们规定:等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”,记为k.若k=2,则该等腰三角形的顶角的度数为________度.
18.如图,在△ABC中,AB=BC,∠B=120°,AB的垂直平分线交AC于点D,交AB于点E.若AC=6 cm,则AD=________cm,△ABC的面积为________cm2.
三、解答题(19小题8分,20~23小题各10分,24小题12分,共60分)
19.如图,在△ABC中,CD⊥AB于D,AB=AC=13,BD=1.求:
(1)CD的长;
(2)BC的长.
(第19题)
20.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD平分∠ABC交AC于点D,点E是AB的中点,连接DE.
(第20题)
(1)求证:△ABD是等腰三角形;
(2)求∠BDE的度数.
21.如图,在△ABC中,AB=AC,点D,E,F分别在边AB,BC,AC上,且BE=CF,BD=CE.
(1)求证:△DEF是等腰三角形;
(2)当∠A=40°时,求∠DEF的度数.
(第21题)
22.如图,OA⊥OB,OA=45 cm,OB=15 cm,一机器人在B处发现有一个小球自A点出发沿着AO方向匀速滚向点O,机器人立即从B处出发以相同的速度匀速直线前进去拦截小球,在点C处截住了小球,求机器人行走的路程BC.
(第22题)
23.如图,△ABC是边长为3 cm的等边三角形,动点P,Q同时从A,B两点出发,分别沿AB,BC方向匀速运动,它们的速度都是1 cm/s,当点P到达点B时,P,Q两点停止运动.设点P的运动时间为t s,则当t为何值时,△PBQ是直角三角形?
(第23题)
24.问题:如图,在△ABD中,BA=BD.在BD的延长线上取点E,C,作△AEC,使EA=EC.若∠BAE=90°,∠B=45°,求∠DAC的度数.
答案:∠DAC=45°.
思考:(1)如果把以上“问题”中的条件“∠B=45°”去掉,其余条件不变,那么∠DAC的度数会改变吗?说明理由.
(2)如果把以上“问题”中的条件“∠B=45°”去掉,再将“∠BAE=90°”改为“∠BAE=n°”,其余条件不变,求∠DAC的度数.
(第24题)
答案
一、1.C 2.D 3.B 4.A 5.D 6.A 7.C
8.C 【点拨】∵AC=BC,∠C=40°,
∴∠BAC=∠B=eq \f(1,2)×(180°-40°)=70°.
∵AD=AE,∴∠ADE=∠AED=eq \f(1,2)×(180°-70°)=55°.
∵GH∥DE,
∴∠GAD=∠ADE=55°.
9.D
10.D 【点拨】∵∠ADC=2∠B,∠ADC=∠B+∠BAD,
∴∠B=∠DAB,
∴DB=DA=eq \r(5).
在Rt△ADC中,
DC=eq \r(AD2-AC2)=eq \r(5-4)=1,
∴BC=eq \r(5)+1.故选D.
11.D 12.D 13.A 14.C
二、15.a≤b 16.2n2+2n
17.90 18.2;3 eq \r(3)
三、19.解:(1)∵AB=13,BD=1,
∴AD=13-1=12.
在Rt△ACD中,CD=eq \r(AC2-AD2)=eq \r(132-122)=5.
(2)在Rt△BCD中,BC=eq \r(BD2+CD2)=eq \r(12+52)=eq \r(26).
20.(1)证明:∵AB=AC,∠A=36°,
∴∠ABC=∠C=72°.
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠DBC=36°=∠A,
∴BD=AD,
即△ABD是等腰三角形.
(2)解:∵点E是AB的中点,
∴AE=EB,∠DEB=90°,
∴∠BDE=90°-36°=54°.
21.(1)证明:∵AB=AC,
∴∠B=∠C.
在△DBE和△ECF中,
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(BE=CF,,∠B=∠C,,BD=CE,))
∴△DBE≌△ECF.
∴DE=EF.
∴△DEF是等腰三角形.
(2)解:由(1)可知△DBE≌△ECF,
∴∠BDE=∠CEF.
∵∠A+∠B+∠C=180°,∠A=40°,
∠B=∠C,
∴∠B=eq \f(1,2)×(180°-40°)=70°.
∴∠BDE+∠BED=110°.
∴∠CEF+∠BED=110°.
∴∠DEF=70°.
22.解:∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等,运动时间相等,
∴BC=CA.
设BC=CA=x cm,则OC=(45-x)cm,
由勾股定理可知OB2+OC2=BC2,
即152+(45-x)2=x2,
解得x=25.
答:机器人行走的路程BC是25 cm.
23.解:根据题意,得AP=BQ=t cm.
在△ABC中,AB=3 cm,∠B=60°,
∴BP=(3-t)cm.
若△PBQ是直角三角形,
则∠BQP=90°或∠BPQ=90°.
当∠BQP=90°时,BQ=eq \f(1,2)BP,
即t=eq \f(1,2)(3-t),
解得t=1;
当∠BPQ=90°时,BP=eq \f(1,2)BQ,
即3-t=eq \f(1,2)t,
解得t=2.
综上,当t=1或t=2时,△PBQ是直角三角形.
24. 解:(1)∠DAC的度数不会改变.
理由:∵EA=EC,
∴∠CAE=∠C.①
∵BA=BD,
∴∠BAD=∠BDA.
∵∠BAE=90°,
∴∠B=90°-∠AED=90°-2∠C,
∴∠BAD=eq \f(1,2)(180°-∠B)=eq \f(1,2)[180°-(90°-2∠C)]=45°+∠C,
∴∠DAE=90°-∠BAD=90°-(45°+∠C)=45°-∠C.②
由①②得∠DAC=∠DAE+∠CAE=45°-∠C+∠C=45°.
(2)设∠ABC=m°,
则∠BAD=eq \f(1,2)(180°-m°)=90°-eq \f(1,2)m°,
∠AEB=180°-n°-m°,
∴∠DAE=n°-∠BAD=n°-90°+eq \f(1,2)m°.
∵EA=EC,
∴∠CAE=eq \f(1,2)∠AEB=90°-eq \f(1,2)n°-eq \f(1,2)m°,
∴∠DAC=∠DAE+∠CAE=n°-90°+eq \f(1,2)m°+90°-eq \f(1,2)n°-eq \f(1,2)m°=eq \f(1,2)n°.
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