4.4　探索三角形相似的条件

第1课时　利用两角判定三角形相似

1.       理解相似三角形的定义，掌握定义中的两个条件；
2.       .掌握相似三角形的判定定理1；（重点）
3.       能熟练运用相似三角形的判定定理1.（难点）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

一、情景导入

如图，从放大镜里看到的三角尺和原来的三角尺相似吗？

二、合作探究

探究点一：两角分别相等的两个三角形相似

 在△ABC和△A′B′C′中，∠A＝∠A′＝80°，∠B＝70°，∠C′＝30°，这两个三角形相似吗？请说明理由.

解：△ABC∽△A′B′C′.

理由：由三角形的内角和是180°，

得∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－80°－70°＝30°，

所以∠A＝∠A′，∠C＝∠C′.

故△ABC∽△A′B′C′（两角分别相等的两个三角形相似）.

方法总结：两个三角形已有一对角相等，故只要看是否还有一对角相等即可.一般地，在解题过程中要特别注意“公共角”“对顶角”“同角（或等角）的余角”等隐含条件.

探究点二：相似三角形的判定定理1的应用

 已知：如图，△ABC的高AD、BE相交于点F，求证：＝.

解析：要证明＝，可以考虑比例式中四条线段所在的三角形是否相似，即考虑△AFE与△BFD是否相似，利用两个角对应相等的三角形相似可以证明这个结论.

证明：∵BE⊥AC，AD⊥BC，

∴∠AEF＝∠BDF＝90°.

又∵∠AFE＝∠BFD，

∴△AFE∽△BFD，∴＝.

方法总结：证明比例式，可构造相似三角形，只要证明这两个三角形相似，就可根据相似三角形的对应边成比例得到相关比例式.

 如图所示，已知DE∥BC，DF∥AC，AD＝4cm，BD＝8cm，DE＝5cm，求线段BF的长.

解：方法一：因为DE∥BC，所以∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，所以△ADE∽△ABC，

所以＝，即＝，

所以BC＝15cm.又因为DF∥AC，

所以四边形DFCE是平行四边形，

所以FC＝DE＝5cm，

所以BF＝BC－FC＝15－5＝10（cm）.

方法二：因为DE∥BC，所以∠ADE＝∠B.

又因为DF∥AC，所以∠A＝∠BDF，

所以△ADE∽△DBF，

所以＝，即＝，

所以BF＝10cm.

方法总结：求线段的长，常通过找三角形相似得到成比例线段而求得，因此选择哪两个三角形就成了解题的关键，这就需要通过已知的线段和所求的线段分析得到.

三、板书设计

（1）相似三角形的定义：三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形；

（2）相似三角形的判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似.

感受相似三角形与相似多边形、相似三角形与全等三角形的区别与联系，体验事物间特殊与一般的关系.让学生经历从实验探究到归纳证明的过程，发展学生的合情推理能力，培养学生的观察、动手探究、归纳总结的能力.