初中数学北师大版九年级上册第二章 一元二次方程1 认识一元二次方程第2课时教学设计及反思

第2课时　利用两边及夹角判定三角形相似

1.掌握相似三角形的判定定理2；（重点）

2.能熟练运用相似三角形的判定定理2.（难点）

一、情景导入

画△ABC与△A′B′C′，使∠A＝∠A′，和都等于给定的值k.设法比较∠B与∠B′的大小（或∠C与∠C′的大小），△ABC与△A′B′C′相似吗？

二、合作探究

探究点一：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似

 如图，已知点D是△ABC的边AC上的一点，根据下列条件，可以得到△ABC∽△BDC的是（　　）

　　A.AB·CD＝BD·BC

B.AC·CB＝CA·CD

C.BC2＝AC·DC

D.BD2＝CD·DA

解析：有两边对应成比例，并不能说明两个三角形相似，若再知道成比例的两边的夹角相等，则这两个三角形才相似.本题中，∠C是△ABC和△BDC的公共角，关键是找出∠C的两边对应成比例，即＝或BC2＝AC·DC.故选C.

方法总结：判定两个三角形相似时，应根据条件适当选择方法，如本题已知有一个公共角，而它的两条夹边都能成比例，则应选择判定定理2加以判断.

探究点二：相似三角形的判定定理2的应用

 如图所示，零件的外径为a，要求它的厚度x，需求出内孔的直径AB，但不能直接量出AB，现用一个交叉长钳（AC和BD相等）去量，若OA：OC＝OB：OD＝n，且量得CD＝b，求厚度x.

解析：欲求厚度x，而x＝，根据题意较易推出△AOB∽△COD，利用相似三角形的对应边成比例，列出关于AB的比例式，解之即可.

解：因为OA：OC＝OB：OD，∠AOB＝∠COD，

所以△AOB∽△COD，

故＝＝n，可得AB＝bn，

所以x＝.

方法总结：当条件中有两边对应成比例时，通常考虑相似三角形的判定定理2，并注意利用图形的隐含条件，如公共角、对顶角.

 如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点A开始沿AB向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向点C以2cm/s的速度移动.如果点P，Q同时出发，经过多长时间后△PBQ与△ABC相似？

解析：要证明△PBQ与△ABC相似，很显然∠B为公共角，因此可运用两边对应成比例且夹角相等来得到相似，可根据对应边成比例列方程求解，同时要注意分类讨论.

解：设经过t s后，△PBQ与△ABC相似.

（1）当＝时，

△PBQ∽△ABC.

此时＝，解得t＝4.

即经过4s后△PBQ与△ABC相似；

（2）当＝时，△PBQ∽△CBA.

此时＝，解得t＝1.6.

即经过1.6s后△PBQ与△ABC相似.

综上可知，点P，Q同时出发，经过1.6s或4s后△PBQ与△ABC相似.

易错提醒：在点运动的情况下寻找相似的条件，随着点的位置的变化，△PBQ的形状也会发生变化，因此既要考虑△PBQ∽△ABC的情况，还要考虑△PBQ∽△CBA的情况.

三、板书设计

相似三角形的判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.

经历两个三角形相似的探索过程，体验分析归纳得出数学结论的过程，培养学生的观察、发现、比较、归纳能力，进一步发展学生的探究、交流能力.感受两个三角形相似的判定定理2与全等三角形判定定理（SAS）的区别与联系，体验事物间特殊与一般的关.