*4.5　相似三角形判定定理的证明

1.会证明相似三角形判定定理；（重点）

2.运用相似三角形的判定定理解决相关问题.（难点）

一、情景导入

相似三角形的判定方法有哪些？

答：（1）两角对应相等，两三角形相似；

（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；

（3）三边对应成比例，两三角形相似.

怎样证明这些结论呢？

二、合作探究

探究点：相似三角形的判定定理

【类型一】 根据条件判定三角形相似

 如图所示，给出以下条件：①∠B＝∠ACD；②∠ADC＝∠ACB；③＝；④AC2＝AD·AB.其中能单独判定△ABC∽△ACD的个数为（　　）

A.1

B.2

C.3

D.4

解析：在图中已知两个三角形有一对公共角，只要再找一对角相等，或夹公共角的两组对应边成比例即可判定两个三角形相似.题中有三个条件可以单独判定△ABC∽△ACD，分别是①②④.①②是根据有两组角分别对应相等的两个三角形相似来判定的；④是根据两组对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似来判定；③虽然两边对应成比例，但不能得到其夹角相等，所以不能判定两个三角形相似.故选C.

方法总结：利用两边分别对应成比例且夹角相等的方法判定两个三角形相似时，一定要注意必须是对应成比例的两边的夹角相等，若不是夹角相等，则不能判定这两个三角形相似.

【类型二】 探索三角形相似的条件

 如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD.

（1）若AB＝9，CD＝4，BD＝10，请问在BD上是否存在点P，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？若存在，求BP的长；若不存在，请说明理由；

（2）若AB＝9，CD＝4，BD＝12，请问在BD上存在多少个点P，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？并求BP的长；

（3）若AB＝9，CD＝4，BD＝15，请问在BD上存在多少个点P，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？并求BP的长；

（4）若AB＝m，CD＝n，BD＝l，请问在m、n、l满足什么关系时，存在以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似的一个点P？两个点P？三个点P？

解：（1）设BP＝x，则DP＝10－x.

若△ABP∽△CDP，则＝，即＝，解得x＝；若△ABP∽△PDC，则＝，即＝，此时方程无解.

综上，存在这样的点P，此时BP＝；

（2）设BP＝x，则DP＝12－x.

若△ABP∽△CDP，则＝，即＝，解得x＝；若△ABP∽△PDC，则＝，即＝，解得x＝6.

综上所述，存在两个这样的点P，此时BP＝6或；

（3）设BP＝x，则DP＝15－x.

若△ABP∽△CDP，则＝，即＝，解得x＝；若△ABP∽△PDC，则＝，即＝，解得x＝3或12.

综上所述，存在三个这样的点，此时BP＝，3或12；

（4）设BP＝x，则DP＝l－x.

若△ABP∽△CDP，则＝，即＝，解得x＝；若△ABP∽△PDC，则＝，即＝，得方程x2－lx＋mn＝0，Δ＝l2－4mn.

当Δ＝l2－4mn＜0时，存在以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似的一个点P；

当Δ＝l2－4mn＝0时，存在以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似的两个点P；

当Δ＝l2－4mn＞0时，存在以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似的三个点P.

方法总结：由于相似情况不明确，因此要分两种情况讨论，注意要找准对应边.

三、板书设计

相似三角形判定定理的证明

本课主要是证明相似三角形判定定理，以学生的自主探究为主，鼓励学生独立思考，多角度分析解决问题，总结常见的辅助线添加方法，使学生的推理能力和几何思维都获得提高，培养学生的探索精神和合作意识.