2．3　用公式法求解一元二次方程

第1课时　用公式法求解一元二次方程

1．理解一元二次方程求根公式的推导过程；

2．会用公式法解一元二次方程；(重点)

3．会用根的判别式b2－4ac判断一元二次方程根的情况及相关应用．(难点)

一、情景导入

如果这个一元二次方程是一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，你能否用配方法的步骤求出它们的两根？请同学独立完成下面这个问题．

问题：已知ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，且b2－4ac≥0，试推导它的两个根x1＝，x2＝.

二、合作探究

探究点一：用公式法解一元二次方程

 方程3x2－8＝7x化为一般形式是__________，其中a＝________，b＝________，c＝________，方程的根为____________．

解析：将方程移项可化为3x2－7x－8＝0.其中a＝3，b＝－7，c＝－8，因为b2－4ac＝(－7)2－4×3×(－8)＝145＞0，代入求根公式可得x＝.

故答案分别为3x2－7x－8＝0，3，－7，－8，.

方法总结：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根是由方程的系数a，b，c确定的，只要确定了系数a，b，c的值，代入公式就可求得方程的根．

 用公式法解下列方程：

(1)－3x2－5x＋2＝0;  (2)2x2＋3x＋3＝0；

(3)x2－2x＋1＝0.

解析：先确定a，b，c及b2－4ac的值，再代入公式求解即可．

解：(1)－3x2－5x＋2＝0，3x2＋5x－2＝0.

∵a＝3，b＝5，c＝－2，

∴b2－4ac＝52－4×3×(－2)＝49＞0，

∴x＝＝，

∴x1＝，x2＝－2；

(2)∵a＝2，b＝3，c＝3，

∴b2－4ac＝32－4×2×3＝9－24＝－15＜0，

∴原方程没有实数根；

(3)∵a＝1，b＝－2，c＝1，

∴b2－4ac＝(－2)2－4×1×1＝0，

∴x＝＝，

∴x1＝x2＝1.

方法总结：用公式法解一元二次方程时，首先应将其变形为一般形式，然后确定公式中a，b，c的值，再求出b2－4ac的值与“0”比较，最后利用求根公式求出方程的根(或说明其没有实数根)．

探究点二：一元二次方程根的判别式

【类型一】 用根的判别式判断一元二次方程根的情况

 已知一元二次方程x2＋x＝1，下列判断正确的是(　　)

A．该方程有两个相等的实数根

B．该方程有两个不相等的实数根

C．该方程无实数根

D．该方程根的情况不确定

解析：原方程变形为x2＋x－1＝0.∵b2－4ac＝12－4×1×(－1)＝5＞0，∴该方程有两个不相等的实数根，故选B.

方法总结：判断一元二次方程根的情况的方法：利用根的判别式判断一元二次方程根的情况时，要先把方程转化为一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；当b2－4ac＜0时，方程无实数根．

【类型二】 根据方程根的情况确定字母的取值范围

 若关于x的一元二次方程kx2－2x－1＝0，有两个不相等的实数根，则k的取值范围是(　　)

A．k>－1  B．k>－1且k≠0

C．k<1  D．k<1且k≠0

解析：由根的判别式知，方程有两个不相等的实数根，则b2－4ac>0，同时要求二次项系数不为0，即解得k>－1且k≠0，故选B.

易错提醒：利用b2－4ac判断一元二次方程根的情况时，容易忽略二次项系数不能等于0这一条件，本题中容易误选A.

【类型三】 根的判别式与三角形的综合应用

 已知a，b，c分别是△ABC的三边长，当m>0时，关于x的一元二次方程c(x2＋m)＋b(x2－m)－2 ax＝0有两个相等的实数根，请判断△ABC的形状．

解析：先将方程转化为一般形式，再根据根的判别式确定a，b，c之间的关系，即可判定△ABC的形状．

解：将原方程转化为一般形式，得(b＋c)x2－2 ax＋(c－b)m＝0.

∵原方程有两个相等的实数根，

∴(－2 a)2－4(b＋c)(c－b)m＝0，

即4m(a2＋b2－c2)＝0.

又∵m≠0，∴a2＋b2－c2＝0，即a2＋b2＝c2.

根据勾股定理的逆定理可知△ABC为直角三角形．

方法总结：根据一元二次方程根的情况，利用判别式得到关于一元二次方程系数的等式或不等式，再结合其他条件解题．

三、板书设计

经历从用配方法解数字系数的一元二次方程到解字母系数的一元二次方程，探索求根公式，发展学生合情合理的推理能力，并认识到配方法是理解求根公式的基础．通过对求根公式的推导，认识到一元二次方程的求根公式适用于所有的一元二次方程，操作简单．体会数式通性，感受数学的严谨性和数学结论的确定性．提高学生的运算能力，并养成良好的运算习惯.