专题08 数列【理科】（解析版）

这是一份专题08 数列【理科】（解析版），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
专题08 数列一、单选题1. 【2020届河北省衡水中学高三下学期第一次模拟数学（理）】标准对数远视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式，此表中各行均为正方形“E”形视标，且从视力5.2的视标所在行开始往上，每一行“E”的边长都是下方一行“E”边长的倍，若视力4.2的视标边长为，则视力5.1的视标边长为（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】设第行视标边长为，第行视标边长为由题意可得：则数列为首项为，公比为的等比数列即则视力5.1的视标边长为故选：A2. 【河北省衡水第一中学2021届全国高三第二次联合考试（1）】记为等差数列的前项和，若，且，则的公差为（    ）A． B．0 C．2 D．4【答案】A【解析】等差数列中，，且，则，解得，．故选：A．3. 【河北省衡水中学2021届高三上学期七调】已知正项等比数列的首项，前项和为．且，，成等差数列，则（    ）．A．8 B． C．16 D．【答案】A【解析】设等比数列的公比为，因为，，成等差数列，所以，所以所以，即，解得或因为，所以，所以故选：A4. 【河北省衡水中学2021届高三上学期期中】已知数列的前项和为，正项等比数列中，    ，，则A． B． C． D．【答案】D【解析】数列{an}的前n项和Sn=n2﹣n，∴a1=S1=0，n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2n﹣2，n=1时也成立．∴an=2n﹣2．设正项等比数列{bn}的公比为q＞0，b2=a3=4．bn+3bn﹣1=4bn2（n≥2，n∈N+），∴=4，化为q2=4，解得q=2．∴b1×2=4，解得b1=2．∴bn=2n．则log2bn=n．故答案为：D5. 【河北省衡水中学2021届全国高三第一次联合考试（全国卷）】已知是数列的前n项和，若，数列的首项，则（    ）A． B． C．2021 D．【答案】A【解析】令，得.又因为，所以.由，得，所以，所以数列是首项为，公差为的等差数列，所以，所以，所以.故选：A.6. 【河北省衡水中学2021届全国高三下学期第二次联合考试（II卷）】若表示正整数n的个位数字，，数列的前n项和为，则（    ）A． B．0 C．1009 D．1011【答案】C【解析】由题意得，，，，，，，，，，，……所以数列为周期数列，且周期为10．因为，所以．故选：C.二、多选题1. 【河北省衡水中学2021届全国高三第二次联合考试（新高考）】提丢斯·波得定律是关于太阳系中行星轨道的一个简单的几何学规则，它是在1766年由德国的一位中学老师戴维斯·提丢斯发现的，后来被柏林天文台的台长波得归纳成一条定律，即数列：0.4，0.7，1，1.6，2.8，5.2，10，19.6，…，表示的是太阳系第颗行星与太阳的平均距离(以天文单位为单位).现将数列的各项乘以10后再减，得到数列，可以发现数列从第3项起，每项是前一项的2倍，则下列说法正确的是（    ）A．数列的通项公式为B．数列的第2021项为C．数列的前项和D．数列的前项和【答案】CD【解析】数列各项乘以10再减4得到数列故该数列从第2项起构成公比为2的等比数列，所以故A错误；从而所以故B错误当时；当时0.3.当时也符合上式，所以故C正确因为所以当时当2时，所以所以又当时也满足上式，所以，故D正确.故选：CD.三、填空题1. 【河北省衡水中学2021届高三上学期七调】设数列的前项和为，若，，且（且），则的值为__________．【答案】【解析】设，则，由等差中项法可判断为等差数列．因为，，所以，即．当时，．当时，也符合，所以．由于，所以，．故答案为：．2. 【河北省衡水中学2021届高三上学期期中】已知数列的前项和，若不等式，对恒成立，则整数的最大值为______．【答案】4【解析】当时，，得， 当时，，又，两式相减得，得，所以．又，所以数列是以2为首项，1为公差的等差数列，，即．因为，所以不等式，等价于．记，时，．所以时，综上，，所以，所以整数的最大值为4．考点：1．数列的通项公式；2．解不等式．3. 【河北省衡水中学2021届高三上学期四调】已知数列{an}满足：an＝，定义使a1·a2·a3…ak(k∈N*)为整数的k叫做“幸福数”，则区间[1，2020]内所有“幸福数”的和为__________.【答案】1349【解析】当时，为幸福数，符合题意；当时，令，则.    由.故“幸福数”的和为.故答案为：13494. 【河北省衡水中学2021届全国高三下学期第二次联合考试（II卷）】已知等差数列满足，是与的等比中项，则的值为_________．【答案】或【解析】设等差数列的公差为，因为是与的等比中项，所以，即，整理得，解得或．当时，；当时，，则，．故答案为：或.四、解答题1. 【2020届河北省衡水中学高三下学期第一次模拟数学（理）】数列，定义如下：，，，.（1）求数列的通项公式；（2）求数列和的通项公式.【答案】（1）；（2），.【解析】（1）由和，两式相减得，又，则数列是首项为-1，公比为-1的等比数列，则.（2）两式相加得，则数列成首项为3，公比为3的等比数列，则，联立，所以，.2. 【河北省衡水中学2021届高三上学期期中】各项均为正数的数列中，，是数列的前项和，对任意，有.(1)求常数的值；(2)求数列的通项公式；(3)记，求数列的前项和.【答案】（1）（2）（3） 【解析】解：(1)由及，得：，∴.(2)由①，得②由②－①，得，即：，∴，由于数列各项均为正数，∴，即，∴数列是首项为1，公差为的等差数列，∴数列的通项公式是.(3)由，得：，∴，∴，.3. 【河北省衡水中学2021届高三上学期四调】已知数列的前n项和为，，设（1）判断数列是否为等差数列，并说明理由.（2）求数列的前n项和．【答案】（1）是，理由见解析；（2）.【解析】（1）时，得，则，时，由得，两式相减得，即，所以数列是等比数列，；则，，所以数列是首项为1，公差为的等差数列；（2），，，．4. 【河北省衡水中学2021届高三数学第一次联合考试】在①对任意，满足，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．问题：已知数列的前项和为，，______，若数列是等差数列，求数列的通项公式；若数列不一定是等差数列，说明理由．【答案】选择条件①，数列不一定是等差数列，理由见解析；选择条件②，数列的通项公式为；选择条件③，．【解析】解：选择条件①： 因为对任意，，满足，所以，所以．因为无法确定的值，所以不一定等于2．所以数列不一定是等差数列．选择条件②：由，得，即，．又因为，所以．所以数列是等差数列，其公差为2．因此，数列的通项公式为．选择条件③：因为，所以，两式相减得，即．又，即，所以，，又，，所以，所以数列是以2为首项，2为公差的等差数列，所以．5. 【河北省衡水中学2021届高三下学期三调（新高考）】已知数列是等差数列，设为数列的前n项和，数列是等比数列，，若．（1）求数列和的通项公式；（2）若 ，求数列的前2n项和．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q．因为，所以.依题意得，即，解得或（舍）．∴．（2）由（1）可得．∴．∴设数列的前项和为，则．6. 【河北省衡水中学2021届全国高三第二次联合考试（新高考）】已知等差数列的前项和为，且（1）求数列的通项公式；（2）已知数列是以4为首项，4为公比的等比数列，若数列与的公共项为，记由小到大构成数列，求的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设等差数列的公差为，因为，所以.因为，所以.所以，所以（2）由题意知，因为，所以，即：.因此.所以7. 【河北省衡水中学2021届全国高三第一次联合考试（全国卷）】已知数列的前n项和为，点在抛物线上.（1）求；（2）求数列的前n项和.【答案】（1）；（2）.【解析】解：（1）因为点在抛物线上，所以，所以.当时，；当时.所以（2）易求当时，；当时，.综上，