2020届黑龙江省大庆市高三第一次质量检测数学（理）试题

大庆市高三年级第一次教学质量检测

理科数学

2019.10

注意事项:

    1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上.

    2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.

3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷（选择题  共60分）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．  设集合，，则

A．    B． C．       D．

2．  已知（为虚数单位），则复数的共轭复数等于

A．            B．        C．      D．

3．  已知，，且，则

A．               B．     C．           D．

4．  《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织， 日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今共织九十尺，问织几日？”其中“日减功迟”的具体含义是每天比前一天少织同样多的布.则此问题中，该女每天比前一天少织布的尺数为

A．  B．          C．            D．

5．  设抛物线的焦点在直线上，则该抛物线的准线方程为

A．   B． C．         D．

6．  若直线和曲线相切，则实数的值为

A．   B． C．              D．

7．  某公司安排甲、乙、丙人到两个城市出差，每人只去个城市，且每个城市必须有人去，则城市恰好只有甲去的概率为

A．  B．          C．         D．

8．  已知函数 为偶函数，将图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），所得的图象对应的函数为，若最小正周期为，且，则

A．          B．            C.             D．

9．  设，是两条不同直线，，是两个不同平面，则下列命题错误的是

A．若，，则       B．若，，则

C．若，，则      D．若，，则

10．  已知直三棱柱的所有棱长都相等，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为

A．      B．    C． D．

11．  设函数是定义在上的奇函数，在区间上是增函数，且，则有

A．  B．

C．  D．

12．  已知双曲线的左、右焦点分别为，若双曲线的左支上存在一点，使得与双曲线的一条渐近线垂直于点，且，则此双曲线的离心率为

A．  B．  C．        D．

第Ⅱ卷（非选择题  共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22题、第23题为选考题，考生根据要求做答.

二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分.

13．  若实数满足不等式组，则的最大值为                  .

14．  若函数，且，则的值为                 .

15．  若，则                 .

16．  已知为自然对数的底数，若对任意的，总存在唯一的，使得成立，则实数的取值范围是                 .

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分12分）

已知各项均为正数的数列的前项和满足.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）若，求数列的前项和.

18.（本小题满分12分）

    微信作为一款社交软件已经在支付、理财、交通、运动等各方面给人们的生活带来各种各样的便利.手机微信中的“微信运动”，不仅可以看自己每天的运动步数，还可以看到朋友圈里好友的步数.先生朋友圈里有大量好友使用了“微信运动”这项功能.他随机选取了其中名，记录了他们某一天的走路步数，统计数据如下表所示：

（Ⅰ）以样本估计总体，视样本频率为概率，在先生的微信朋友圈里的男性好友中任意选取名，其中走路步数不低于步的有名，求的分布列和数学期望；

（Ⅱ）如果某人一天的走路步数不低于步，此人将被“微信运动”评定为“运动达人”，否则为“运动懒人”．根据题意完成下面的列联表，并据此判断能否有以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关？

附：,其中．

19.（本小题满分12分）

如图，在四棱锥中，，，，

为等边三角形，且平面平面， 为中点．

（Ⅰ） 求证：平面 ；

（Ⅱ）求二面角的正弦值．

20.（本小题满分12分）

   椭圆的右顶点为，右焦点为，且短轴长为，离心率为.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）设点为椭圆与轴正半轴的交点，是否存在直线，使得交椭圆于两点，且恰是的垂心？若存在，求的方程；若不存在，说明理由．

21.（本小题满分12分）

    已知函数，.

（Ⅰ）当，时，求函数在处的切线方程；

（Ⅱ）若函数的两个零点分别为，且，求证：.

请考生在第22、23二题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.

22.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，圆的方程为，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，若直线与曲线相切.

（Ⅰ）求实数的值；

（Ⅱ）在圆上取两点，使得，点与直角坐标原点构成，求面积的最大值．

23.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

设函数.

 （Ⅰ）求不等式的解集；

 （Ⅱ）若不等式的解集为实数集，求的取值范围.

大庆市2020届高三第一次教学质量检测

数学（理）试题参考答案

一．

二．13．   14．   15．   16．

17．解：（1）当时，                  .........................................1分

当时，       .........2分

                          .........................................4分

        是以为首项，为公差的等差数列

                                     .........................................6分

（2）由（1）的              ....................9分

                      .....................12分

18解：（1）在先生的男性好友中任意选取1名，其中走路步数不低于6000的概率为

可能取值分别为0，1，2，3，                  . ............. ....................2分

∴，  ，

，  ，  .. ................4分

的分布列为

则．

（也可写成 .. ................6分

（2）完成列联表

的观测值．..................10分

据此判断没有以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关．  ..... .............12分

19．解：（1）证明：因为，，

所以，

又平面平面，且平面平面，

⊥平面，·····················································1分

又平面，

所以⊥，···················································2分

为中点，且为等边三角形，

⊥，·························································3分

又，

平面 . ······················································4分

（2）

【法一】：（1）取中点为，连接，因为为等边三角形，所以⊥，

由平面⊥平面，因为平面，所以⊥平面，······································5分

（2）所以⊥，由，，

可知，所以．

以中点O为坐标原点，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. ··············6分

所以

，

则，

因为为中点，所以，

由 (1) 知，平面的一个法向量为     ----------------7分

设平面的法向量为，由得

，取，则，····························································9分

由.·································································11分

所以，二面角的正弦值为.················································12分

【法二】：取中点为，连接，因为为等边三角形，所以⊥，

由平面⊥平面，所以⊥平面，··············································5分

所以⊥，由，，

可知，所以．

以中点O为坐标原点，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.···············6分

所以

，

所以

，

由(1)知，可以为平面PBC的法向量，

因为为的中点，

所以，

由(1)知，平面PBC的一个法向量为，··········································7分

设平面PCD的法向量为，

由得，

取，则，·····························································9分

所以································································11分

所以，二面角的正弦值为.················································12分

【法三】：过点作的垂线，交于点，连结.由题意知⊥平面，平面，所以.由条件知，

又，所以⊥平面，

又平面，所以，

又，所以，

所以，

由二面角的定义知，二面角的平面角为.······································7分

在中，，，

由，所以.-------------8分

同理可得，-----------------------------------------------------9分

又.在中，

---------------------------------················································10分

所以，二面角的正弦值为.················································12分

20．解：（1）设椭圆的方程为，则由题意知，所以.

，解得，所以椭圆的方程为.

（2）由（1）知，的方程为，所以，

所以直线的斜率，假设存在直线，使得是的垂心，则．

设的斜率为，则，所以，………………………………………………6分

设的方程为，，

由，得，……………………………………7分

由，得．…………………………8分

．…………………………………………………………9分

因为，所以，因为，

所以，……………………………………………………10分

即，

整理得，

所以，

整理得，解得或．

当时，直线过点，不能构成三角形，舍去；

当时，满足，

所以存在直线，使得是的垂心，的方程为．…………12分

21. 解：（1）当时，   （）

则，切点为,

故函数在处的切线方程为.    ………………………………4分

（2）证明：不妨设

,即，

，

相减得： …………6分

，

……8分

令，即证，           …………………9分

令，   …………………11分

在上是增函数  

又，命题得证            …………………12分

22.解（Ⅰ）由的极坐标方程为，即打开得，

将代入，得的直角坐标方程为，    ...... ...........2分

由圆的方程为，得圆心为，半径为

则由直线与曲线相切

圆心到直线的距离      .... ...... ...... ..........5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）圆的极坐标方程为，

不妨设，，

则

，..... ..... ......8分

当，即时，，                   ...... ......9分

所以面积的最大值为                ．...... ...... ...... ......10分

23.解　（1）

由，则                    ............5分

（2）

    由的解集为实数集，可得，

    即                                            ............5分