人教B版 (2019)必修 第二册6.2.3 平面向量的坐标及其运算课时训练

这是一份人教B版 (2019)必修 第二册6.2.3 平面向量的坐标及其运算课时训练，共9页。试卷主要包含了3　平面向量的坐标及其运算等内容，欢迎下载使用。

1.在平面直角坐标系中，点A(2,3)，B(－3,4)，如图所示，x轴、y轴正方向上的两个单位向量分别为i和j，则下列说法正确的是________(只填序号)．
①eq \(OA,\s\up6(→))＝2i＋3j；②eq \(OB,\s\up6(→))＝3i＋4j；③eq \(AB,\s\up6(→))＝－5i＋j；④eq \(BA,\s\up6(→))＝5i－j.
2．如下图，向量a，b，c的坐标分别是________、________、________.
3.设平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)，则a－2b＝( )
A．(7,3) B．(7,7)
C．(1,7) D．(1,3)
4．设eq \(AB,\s\up6(→))＝(2,3)，eq \(BC,\s\up6(→))＝(m，n)，eq \(CD,\s\up6(→))＝(－1,4)，则eq \(DA,\s\up6(→))等于( )
A．(1＋m,7＋n) B．(－1－m，－7－n)
C．(1－m,7－n) D．(－1＋m ，－7＋n)
5.已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb与a－2b相等，则eq \f(m,n)＝________，|na＋mb|＝________.
6．在△ABC中，已知点A(3,7)，B(－2,5)，若线段AC，BC的中点都在坐标轴上．
(1)求点C的坐标；
(2)求△ABC的三边长．
7.已知向量a＝(1，－2)，|b|＝4|a|，a∥b，则b可能是( )
A．(4,8) B．(8,4)
C．(－4，－8) D．(－4,8)
8．已知A，B，C三点共线，eq \(BA,\s\up6(→))＝－eq \f(3,8)eq \(AC,\s\up6(→))，点A，B的纵坐标分别为2,5，则点C的纵坐标为________．
9．已知向量a＝(1,2)，b＝(x,6)，u＝a＋2b，v＝2a－b，
(1)若u∥v，求实数x的值；
(2)若a，v不共线，求实数x的值．
一、选择题
1．已知a＝(2,3)，b＝(4，y)，且a∥b，则y的值为( )
A．6 B．－6
C.eq \f(8,3) D．－eq \f(8,3)
2．设向量a＝(1,2)，b＝(－3,5)，c＝(4，x)，若a＋b＝λc(λ∈R)，则λ＋x的值是( )
A．－eq \f(11,2) B.eq \f(11,2)
C．－eq \f(29,2) D.eq \f(29,2)
3．线段M1M2的端点M1，M2的坐标分别为(1,5)，(2,3)，且eq \(M1M,\s\up6(→))＝－2eq \(MM2,\s\up6(→))，则点M的坐标为( )
A．(3,8) B．(1,3)
C．(3,1) D．(－3，－1)
4．已知M(2，－1)，N(0,5)，且点P在MN的延长线上，|MP|＝2|PN|，则P点坐标为( )
A．(－2,11) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，3))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，3)) D．(－2,12)
5．(易错题)设k∈R，下列向量中，与向量a＝(1，－1)一定不平行的向量是( )
A．b＝(k，k) B．c＝(－k，－k)
C．d＝(k2＋1，k2＋1) D．e＝(k2－1，k2－1)
6．已知两点A(2，－1)，B(3,1)，与eq \(AB,\s\up6(→))平行且方向相反的向量a可能是( )
A．a＝(1，－2) B．a＝(9,3)
C．a＝(－1,2) D．a＝(－4，－8)
二、填空题
7．如图，正方形ABCD中，O为中心，且eq \(OA,\s\up6(→))＝(1,1)，试用基底向量i，j表示下列向量：
eq \(OB,\s\up6(→))＝________，eq \(OC,\s\up6(→))＝________，eq \(AB,\s\up6(→))＝________，eq \(AC,\s\up6(→))＝________.
8．已知a＝(－2,3)，b∥a，b的起点为A(1,2)，终点B在坐标轴上，则B点坐标为________．
9．(探究题)已知点A(－1，－1)，B(1,3)，C(x,5)，若对于平面上任意一点O，都有eq \(OC,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋(1－λ)eq \(OB,\s\up6(→))，λ∈R，则x＝________.
三、解答题
10．已知向量eq \(AB,\s\up6(→))＝(4,3)，eq \(AD,\s\up6(→))＝(－3，－1)，点A(－1，－2)．
(1)求线段BD的中点M的坐标；
(2)若点P(2，y)满足eq \(PB,\s\up6(→))＝λeq \(BD,\s\up6(→))(λ∈R)，求y与λ的值．
1．(多选题)已知向量eq \(OA,\s\up6(→))＝(1，－3)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(2，－1)，eq \(OC,\s\up6(→))＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三点能构成三角形，则实数k不能取的值是( )
A．k＝－2 B．k＝eq \f(1,2)
C．k＝1 D．k＝－1
2．若α，β是一组基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底α，β下的坐标．现已知向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则a在另一组基底m＝(－1,1)，n＝(1,2)下的坐标为( )
A．(2,0) B．(0，－2)
C．(－2,0) D．(0,2)
3．(学科素养—数学建模)已知四边形ABCD是边长为6的正方形，E是AB的中点，点F在边BC上，且BFFC＝21，AF与EC相交于点P，求四边形APCD的面积．
6．2.3 平面向量的坐标及其运算
必备知识基础练
1．解析：i，j互相垂直，故可作为基底，由平面向量基本定理，有eq \(OA,\s\up6(→))＝2i＋3j，eq \(OB,\s\up6(→))＝－3i＋4j，eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝－5i＋j，eq \(BA,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))＝5i－j，故①③④正确．
答案：①③④
2．解析：将各向量向基底所在直线分解．
a＝－4i＋0j，∴a＝(－4,0)，
b＝0i＋6j，∴b＝(0,6)，
c＝－2i－5j，∴c＝(－2，－5)．
答案：(－4,0) (0,6) (－2，－5)
3．解析：a－2b＝(3,5)－2(－2,1)＝(7,3)．
答案：A
4．解析：eq \(DA,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))＝－eq \(CD,\s\up6(→))－eq \(BC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝－(－1,4)－(m，n)－(2,3)
＝(－1－m，－7－n)．
答案：B
5．解析：ma＋nb＝(2m－n,3m＋2n)，
a－2b＝(4，－1)．
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2m－n＝4，,3m＋2n＝－1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝1，,n＝－2，))∴eq \f(m,n)＝－eq \f(1,2).
na＋mb＝－2a＋b＝(－5，－4)，
∴|na＋mb|＝|－2a＋b|＝eq \r(－52＋－42)＝eq \r(25＋16)＝eq \r(41).
答案：－eq \f(1,2) eq \r(41)
6．解析：(1)①若AC的中点在y轴上，则BC的中点在x轴上，设点C的坐标为(x，y)，由中点坐标公式得eq \f(3＋x,2)＝0，eq \f(y＋5,2)＝0，∴x＝－3，y＝－5，即C点坐标为(－3，－5)．
②若AC的中点在x轴上，则BC的中点在y轴上，则同理可得C点坐标为(2，－7)．
综上C点坐标为(－3，－5)或(2，－7)．
(2)当C点坐标为(－3，－5)时，
AB＝eq \r(－2－32＋5－72)＝eq \r(29)，
AC＝eq \r(－3－32＋－5－72)＝6eq \r(5)，
BC＝eq \r(－3＋22＋－5－52)＝eq \r(101).
当C点坐标为(2，－7)时，AB＝eq \r(29)，
AC＝eq \r(2－32＋－7－72)＝eq \r(197)，
BC＝eq \r(2＋22＋－7－52)＝4eq \r(10).
7．解析：∵a＝(1，－2)，|b|＝4|a|，a∥b，∴b可能是(4，－8)或(－4,8)．故选D.
答案：D
8．解析：设点C的纵坐标为y，∵A，B，C三点共线，eq \(BA,\s\up6(→))＝－eq \f(3,8)eq \(AC,\s\up6(→))，A，B的纵坐标分别为2,5，
∴2－5＝－eq \f(3,8)(y－2)．∴y＝10.
答案：10
9．解析：(1)u＝a＋2b＝(1,2)＋(2x,12)＝(1＋2x,14)，
v＝2a－b＝(2,4)－(x,6)＝(2－x，－2)．
由u∥v，故－2(1＋2x)＝14(2－x)，得x＝3.
(2)由a∥v可知，－2＝2(2－x)，
得x＝3.若a，v不共线，则x≠3.
关键能力综合练
1．解析：∵a∥b，∴2y－3×4＝0，即y＝6.
答案：A
2．解析：a＋b＝(1,2)＋(－3,5)＝(－2,7)，λc＝(4λ，xλ)，又a＋b＝λc，故eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2＝4λ，,7＝xλ，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝－\f(1,2)，,x＝－14，))
则λ＋x＝－eq \f(29,2).
答案：C
3．解析：设M(x，y)，则eq \(M1M,\s\up6(→))＝(x－1，y－5)，eq \(MM2,\s\up6(→))＝(2－x,3－y)，由eq \(M1M,\s\up6(→))＝－2eq \(MM2,\s\up6(→))，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1＝－22－x，,y－5＝－23－y.))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝1，))故点M的坐标为(3,1)．
答案：C
4．解析：因为P在MN的延长线上且|MP|＝2|PN|，
所以eq \(MP,\s\up6(→))＝2eq \(NP,\s\up6(→))，则eq \(OP,\s\up6(→))－eq \(OM,\s\up6(→))＝2(eq \(OP,\s\up6(→))－eq \(ON,\s\up6(→)))，
所以eq \(OP,\s\up6(→))＝2eq \(ON,\s\up6(→))－eq \(OM,\s\up6(→))＝2(0,5)－(2，－1)，
即eq \(OP,\s\up6(→))＝(－2,11)．
答案：A
5．解析：易知当k＝0时，b＝c＝0与a平行；
若a∥d，则－(k2＋1)＝k2＋1，即k2＋1＝0.
显然k不存在．故a不平行于d，
当k＝±1时，e＝0与a平行．
答案：C
6．解析：eq \(AB,\s\up6(→))＝(3－2,1＋1)＝(1,2)，∵(－4，－8)＝－4(1,2)，
∴(－4，－8)满足条件．
答案：D
7．解析：如题图所示，eq \(OA,\s\up6(→))＝(1,1)＝i＋j，
∴eq \(OE,\s\up6(→))＝i，eq \(EA,\s\up6(→))＝j.
∴eq \(OF,\s\up6(→))＝－eq \(OE,\s\up6(→))＝－i，eq \(FB,\s\up6(→))＝eq \(EA,\s\up6(→))＝j，eq \(FC,\s\up6(→))＝－eq \(FB,\s\up6(→))＝－j.
∴eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(OF,\s\up6(→))＋eq \(FB,\s\up6(→))＝－i＋j；eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(OF,\s\up6(→))＋eq \(FC,\s\up6(→))＝－i－j；eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝－i＋j－(i＋j)＝－2i.
同理，eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))＝－i－j－(－i＋j)＝－2j，
eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝－2i＋(－2j)＝－2i－2j.
答案：－i＋j －i－j －2i －2i－2j
8．解析：由b∥a，可设b＝λa＝(－2λ，3λ)．
设B(x，y)，则eq \(AB,\s\up6(→))＝(x－1，y－2)＝b.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2λ＝x－1，,3λ＝y－2))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1－2λ，,y＝3λ＋2.))
又B点在坐标轴上，则1－2λ＝0或3λ＋2＝0，
所以Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(7,2)))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,3)，0)).
答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(7,2)))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,3)，0))
9．解析：取O(0,0)，
由eq \(OC,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋(1－λ)eq \(OB,\s\up6(→))得，
(x,5)＝λ(－1，－1)＋(1－λ)(1,3)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－λ＋1－λ，,5＝－λ＋31－λ.))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝－\f(1,2)，,x＝2.))
答案：2
10．解析：(1)设点B的坐标为(x1，y1)．
∵eq \(AB,\s\up6(→))＝(4,3)，A(－1，－2)，
∴(x1＋1，y1＋2)＝(4,3)．
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＋1＝4，,y1＋2＝3，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＝3，,y1＝1.))
∴B(3,1)．
同理可得D(－4，－3)．
设线段BD的中点M的坐标为(x2，y2)，
则x2＝eq \f(3－4,2)＝－eq \f(1,2)，y2＝eq \f(1－3,2)＝－1，
∴点M的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－1)).
(2)由已知得eq \(PB,\s\up6(→))＝(3,1)－(2，y)＝(1,1－y)，
eq \(BD,\s\up6(→))＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．
又eq \(PB,\s\up6(→))＝λeq \(BD,\s\up6(→))，∴(1,1－y)＝λ(－7，－4)，
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＝－7λ，,1－y＝－4λ，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝－\f(1,7)，,y＝\f(3,7).))
学科素养升级练
1．解析：由题意可知，A，B，C三点不共线．若A，B，C三点共线，则eq \(AB,\s\up6(→))∥eq \(AC,\s\up6(→))，又eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝(1,2)，eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝(k，k＋1)，所以2k－(k＋1)＝0，即k＝1.所以选ABD.
答案：ABD
2．解析：∵a在基底p，q下的坐标为(－2,2)，
∴a＝－2p＋2q＝－2(1，－1)＋2(2,1)＝(2,4)．
令a＝xm＋yn＝(－x＋y，x＋2y)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x＋y＝2，,x＋2y＝4，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝2，))
∴a在基底m，n下的坐标为(0,2)．
答案：D
3．解析：如图所示，以AB，AD所在的直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则有A(0,0)，B(6,0)，C(6,6)，D(0,6)．
由E为AB的中点，则E(3,0)，
由BF:FC＝2:1，∴F(6,4)．
设P(x，y)，则eq \(AP,\s\up6(→))＝(x，y)．
∵eq \(AP,\s\up6(→))与eq \(AF,\s\up6(→))共线，
∴4x＝6y即y＝eq \f(2,3)x.①
∵eq \(EP,\s\up6(→))＝(x－3，y)，eq \(EC,\s\up6(→))＝(3,6)，
eq \(EP,\s\up6(→))与eq \(EC,\s\up6(→))共线，
∴3y＝6(x－3)，即y＝2(x－3)．②
由①②得x＝eq \f(9,2)，y＝3，即Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,2)，3)).
由S四边形APCD＝S正方形ABCD－S△ABF－S△CPF，
＝6×6－eq \f(1,2)×6×4－eq \f(1,2)×2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6－\f(9,2)))＝eq \f(45,2).
∴四边形APCD的面积为eq \f(45,2).
必备知识基础练
进阶训练第一层
知识点一
平面向量的坐标
知识点二
平面上向量的运算与坐标的关系
知识点三
两点之间的距离公式与中点坐标公式
知识点四
向量平行的坐标表示
关键能力综合练
进阶训练第二层
学科素养升级练
进阶训练第三层