高中数学第二章 推理与证明综合与测试单元测试达标测试

这是一份高中数学第二章 推理与证明综合与测试单元测试达标测试，共1页。试卷主要包含了 选择题， 填空题， 解答题等内容，欢迎下载使用。

一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ， ）

1. 甲、乙、丙，丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有两位优秀，两位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则（ ）
A.乙、丁可以知道自己的成绩
B.乙可以知道四人的成绩
C.乙、丁可以知道对方的成绩
D.丁可以知道四人的成绩

2. 已知某高中的一次测验中，甲、乙两个班级的九科平均分的雷达图如图所示，下列判断错误的是（ ）

A.乙班的理科综合成绩强于甲班
B.甲班的文科综合成绩强于乙班
C.两班的英语平均分分差最大
D.两班的语文平均分分差最小

3. 如图是一系列有机物的结构简图，图中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“短线”表示化学键，按图中结构，图(n)中的化学键有（ ）

A.6n个B.(4n+2)个C.(5n−1)个D.(5n+1)个

4. 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：
他们研究过图中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数，由以上规律，则这些三角形数从小到大形成一个数列{an}，那么a10的值为（ ）
A.45B.55C.65D.66

5. 欧拉公式eix＝csx+isinx（e是自然对数的底数，i是虚数单位）是数学里令人着迷的公式之一，根据欧拉公式可知，2ie−π6i=( )
A.3−iB.1−3iC.3+iD.1+3i

6. 苏格兰数学家纳皮尔发明了对数表，这一发明为当时的天文学家处理“大数运算”做出了巨大贡献.法国著名数学家和天文学家拉普拉斯曾说过：“对数倍增了天文学家的寿命”，比如在下面的部分对数表中，8和1024对应的幂指数分别为3和10，幂指数和为13，而13对应的幂8192，因此，8×1024=8192.根据此表，推算33554432×262144的值对应的幂指数为( )

A.41B.42C.43D.44

7. 用反证法证明命题“若a2+b2=0，则a、b全为0”，其反设正确的是( )
A.a、b至少有一个不为0B.a、b至少有一个为0
C.a、b全不为0D.a、b中只有一个为0

8. 用反证法证明命题：“已知a，b∈N*，如果ab能被11整除，那么a，b中至少有一个能被11整除”，则应假设( )
A.a，b都不能被11整除
B.a，b中至多有一个能被11整除
C.a，b中至多有一个不能被11整除
D.a，b都能被11整除

9. 下列三句话按三段论的模式排列顺序正确的是（ ）
①2019不能被2整除；
②一切奇数都不能被2整除；
③2019是奇数．
A.①②③B.②①③C.②③①D.③②①

10. 我国南北朝时代的数学家祖暅提出体积的计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异”．“势”即是高，“幂”是面积．意思是：如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．类比祖暅原理，如图所示，在平面直角坐标系中，图1是一个形状不规则的封闭图形，图2是一个上底长为1、下底长为2的梯形，且当实数t取[0, 3]上的任意值时，直线y＝t被图1和图2所截得的两线段长总相等，则图1的面积为（ ）

A.4B.92C.5D.112

11. 分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a>b>c，且a+b+c=0”，求证b2−ac<3a”最终索的因应是( )
A.a−b>0B.a−c<0C.(a−b)(a−c)>0D.(a−b)(a−c)<0

12. 如图所示，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，…，如此继续下去得到一个树形图形，称为“勾股树”．若某勾股树含有255个正方形，且其最大的正方形的边长为，则其最小正方形的边长为（ ）

A.B.C.D.
二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ， ）

13. 在“一带一路”知识测验后，甲，乙，丙三人对成绩进行预测.
甲：我的成绩比乙高.
乙：丙的成绩比我和甲的都高.
丙：我的成绩比乙高.
成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为________.

14. 观察下列数表：
1
3 5
7 9 11 13
15 17 19 21 23 25 27 29
……
设2017是该表第m行的第n个数，则m+n的值为________．


15. 用反证法证明：“a>b”，应假设为________．

16. 数式1+11+11+⋯中省略号“…”代表无限重复，因原式是一个固定值，可以用如下方法求得：令原式＝________，则1+1t=________，则________​2−________−1＝0，取正值得________=5+12，用类似方法可得2+2+2+⋯= 2 ．
三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 11 分 ，共计66分 ， ）

17. 如图中给出了3层的六边形，图中所有点的个数S3为28．按其规律再画下去，可以得到n层六边形，试写出Sn的表达式．


18. 设x≥1，y≥1，证明：x+y+1xy≤1x+1y+xy．

19. 设a，b为互不相等的正实数，求证：4(a3+b3)>(a+b)3．

20. 在数列an中，已知a1=2,an+1=an2+12n∈N+.
(1)求a2,a3,a4，并由此猜想数列an的通项公式；

(2)用数学归纳法证明你的猜想.

21. 在已知两边a，b和一边的对角A，求角B时．如果A为锐角，那么可能出现以下情况（如图）：
如果A为钝角，那么可能会出现哪几种情况？试画出草图加以说明．

22.
(1)用综合法证明：x2+y2+z2+3≥2x+y+z；

(2)若实数1a,1b,1c构成公差不为0的等差数列，请用反证法证明：a，b，c不可能构成等差数列．
参考答案与试题解析
2021年人教A版选修1-2数学第2章 推理与证明单元测试卷含答案
一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）
1.
【答案】
A
【考点】
进行简单的合情推理
【解析】
先阅读题意，再结合简单的合情推理逐一判断即可得解．
【解答】
因为甲、乙、丙，丁四位同学中有两位优秀，两位良好，
又甲看了乙、丙的成绩且甲还是不知道自己的成绩，即可推出乙、丙的成绩一位优秀，一位良好，
又乙看了丙的成绩，即乙由丙的成绩可知自己的成绩，
又甲、丁的成绩一位优秀，一位良好，则丁由甲的成绩可知自己的成绩，
即乙、丁可以知道自己的成绩，
2.
【答案】
D
【考点】
进行简单的合情推理
【解析】
先对图象数据的进行处理，再逐一进行检验即可得解
【解答】
由甲、乙两个班级的九科平均分的雷达图可得：
乙班的理科综合成绩强于甲班，即选项A正确，
甲班的文科综合成绩强于乙班，即选项B正确，
两班的英语平均分分差最大，即选项C正确，
两班地理平均分分差最小，即选项D错误，
3.
【答案】
D
【考点】
归纳推理
【解析】
根据图可知第一张图有6个化学键，从第二个起每一个比前一个多5个，可得通项．
【解答】
第一张图有6个化学键，从第二个起每一个比前一个多5个，
则第n个图有5n+1个，
4.
【答案】
B
【考点】
归纳推理
【解析】
根据已知中第1个图中黑点有1个，第2个图中黑点有1+2个，第3个图中黑点有1+2+3个，第4个图中黑点有1+2+3+4个，…归纳可得第n个图中黑点有1+2+3+...+n个，可得结论．
【解答】
解：由已知中：
第1个图中黑点有1个，
第2个图中黑点有3＝1+2个，
第3个图中黑点有6＝1+2+3个，
第4个图中黑点有10＝1+2+3+4个，
…
故第10个图中黑点有a10＝1+2+3+...+10=10×112=55个，
故选B.
5.
【答案】
D
【考点】
欧拉公式的应用
【解析】
直接代入欧拉公式，计算即可得到结果．
【解答】
2i⋅e(−π6)⋅i=2i[cs(−π6)+isin(−π6)]＝2i(32−12i)＝1+3i，
6.
【答案】
C
【考点】
类比推理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由表可知，33554432=225,262144=218,
33554432,262144的对应幂指数分别为25,18,
幂指数和为43.
故选C.
7.
【答案】
A
【考点】
反证法
【解析】
把要证的结论否定之后，即得所求的反设．
【解答】
解：由于“a、b全为0”的否定为：“a、b至少有一个不为0”，
故选A.
8.
【答案】
A
【考点】
反证法
【解析】
反证法证明中，假设时只需要对结论进行否定即可．
【解答】
解：∵ 反证在假设时，要对结论进行否定，
∴ 应假设为“a，b都不能被11整除”.
故选A.
9.
【答案】
C
【考点】
演绎推理
【解析】
按照演绎推理的三段论，“大前提，小前提和结论”，即可得出正确的排列顺序．
【解答】
解：根据题意，按照演绎推理的三段论，应为：
大前提：一切奇数都不能被2整除，
小前提：2019是奇数，
结论：2019不能被2整除；
∴ 正确的排列顺序是②③①．
故选C.
10.
【答案】
B
【考点】
演绎推理
【解析】
本题考查类比推理、梯形的面积．
【解答】
解：根据祖暅原理，
可得图1的面积等于图2梯形的面积，
其面积为3×(1+2)2=92．
故选B．
11.
【答案】
C
【考点】
分析法的思考过程、特点及应用
【解析】
由题意可得，要证b2−ac<3a，经过分析，只要证(a−c)(a−b)>0，从而得出结论．
【解答】
解：由a>b>c，且a+b+c=0可得 b=−a−c，a>0，c<0．
要证b2−ac<3a，只要证 (−a−c)2−ac<3a2，
即证 a2−ac+a2−c2>0，即证a(a−c)+(a+c)(a−c)>0，
即证 a(a−c)−b(a−c)>0，即证(a−c)(a−b)>0．
故求证“b2−ac<3a”索的因应是 (a−c)(a−b)>0.
故选C．
12.
【答案】
A
【考点】
归纳推理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）
13.
【答案】
甲，乙，丙
【考点】
进行简单的合情推理
合情推理的作用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：如果只有甲预测正确，此时根据题意得，成绩由高到低顺序为甲，乙，丙，满足条件；
如果只有乙预测正确，因为甲错误，得顺序为丙，乙，甲，此时丙也预测正确，不满足条件；
如果只有丙预测正确，因为甲错误，得顺序为丙，乙，甲，此时乙也预测正确，不满足条件；
故答案为：甲，乙，丙.
14.
【答案】
508
【考点】
归纳推理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：根据数表中数的排列规律，1，3，5，…都是连续奇数，
第一行，有1个数；第二行，有2个数，且第一个数是22−1；
第三行，有4个数，且第一个数是23−1；
第四行，有8个数，且第一个数是24−1；……；
第m行，有2m−1个数，且第一个数是2m−1．
∵ 210−1=1023，211−1=2047，2017在第10行．
令2017=1023+(n−1)×2，得n=498，
∴ 2017是第10行的第498个数，
∴ m+n=10+498=508．
故答案为：508.
15.
【答案】
a≤b
【考点】
反证法
【解析】
根据反证法定义进行求解．
【解答】
解：反证法肯定题设而否定结论，从而得出矛盾，
题设“a>b”，那么假设为：a≤b．
故答案为：a≤b．
16.
【答案】
t,t,t,t,t
【考点】
类比推理
【解析】
通过已知得到求值方法：先换元，再列方程，解方程，求解（舍去负根），再运用该方法，注意两边平方，得到方程，解出方程舍去负的即可．
【解答】
由已知代数式的求值方法：
先换元，再列方程，解方程，求解（舍去负根），
可得要求的式子．
令2+2+2+⋯=m(m>0)，
则两边平方得，22+2+2+⋯=m2，
即2+m＝m2，解得，m＝2（−1舍去）．
三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 11 分 ，共计66分 ）
17.
【答案】
设每层上的点数为an，
则a1＝5，
a2＝9＝5+4×1，
a3＝13＝5+4×2，
∴ {an}是以5为首项，4为公差的等差数列，
∴ Sn＝a1+a2+a3+...+an+1=n[5+5+4(n−1)]2+1＝2n2+3n+(1)
【考点】
归纳推理
【解析】
设每层上的点数为an，推导出{an}是以5为首项，4为公差的等差数列，再由Sn＝a1+a2+a3+...+an+1，能求出结果．
【解答】
设每层上的点数为an，
则a1＝5，
a2＝9＝5+4×1，
a3＝13＝5+4×2，
∴ {an}是以5为首项，4为公差的等差数列，
∴ Sn＝a1+a2+a3+...+an+1=n[5+5+4(n−1)]2+1＝2n2+3n+(1)
18.
【答案】
证明：要证x+y+1xy≤1x+1y+xy，
只需证明1xy−1x−1y≤xy−x−y，
只需证明(1−1x)(1−1y)≤(1−x)(1−y)=(x−1)(y−1)，
只需证明1−1x≤x−1；1−1y≤y−1，
即证x+1x≥2，y+1y≥2，(x≥1, y≥1)这是均值不等式，
所以x≥1，y≥1，x+y+1xy≤1x+1y+xy得证．
【考点】
综合法与分析法
不等式的证明
【解析】
直接利用分析法，通过移项变形，转化为基本不等式，即可证明不等式成立．
【解答】
证明：要证x+y+1xy≤1x+1y+xy，
只需证明1xy−1x−1y≤xy−x−y，
只需证明(1−1x)(1−1y)≤(1−x)(1−y)=(x−1)(y−1)，
只需证明1−1x≤x−1；1−1y≤y−1，
即证x+1x≥2，y+1y≥2，(x≥1, y≥1)这是均值不等式，
所以x≥1，y≥1，x+y+1xy≤1x+1y+xy得证．
19.
【答案】
证明：因为a>0，b>0，所以要证4(a3+b3)>(a+b)3，
只要证4(a+b)(a2−ab+b2)>(a+b)3，
即要证4(a2−ab+b2)>(a+b)2，
只需证3(a−b)2>0，
而a≠b，故3(a−b)2>0成立．
∴ 4(a3+b3)>(a+b)3．
【考点】
不等式的证明
分析法的思考过程、特点及应用
【解析】
利用分析法，从结论入手，寻找结论成立的条件，即可得到证明．
【解答】
证明：因为a>0，b>0，所以要证4(a3+b3)>(a+b)3，
只要证4(a+b)(a2−ab+b2)>(a+b)3，
即要证4(a2−ab+b2)>(a+b)2，
只需证3(a−b)2>0，
而a≠b，故3(a−b)2>0成立．
∴ 4(a3+b3)>(a+b)3．
20.
【答案】
(1)解：根据递推公式可求得：
a2=52,a3=74,a4=118，
猜想数列an的通项公式为an=2n−1+32n−1；
(2)下面用数学归纳法证明：
证明：①当n=1时，由题意知a1=2，
显然满足a1=21−1+321−1=2；
②假设当n=k时猜想成立，即ak=2k−1+32k−1，
则当n=k+1时，ak+1=ak2+12=2k−1+32k−1+12
=2k+32k=2(k+1)−1+32(k+1)−1，
知当n=k+1时猜想也成立，
综合①②可知，对n∈N*猜想都成立，
即数列an的通项公式为an=2n−1+32n−1.
【考点】
数列递推式
数学归纳法
归纳推理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)解：根据递推公式可求得：
a2=52,a3=74,a4=118，
猜想数列an的通项公式为an=2n−1+32n−1；
(2)下面用数学归纳法证明：
证明：①当n=1时，由题意知a1=2，
显然满足a1=21−1+321−1=2；
②假设当n=k时猜想成立，即ak=2k−1+32k−1，
则当n=k+1时，ak+1=ak2+12=2k−1+32k−1+12
=2k+32k=2(k+1)−1+32(k+1)−1，
知当n=k+1时猜想也成立，
综合①②可知，对n∈N*猜想都成立，
即数列an的通项公式为an=2n−1+32n−1.
21.
【答案】
①
，a②，a＝b无解，
③，a>b有一解，
【考点】
进行简单的合情推理
【解析】
由A为锐角，出现的几种情况，进行简单的合情推理，得到A为钝角，可能会出现2种情况，画出图即可．
【解答】
如果A为钝角，可能会出现3种情况，
22.
【答案】
证明：(1)由x2+1≥2x（当且仅当x=1时取等号），
由y2+1≥2y（当且仅当y=1时取等号），
由z2+1≥2z（当且仅当z=1时取等号），
三式相加可得x2+y2+z2+3≥2(x+y+z)（当且仅当x=y=z=1时取等号）.
(2)由题意有2b=1a+1c，且a，b，c互不相等，
得b=2aca+c.
假设a，b，c可能构成等差数列，有b=a+c2，
可得2aca+c=a+c2，整理为(a−c)2=0，
得a=c与a，b，c互不相等矛盾，
故假设不成立，原命题正确．
【考点】
反证法
综合法的思考过程、特点及应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
证明：(1)由x2+1≥2x（当且仅当x=1时取等号），
由y2+1≥2y（当且仅当y=1时取等号），
由z2+1≥2z（当且仅当z=1时取等号），
三式相加可得x2+y2+z2+3≥2(x+y+z)（当且仅当x=y=z=1时取等号）.
(2)由题意有2b=1a+1c，且a，b，c互不相等，
得b=2aca+c.
假设a，b，c可能构成等差数列，有b=a+c2，
可得2aca+c=a+c2，整理为(a−c)2=0，
得a=c与a，b，c互不相等矛盾，
故假设不成立，原命题正确．