人教版新课标A必修3第三章 概率综合与测试单元测试随堂练习题

这是一份人教版新课标A必修3第三章 概率综合与测试单元测试随堂练习题，共14页。试卷主要包含了 选择题， 填空题， 解答题等内容，欢迎下载使用。

一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ， ）

1. 在−4,4上随机地取一个数m，则事件“直线x−y+m=0与圆x−12+y2=2有公共点”发生的概率为( )
A.14B.13C.12D.23

2. 在新冠疫情的冲击下，全球经济受到重创，如图是各国公布的2020年第二季度国内生产总值(GDP)同比增长率，现从这8个国家中任取4个国家，则这4个国家中第二季度GDP同比增长率至少有2个不小于−15%的概率为（ ）

A.B.C.D.

3. 从−2，−1，1，2，3这5个数中任取2个，则取到的2个数之积为负数的概率为( )
A.34B.35C.23D.12

4. 从装有3个黄球和4个蓝球的口袋内任取3个球，那么互斥不对立的事件是（ ）
A.恰有一个黄球与恰有一个蓝球
B.至少有一个黄球与都是黄球
C.至少有一个黄球与都是蓝球
D.至少有一个黄球与至少有一个蓝球

5. 一个人打靶时连续射击三次，与事件“至多有两次中靶”互斥的事件是（ ）
A.至少有两次中靶B.三次都中靶
C.只有一次中靶D.三次都不中靶

6. 高校毕业生就业关乎千家万户．在2020年8月1日新疆自治区政府新闻办召开的疫情防控工作新闻发布会上，自治区人力资源和社会保障厅党组副书记、厅长热合满江·达吾提介绍，在当前疫情防控形势下，我区以离校未就业高校毕业生为重点，优化就业服务，调整工作方式方法，加大线上服务力度，助力未就业高校毕业生早就业快就业．据自治区人社厅统计，截至7月31日，全区近8万名高校毕业生实现就业．其中区属普通高校毕业生10.23万人，实现就业66975人，就业率m%；内地高校新疆籍毕业生返疆报到登记18625人，实现就业n人，就业率约m%，与去年同期基本持平．则n的值约为( )
A.12194B.13002C.12561D.12845

7. 2015年10月29日党的十八届五中全会决定：坚持计划生育的基本国策，完善人口发展战略，全面实施一对夫妇可生育两个孩子政策，积极开展应对人口老龄化行动．某夫妇已经有一个小孩．夫妇俩决定再要一个小孩，假定生男、生女是等可能的．若这个家庭现在的小孩是个女孩，则第二胎还是女孩的概率是( )
A.12B.14C.18D.34

8. 从集合{1, 2, 3, 4, 5}中任取2个元素，取到偶数的个数为随机变量，则此随机变量的取值为( )
A.2，4B.0，2C.1，2D.0，1，2

9. 口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.28，摸出白球的概率是0.32，那么摸出黑球的概率是( )
B.0.4C.0.3

10. 将一枚硬币连续抛掷n次，若使得至少有一次正面向上的概率不小于1516，则n的最小值为( )
A.4B.5C.6D.7

11. 圆C的圆心坐标为C(1, 2)，直线y=x−1与圆C交于A，B两点，若|AB|=23，则从圆C的内部任取一点，该点取自△ABC的概率是( )
A.265πB.65πC.3πD.32π

12. 对空中飞行的敌机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A={两次都击中敌机}，B={两次都没击中敌机}，C={恰有一次击中敌机}，D={至少有一次击中敌机}，下列关系不正确的是( )
A.A⊆DB.B∩D=⌀C.A∪C=DD.A∪C=B∪D
二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ， ）

13. 随机变量X的概率分布规律为P(X=k)=ck(k+1)，k=1，2，3，4，其中c是常数，则P(12
14. 在实验中，若事件A发生的概率为15，则事件A对立事件发生的概率为________.

15. 某中学共有学生2000人，其中高一年级共有学生650人，高二男生有370人．现在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.19．则该校高三学生共有________人．

16. 若 a∈[2,6], b∈[0,4] ，则关于x的一元二次方程x2−2(a−2)x−b2+16=0没有实根的概率为________.

三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 11 分 ，共计66分 ， ）

17. 某班举行了一次数学周练．随机抽取了10个同学的成绩得到如图所示茎叶图，成绩达到85分及以上为优秀．

(1)求这10名同学成绩的中位数，并估计全班同学的优秀率；

(2)从80分以上的5名同学中任意抽取两人，求所抽两人都优秀的概率．

18. 斐波那契蝶旋线，也称"黄金螺旋线"期间如图，矩形ABCD是以斐波那契数为边长的正方形并接而成的，在每个正方形中作一个圆心角为90∘的圆弧，这些圆弧所连成的弧线就是斐波那契螺旋线的一部分．在矩形ABCD内任取一点，该点取自阴影部分的概率为头（ ）

A.π8B.π4C.14D.34

19. 一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4．
(1)从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；

(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n
20. 某种小麦在田间出现自然变异植株的概率为0.0045，今调查该种小麦100株，试计算获得2株和2株以上变异植株的概率．

21. 质量是企业的生命线．某企业在一个批次产品中随机抽检n件，并按质量指标值进行统计分析，得到表格如下：

(1)求a，b，n；

(2)从质量指标值在[90,120）的产品中，按照等级分层抽样抽取6件，再从这6件中随机抽取2件，求至少有1件特等品被抽到的概率．

22. 三峡大坝专用公路沿途山色秀美，风景怡人．为确保安全，全程限速为80公里/小时．为了解汽车实际通行情况，经过监测发现某时段200辆汽车通过这段公路的车速均在50,90（公里/小时）内，根据监测结果得到如下组距为10的频率分布折线图：

(1)请根据频率分布折线图，将频率分布直方图补充完整（用阴影部分表示）；

(2)求这200辆汽车在该路段超速的车辆数以及在该路段的平均速度．
参考答案与试题解析
2021年人教A版必修3数学第3章 概率单元测试卷含答案
一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）
1.
【答案】
C
【考点】
直线与圆的位置关系
几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）
【解析】
由事件“直线x−y+m=0与圆x−12+y2=2有公共点”求出圆心(1,0)到直线x−y+m=0的距离d=|1+m|1+1=|1+m|2≤2，从而−3≤m≤1，由此能求出事件“直线x−y+m=0与圆x−12+y2=2有公共点”发生的概率．
【解答】
解：在−4,4上随机地取一个数m，
∵ 事件“直线x−y+m=0与圆x−12+y2=2有公共点，
∴ 圆心1,0到直线x−y+m=0的距离
d=1+m12+−12=1+m2≤2，
解得−3≤m≤1，
∴ 事件“直线x−y+m=0与圆x−12+y2=2有公共点”发生的概率为：
P=1−−34−−4=12.
故选C．
2.
【答案】
D
【考点】
排列、组合及简单计数问题
古典概型及其概率计算公式
【解析】
根据题意，分析图表可得8个国家中第二季度GDP同比增长率不小于−15%的有4个，由组合数公式分析“8个国家中任选4个”的取法，分3种情况讨论“至少有2个不小于−15%”的取法，由古典概型公式计算可得答案．
【解答】
根据题意，由图表可得：这8个国家中第二季度GDP同比增长率不小于−15%的有4个，
在8个国家中任选4个，有C84＝70种情况，
其中有2个国家中第二季度GDP同比增长率不小于−15%的取法有C42C42＝36种，
有3个国家中第二季度GDP同比增长率不小于−15%的取法有C43C41＝16种，
有4个国家中第二季度GDP同比增长率不小于−15%的取法有C44＝1种，
则至少有2个不小于−15%的取法有36+16+1＝53种，
则至少有2个不小于−15%的概率P＝，
3.
【答案】
B
【考点】
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：从−2，−1，1，2，3这5个数中任取2个，
有{−2,−1}，{−2,1}，{−2,2}，{−2,3}，{−1,1},
{−1,2}，−1,3，1,2，1,3，{2,3}，共10种不同的情况，
其中取到的2个数之积为负数只有
−2,1，−2,2，−2,3，−1,1，{−1,2}，−1,3)，共6种情况，
所以取到的2个数之积为负数的概率为610=35．
故选B．
4.
【答案】
A
【考点】
互斥事件与对立事件
【解析】
利用互斥事件、对立事件的定义直接求解．
【解答】
从装有3个黄球和4个蓝球的口袋内任取3个球，不同的取球情况共有以下4种：
①3个球全是黄球；②2个黄球和1个蓝球；③1个黄球2个蓝球；④3个球全是蓝球．
对于A，恰有一个黄球是情况③，恰有一个蓝球是情况②，
∴ 恰有一个黄球与恰有一个蓝球是互斥不对立的事件，故A正确；
对于B，至少有一个黄球是情况①②③，都是黄球是情况①，
∴ 至少有一个黄球与都是黄球能同时发生，不是互斥事件，故B错误；
对于C，至少有一个黄球是情况①②③，都是蓝球是情况④，
∴ 至少有一个黄球与都是蓝球是对立事件，故C错误；
对于D，至少有一个黄球是情况①②③，至少有一个蓝球是情况②③④，
∴ 至少有一个黄球与至少有一个蓝球能同时发生，不是互斥事件，故D错误．
5.
【答案】
B
【考点】
互斥事件的概率加法公式
【解析】
根据互斥事件的概念，判断四个答案中的事件与事件“至多有两次中靶”是否可能同时发生，可得答案．
【解答】
解：一个人打靶时连续射击三次，
两次中靶时，“至少有两次中靶”与“至多有两次中靶”同时成立，故A不满足条件；
“三次都中靶”与“至多有两次中靶”不能同时成立，故B满足条件；
一次中靶时，“只有一次中靶”与“至多有两次中靶”同时成立，故C不满足条件；
未中靶时，“三次都不中靶”与“至多有两次中靶”同时成立，故D不满足条件；
故选：B
6.
【答案】
A
【考点】
频数与频率
【解析】
利用就业率相同得解，属于基础题.
【解答】
解：由题设得66975102300=n18625，
解得n的值约为12194.
故选A.
7.
【答案】
A
【考点】
等可能事件的概率
【解析】
求概率的方法有列举法、列表法、画树状图等。
【解答】
解：作出树状图如图所示：
共有两种等可能的结果，其中第二胎是女孩的结果有一种，故P(第二胎是女孩)=12.
故选A.
8.
【答案】
D
【考点】
随机事件
【解析】
求出满足条件的所有取值即可．
【解答】
解：从集合{1, 2, 3, 4, 5}中任取2个元素，
取到偶数的个数可能是0，1，2个，
故选D．
9.
【答案】
B
【考点】
概率的基本性质
对立事件的概率公式及运用
【解析】
利用对立事件的概率，从袋中只有红球，白球，黑球，所以从中摸出一个球的概率为1,可得解.
【解答】
解：由题意知“从袋中中摸出的球为黑球”与“从袋中中摸出的球为红球或白球”为对立事件，
故得摸出黑球的概率为P=1−0.28−0.32=0.4.
故选B.
10.
【答案】
A
【考点】
对立事件的概率公式及运用
n次独立重复试验
【解析】
由题意，1−(12)n≥1516，即可求出n的最小值．
【解答】
由题意，1−(12)n≥1516，
∴ n≥4，
∴ n的最小值为4，
故选A.
11.
【答案】
B
【考点】
几何概型的概念及概率公式
点到直线的距离公式
【解析】
直接利用点到直线的距离公式求出结果．
【解答】
解：设圆心C到直线y=x−1的距离d=|1−2−1|2=2，
∴圆C的半径r=3+2=5，
故所求概率P=12×23×2π×5=65π.
故选B.
12.
【答案】
D
【考点】
事件的运算（并和关系、交积运算）
事件的关系(包含关系、相等关系)
【解析】
本题考查随机事件的运算及关系．
【解答】
解：A，事件A包含于事件D，故A正确．
B，由于事件B，D不能同时发生，则B∩D=⌀，故B正确．
C，由题意知正确．
D，由于A∪C=D={至少有一次击中飞机}，不是必然事件；
而B∪D为必然事件，所以A∪C≠B∪D，故D不正确．
故选D．
二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）
13.
【答案】
56
【考点】
概率的基本性质
【解析】
根据所给的概率分步规律，写出四个变量对应的概率，根据分布列的性质，写出四个概率之和是1，解出a的值，要求的变量的概率包括两个变量的概率，相加得到结果
【解答】
解：∵ P(X=k)=)=ck(k+1)，k=1，2，3，4，
∴ c2+c6+c12+c20=1，
∴ c=54，
∵ P(12故答案为：56．
14.
【答案】
45
【考点】
对立事件的概率公式及运用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：事件A对立事件发生的概率为1−15=45.
故答案为：45.
15.
【答案】
600
【考点】
概率的意义
【解析】
根据在全校学生中抽取1名学生，抽到高二年级女生的概率是0.19，先求出高二女生的人数，问题得以解决．
【解答】
解：∵ 在全校学生中抽取1名学生，抽到高二年级女生的概率是0.19，
∴ 则高二女生人数为0.19×2000=380人，
则高三人数为2000−650−370−380=600人，
故答案为：600．
16.
【答案】
π4
【考点】
几何概型的概念及概率公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵关于x的一元二次方程x2−2(a−2)x−b2+16=0没有实根，
∴Δ=4(a−2)2−4(−b2+16)=4(a−2)2+4b2−64<0,
∴(a−2)2+b2<16.
代表的是以(2,0)为圆心，半径为4的圆以内的部分，如图，
P=S扇形AOCS四边形ABCD=14×42π42=π4.
故答案为：π4.
三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 11 分 ，共计66分 ）
17.
【答案】
解：(1)中位数为：76+822=79，
由样本可以估计全班同学的优秀率为410=0.4.
(2)基本事件有
{82,85}，{82,89},{82,93},{82,98},
{85,89},{85,93}，{85,98}，{89,93}，{89,98}，{93,98}
共10种，满足要求的有6种，
由古典概型概率公式可得所抽两人都优秀的概率为610=0.6.
【考点】
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
众数、中位数、平均数
【解析】
无
【解答】
解：(1)中位数为：76+822=79，
由样本可以估计全班同学的优秀率为410=0.4.
(2)基本事件有
{82,85}，{82,89},{82,93},{82,98},
{85,89},{85,93}，{85,98}，{89,93}，{89,98}，{93,98}
共10种，满足要求的有6种，
由古典概型概率公式可得所抽两人都优秀的概率为610=0.6.
18.
【答案】
B.
【考点】
几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）
【解析】
（1）设出最大正方形的边长，求出面积以及内部扇形面积，进行比较，再利用几何概型的概率求解即可.
【解答】
解：设最大正方形的边长为a，则正方形的面积S=a2，其内部扇形的面积S´=πa24，其面积之比为S´S=π4，其它一下图形的面积之比可得也是π4，
由几何概型的概率求解公式可得，矩形ABCD内任取一点，该点取自阴影部分的概率为π4.
故选B.
19.
【答案】
解：(1)从袋中随机抽取两个球，可能的结果有6种，
而取出的球的编号之和不大于4的事件有两个，1和2，1和3，
∴ 取出的球的编号之和不大于4的概率P=13.
(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，
然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，
所有(m, n)有4×4=16种，
而n≥m+2有1和3，1和4，2和4三种结果，
∴ P=1−316=1316．
【考点】
互斥事件的概率加法公式
互斥事件与对立事件
【解析】
(1)从袋中随机抽取两个球，可能的结果有6种，而取出的球的编号之和不大于4的事件有两个，1和2，1和3，两种情况，求比值得到结果．
(2)有放回的取球，根据分步计数原理可知有16种结果，满足条件的比较多不好列举，可以从他的对立事件来做．
【解答】
解：(1)从袋中随机抽取两个球，可能的结果有6种，
而取出的球的编号之和不大于4的事件有两个，1和2，1和3，
∴ 取出的球的编号之和不大于4的概率P=13.
(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，
然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，
所有(m, n)有4×4=16种，
而n≥m+2有1和3，1和4，2和4三种结果，
∴ P=1−316=1316．
20.
【答案】
设发生变异植株的株数为X，则X∼B(n, p)，且n＝100，p＝0.0045，
所以P(X≥2)＝1−P(0)−P(1)＝1−C​1000×0.00450×(1−0.0045)100−C​1001×0.0045×(1−0.0045)99＝0.0751，
即获得2株和2株以上变异植株的概率为0.0751．
【考点】
互斥事件的概率加法公式
【解析】
借助于对立事件及二项分布模型来求概率．
【解答】
设发生变异植株的株数为X，则X∼B(n, p)，且n＝100，p＝0.0045，
所以P(X≥2)＝1−P(0)−P(1)＝1−C​1000×0.00450×(1−0.0045)100−C​1001×0.0045×(1−0.0045)99＝0.0751，
即获得2株和2株以上变异植株的概率为0.0751．
21.
【答案】
解：(1)由10÷0.1=100，即n=100．
∴ a=100×0.4=40，
b=30÷100=0.3 .
(2)设从“特等品”产品中抽取x件，从“一等品”产品中抽取y件，
由分层抽样得660=x20=y40，
解得x=2,y=4 .
即在抽取的6件中，有特等品2件，
记为A1,A2，有一等品4件，记为B1,B2,B3,B4.
则所有的抽样情况有：
A1A2,A1B1,A1B2,A1B3,A1B4,A2B1,A2B2,A2B3,A2B4，
B1B2,B1B3,B1B4,B2B3,B2B4,B3B4，共15种，
其中至少有1件特等品情况有：A1A2,A1B1,A1B2,A1B3,A1B4,A2B1,A2B2，
A2B3,A2B4共9种．
记事件M为“至少有1件特等品被抽到”，
则P(M)=915=35.
【考点】
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
频率分布表
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由10÷0.1=100，即n=100．
∴ a=100×0.4=40，
b=30÷100=0.3 .
(2)设从“特等品”产品中抽取x件，从“一等品”产品中抽取y件，
由分层抽样得660=x20=y40，
解得x=2,y=4 .
即在抽取的6件中，有特等品2件，
记为A1,A2，有一等品4件，记为B1,B2,B3,B4.
则所有的抽样情况有：
A1A2,A1B1,A1B2,A1B3,A1B4,A2B1,A2B2,A2B3,A2B4，
B1B2,B1B3,B1B4,B2B3,B2B4,B3B4，共15种，
其中至少有1件特等品情况有：A1A2,A1B1,A1B2,A1B3,A1B4,A2B1,A2B2，
A2B3,A2B4共9种．
记事件M为“至少有1件特等品被抽到”，
则P(M)=915=35.
22.
【答案】
解：(1)如图所示，
(2)由题可知，当车速在80,90时超速，此时车辆共有：
200×0.01×10=20(辆)；
这200辆汽车在该路段的平均速度为：
55×0.01+65×0.02+75×0.06+85×0.01×10=72(公里/小时).
【考点】
频数与频率
众数、中位数、平均数
频率分布直方图
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)如图所示，
(2)由题可知，当车速在80,90时超速，此时车辆共有：
200×0.01×10=20(辆)；
这200辆汽车在该路段的平均速度为：
55×0.01+65×0.02+75×0.06+85×0.01×10=72(公里/小时).