第2章 第8节　函数与方程-2022届高三数学一轮复习讲义（新高考）教案

这是一份第2章 第8节　函数与方程-2022届高三数学一轮复习讲义（新高考）教案，共7页。教案主要包含了教材概念·结论·性质重现，基本技能·思想·活动体验等内容，欢迎下载使用。

一、教材概念·结论·性质重现
1．函数零点的概念
对于一般函数y＝f (x)，我们把使f (x)＝0的实数x叫做函数y＝f (x)的零点．
2．几个等价关系
方程f (x)＝0有实数解⇔函数y＝f (x)的图象与x轴有公共点⇔函数y＝f (x)有零点．
3．函数零点存在定理
如果函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f (a)f (b)<0，那么，函数y＝f (x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f (c)＝0，这个c也就是方程f (x)＝0的解．
(1)若连续不断的函数f (x)在定义域上是单调函数，则f (x)至多有一个零点．函数的零点不是一个“点”，而是方程f (x)＝0的实数解．
(2)由函数y＝f (x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f (a)f (b)<0，如图所示．所以f (a)f (b)<0是y＝f (x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．
4．二分法
5．有关函数零点的结论
(1)图象连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．
(2)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．
二、基本技能·思想·活动体验
1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．
(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(×)
(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在当b2－4ac＜0时没有零点．(√)
(3)若函数y＝f (x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f (a)f (b)＜0．(×)
(4)若f (x)在区间[a，b]上连续不断，且f (a)·f (b)＞0，则f (x)在(a，b)内没有零点．(×)
2．下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是( )
A 解析：根据二分法的概念可知选项A中函数不能用二分法求零点．
3．函数f (x)＝ln x－eq \f(2,x)的零点所在的大致区间是( )
A．(1，2)B．(2，3)
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)，1))和(3，4)D．(4，＋∞)
B 解析：因为f (2)＝ln 2－1<0，f (3)＝ln 3－eq \f(2,3)>0，且函数f (x)的图象连续不断，f (x)为增函数，所以f (x)的零点在区间(2,3)内．
4．函数f (x)＝ex＋3x的零点个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
B 解析：由f ′(x)＝ex＋3>0，得f (x)在R上单调递增．又f (－1)＝eq \f(1,e)－3<0，f (0)＝1>0，因此函数f (x)有且只有一个零点．
5．已知2是函数f (x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg2x＋m，x≥2，,2x，x<2))的一个零点，则f (f (4))的值是________．
3 解析：由题意知lg2(2＋m)＝0，所以m＝－1，所以f (f (4))＝f (lg23)＝2eq \s\up8(lg23)＝3.
6．若二次函数f (x)＝x2－2x＋m在区间(0,4)上存在零点，则实数m的取值范围是________．
(－8,1] 解析：由题意知m＝－x2＋2x在(0,4)上有解．又－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，所以y＝－x2＋2x在(0,4)上的值域为(－8,1]，所以－8考点1 判断函数零点所在区间——基础性
1．设f (x)＝ln x＋x－2，则函数f (x)的零点所在的区间为( )
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)
B 解析：由于f (x)的图象在(0，＋∞)上连续，且f (1)＝－1<0，f (2)＝ln 2>0，f (2)f (1)<0，故函数f (x)＝ln x＋x－2的零点在区间(1,2)内．
2．设函数f (x)＝eq \f(1,3)x－ln x，则函数y＝f (x)( )
A．在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)，1))，(1，e)内均有零点
B．在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)，1))，(1，e)内均无零点
C．在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)，1))内有零点，在区间(1，e)内无零点
D．在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)，1))内无零点，在区间(1，e)内有零点
D 解析：当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)，e))时，函数图象连续不断，且f ′(x)＝eq \f(1,3)－eq \f(1,x)＝eq \f(x－3,3x)<0，所以函数f (x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)，e))上单调递减．又f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)))＝eq \f(1,3e)＋1>0，f (1)＝eq \f(1,3)>0，f (e)＝eq \f(1,3)e－1<0，所以函数f (x)有唯一的零点在区间(1，e)内．
确定函数f (x)的零点所在区间的常用方法
(1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f (a)·f (b)<0.若有，则函数y＝f (x)在区间(a，b)内必有零点．
(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．
考点2 确定函数零点的个数——综合性
(1)函数f (x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋x－2，x≤0，,－1＋ln x，x>0))的零点个数为( )
A．3 B．2 C．7 D．0
B 解析：(方法一：直接法)由f (x)＝0得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≤0，,x2＋x－2＝0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>0，,－1＋ln x＝0，))
解得x＝－2或x＝e.
因此函数f (x)共有2个零点．
(方法二：图象法)函数f (x)的图象如图所示．由图象知函数f (x)共有2个零点．
(2)设m，n∈Z，已知函数f (x)＝lg2(－|x|＋8)的定义域是[m，n]，值域是[0,3]．当m取最小值时，函数g(x)＝2|x－1|＋m＋1的零点个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
C 解析：因为函数f (x)＝lg2(－|x|＋8)的值域是[0,3]，所以1≤－|x|＋8≤8，即－7≤x≤7.因为函数f (x)＝lg2(－|x|＋8)的定义域是[m，n]，所以m的最小值为－7，此时g(x)＝2|x－1|－6.令g(x)＝2|x－1|－6＝0，解得x＝2＋lg23或x＝－lg23，即有两个零点．
函数零点个数的判断方法
(1)直接求零点，令f (x)＝0，有几个解就有几个零点；
(2)函数零点存在定理，要求函数f (x)在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f (a)f (b)<0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数；
(3)利用图象交点个数，作出两个函数图象，观察其交点个数即得零点个数．
1．(2020·武邑中学调研)若函数f (x)＝3x－7＋ln x的零点位于区间(n，n＋1)(n∈N)内，则n＝________.
2 解析：因为f (x)在(0，＋∞)上单调递增，且f (2)＝－1＋ln 2<0，f (3)＝2＋ln 3>0，所以函数f (x)的零点位于区间(2,3)内，故n＝2.
2．已知函数f (x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up8(x)－cs x，则f (x)在[0,2π]上的零点个数为________．
3 解析：如图，作出g(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up8(x)与h(x)＝cs x的图象，可知g(x)与f (x)的图象在[0,2π]上的交点个数为3，所以函数f (x)在[0,2π]上的零点个数为3.
考点3 函数零点的应用——应用性
考向1 根据函数零点所在的区间求参数
(1)已知一元二次方程x2＋ax＋1＝0的一个根在(0,1)内，另一个根在(1,2)内，则实数a的取值范围为________．
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,2)，－2)) 解析：设f (x)＝x2＋ax＋1，
由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f 0>0，,f 1<0，,f 2>0，))
解得－eq \f(5,2)(2)若函数f (x)＝x2－ax＋1在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，3))上有零点，则实数a的取值范围是________．
eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(10,3))) 解析：由题意知方程ax＝x2＋1在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，3))上有解，即a＝x＋eq \f(1,x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，3))上有解．设t＝x＋eq \f(1,x)，x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，3))，则t的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(10,3)))，所以实数a的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(10,3))).
根据函数零点所在区间求参数的步骤
考向2 根据函数零点的个数求参数
已知函数f (x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0，x≤0，,ex，x>0，))则使函数g(x)＝f (x)＋x－m有零点的实数m的取值范围是( )
A．[0,1)
B．(－∞，1)
C．(－∞，1]∪(2，＋∞)
D．(－∞，0]∪(1，＋∞)
D 解析：函数g(x)＝f (x)＋x－m的零点就是方程f (x)＋x＝m的根．画出h(x)＝f (x)＋x＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x，x≤0，,ex＋x，x>0))的大致图象(图略)．
观察它与直线y＝m的交点，得知当m≤0或m>1时，有交点，即函数g(x)＝f (x)＋x－m有零点．
利用函数零点个数求参数的方法
由函数零点个数求参数问题，可采用数形结合法，先对解析式变形，变为关于两个初等函数的方程再在同一平面直角坐标系中，画出两个函数的图象，然后数形结合求解．
设函数f (x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－a，x<1，,4x－ax－2a，x≥1.))
(1)若a＝1，则f (x)的最小值为________；
(2)若f (x)恰有2个零点，则实数a的取值范围是________．
(1)－1 (2)eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))∪[2，＋∞)
解析：(1)若a＝1，则f (x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－1，x<1，,4x－1x－2，x≥1，))
作出函数f (x)的图象如图所示，由图可得f (x)的最小值为－1.
(2)当a≥1时，要使f (x)恰有2个零点，需满足21－a≤0，即a≥2；
当a<1时，要使f (x)恰有2个零点，需满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<1≤2a，,21－a>0，))解得eq \f(1,2)≤a<1.
综上，实数a的取值范围为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)， 1))∪[2，＋∞)．条件
(1)函数y＝f (x)在区间[a，b]上图象连续不断；
(2)所在区间端点的函数值满足f (a)f (b)＜0
方法
不断地把函数y＝f (x)的零点所在的区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值